MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Sean los conjuntos A y B, siendo:
A = {a , e , i} $\Rightarrow $  Card (A) = 3
B = {a , b , c , d}  $\Rightarrow $  Card (B) = 4

Ahora, hallamos el producto cartesiano de estos dos conjuntos:
A x B = {a , e , i} x {a , b , c , d}
A x B = {(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (e,a), (e,b), (e,c), (e,d), (i,a), (i,b), (i,c), (i,d)}
Se han formado 12 pares ordenados
          3   x     4      =  12
Quiero que te fijes en que la multiplicación es una Suma Abreviada de sumandos iguales.

Luego:
Card (A) x Card (B) = Card (A x B)

La Expresión: 3 x (4) ; significa que el número 4 se repite 3 veces como sumando.

Importante:

La multiplicación es una operación interna con los números naturales $\mathbb{N}$; porque dos números cualesquiera siempre se pueden multiplicar.

Ejemplo.

8 x 4 = 32 es natural.

ELEMENTOS DE LA MULTIPLICACIÓN

La Operación se llama Multiplicación y el resultado se llama Producto.
El signo de la operación de multiplicar es un aspa "X" que se lee "por" o también se usa el punto "$\cdot $"; o sea 3 x 4 = 3 $\cdot $ 4

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

1) Propiedad Conmutativa: Esta propiedad se enuncia diciendo que el orden de los factores no altera el producto, o sea:
a x b = b x a

Ejemplo.

Si en lugar de tener 3 conjuntos de 4 ele­mentos cada uno, tienes 4 conjuntos de 3 elementos cada uno.
La adición de los mismos, o la multiplicación (suma abreviada), da el mismo resultado.
4 x 3 = 3 x 4

2) Propiedad Asociativa: Esta propiedad se enuncia diciendo que varios factores se puede sustituir por su producto y el resultado final no varia, o sea:
a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

Ejemplo.

Si quieres averiguar cuántos alumnos hay en la clase y sabes:

• Que la clase tiene 4 filas de carpetas

• Que cada fila tiene 7 carpetas

• Que en cada carpeta se colocan 2 alumnos.

La operación que se haría es: 4 x 7 x 2 = ( 4 x 7 ) x 2 = 4 x ( 7 x 2 ) = 56
                                                                     28 x 2 = 4 x 14 = 56

3) Propiedad Distributiva: Esta propiedad se enuncia diciendo que, para multiplicar, una suma por un número se multiplica cada sumando por dicho número y, al final se suman los resultados parciales, o sea:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Ejemplo.

Imagínate que vas a un colegio mixto, donde hay 7 salones de niños y 9 salones de niñas. En cada salón hay 35 alumnos, te pregunto ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?
Se realizaría lo siguiente:

También podrías hacer lo siguiente:
Sumar el número de salones y multiplicar dicha suma por el número de alumnos que tiene cada salón, así:
(7 + 9) x 35 = 16 x 35 = 560
Pero también puedes:
Distribuir los dos sumandos para que hagan parejas con el número 40 y dirás:
(7 x 35) + (9 x 35)
= 245   +    315 = 560

SACAR FACTOR COMÚN:

En la siguiente igualdad: 3 x 7 + 5 x 7 + 6 x 7 = 98
Todos los términos del primer miembro contienen el factor "7" siendo éste un Factor Común a todos los términos.
Así: 3 x 7 + 5 x 7 + 6 x 7 = 98
7(3 + 5 + 6) = 98
          7(14) = 98
Lo que hemos realizado se llama sacar Factor Común:

4) Propiedad de Multiplicar del Uno o Elemento Neutro: Llamamos elemento Neutro de la multiplicación al número que multiplicado por cual­quier otro no lo varía.
El elemento Neutro o elemento Idéntico de la multiplicación es el 1.
Así: a x 1 = 1 x a = a

Ejemplo.

a) 6 x 1 = 6
b) 5 x 6 = 30    $\Rightarrow $    (5 x 1) x 6 = 30

5) Propiedad Multiplicativa del Cero o Propiedad Absorbente: El Cero se considera como uno de los números cardinales y se usa este número según las mismas reglas de los números naturales.
En la multiplicación: ¿Qué significa 5 x 0?
Expliquemos: Sean los conjuntos: A = {a , b , c , d , e} y B = $\phi $
(El conjunto vacío no tiene ningún elemento, numéricamente es igual a cero)
Luego:
A x B = $\phi $ ; porque no se pueden formar pares ordenados.
Si:
Card (A) = n (A) = 5
Card (B) = n (B) = 0
Card (A x B) = n (A x B) = 0
n (A) x n (B) = n (A x B)
     5   x    0  =   0

6) Propiedad de Monotomía : Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica por un mismo número natural se obtiene otra igualdad.

Ejemplo.

Si: 6 + 4 = 10, multiplico "x3" los dos miembros:
Entonces:
3 (6 + 4) = 3 (10)
       30   =  30

7) Propiedad de Cancelación: Si en los dos miembros de una igualdad aparece un mismo factor diferente de cero, éste factor puede suprimirse o cancelarse.

Ejemplo.

7 x 3 = 7 (6 - 3) 
$\not{7}$ x 3 = $\not{7}$ (6 - 3) cancelando o suprimiendo el factor 7 en ambos miembros, tenemos:
3 = 6 - 3

8) Propiedad de Clausura: Dados dos números naturales a y b cualesquie­ra, su producto c, es siempre otro número natural.

Ejemplo.

4 x 6 = 24 ; Donde 4 y 6 son números naturales, entonces el producto 24 también es natural.

TABLA DE LA MULTIPLICACIÓN

En el siguiente cuadro o “TABLA” de doble entrada podemos hallar el "Producto" de algunos "pares" de números.

El manejo de la tabla es fácil.

Ejemplo.

Quieres multiplicar 3 x 2 . Busca dichos factores, uno en la línea de las FILAS y el otro, en la de las COLUMNAS, se sigue la fila de uno y la columna del otro y donde se encuentran, está la solución. En este caso: 3 x 2 = 6.
Observa que el par (5 , 5) la multiplicación le hace corresponder en la tabla el número 16, es decir: 5 x 5 = 25.
Así mismo al par (7 , 8) le hace corresponder el número 56, es decir: 7 x 8 = 56.

TÉCNICAS OPERATIVAS DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Ejemplo.

Efectuar: 348 x 5 , descomponemos  348 según el valor de posición:
348 x 5 = (3 centenas + 4 decenas + 8 unidades) x 5
Aplicando la propiedad distributiva, se tiene:
= 5 (3 centenas) + 5 (4 decenas) + 5 (8 unidades)
= 15 centenas + 20 decenas + 40 unidades
convertimos las centenas y las decenas a unidades.
= 15 (100 unidades) + 20 (10 unidades) + 40 unidades.
= 1500 + 200 + 40 = 1740

Otra Disposición:

TÉCNICA ABREVIADA: Si observas la técnica operativa y disposición del ejemplo anterior, te darás cuenta que es la misma forma; pero abreviada de las que has aprendido ha multiplicar.

Ejemplo.

Efectuar: 348 x 5
Disposición:

Ejemplo.

Efectuar: 435 x 372
Disposición:

MULTIPLICACIONES ABREVIADAS DE NUMEROS NATURALES

1) Cuando uno de los factores es la unidad seguida de ceros.

Para multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros, se agrega a la derecha del número natural, tantos ceros, como sigan a la unidad. Así:
12 x 10 = 120
36 x 1000 = 36000
43 x 100 = 4300
782 x 10000 = 7820000 
75 x 1000 = 75000
468 x 100000 = 46800000

2) Cuando uno de los dos factores terminan en ceros.

Se efectúa la multiplicación de los dos números sin tener en cuenta los ceros, pero en el resultado o producto se agregan tantos ceros como ceros tenga el factor o los dos factores.

Ejemplo.

Efectuar: 262 x 1200 

Disposición:

Ejemplo.

Efectuar: 37500 x 17000 

Disposición:

3) Producto de un Número Natural por 5.

Para multiplicar un número natural por 5; se le multiplica por 10 y el producto se divide entre 2.
48 x 5 = $\frac{48\, x\, 10}{2}=240$

4) Producto de un Número Natural por 15.

Para multiplicar un número natural por 15 se le aumenta un cero a la derecha del número y se le suma la mitad de éste número. Así:

Ejemplos.

5) Producto de un Número Natural Por 25. 

Para multiplicar un número natural por 25, se le añade al número dos ceros a su derecha y se divide entre cuatro.

Ejemplos.

$39\times 25=\frac{3900}{4}=975$
$86\times 25=\frac{8600}{4}=2150$

6) Producto de un Número Natural por Otro formado sólo por cifras 9.

Se escribe a la derecha del número tantos ceros como nueves tenga el otro, a éste número obtenido le restamos el número original.

Ejemplo.

Efectuar: 384 x 99
Como el segundo número está formado por 2 nueves, al número 384 le agréganos 2 ceros a su derecha, obteniendo 38400 luego al número obtenido le
restamos el número original 384. Así:

384 x 99 = 38016

Ejemplo.

Efectuar: 2617 x 999
Como el segundo número está formado por tres nueves, al número 2617 le agregamos tres ceros a su derecha, obteniendo 2617000 , luego al número obtenido 2617000, le restamos el nú­mero original 2617. Así:

2617 x 999 = 2614383

7) Producto de un Número Natural por otro de dos cifras uno de los cuales es la Unidad.

Para multiplicar un número natural por otro de dos cifras, uno de los cuales es la unidad, basta multiplicarlo por la cifra que acompaña a la unidad, se escribe este producto parcial debajo del multiplicando corriendo un lugar hacia el lado que está dicha cifra respecto a la unidad. La suma del multiplicando con este producto parcial así dispuesto es el resultado final.

Ejemplo.

Multiplicar: 2543 x 16

Resolución:

Ejemplo.

Multiplicar: 6437 x 31

Resolución:

CÁLCULO MENTAL APLICADO A LA MULTIPLICACIÓN

Varios procedimientos de cálculo mental utilizan las propiedades de la multiplicación

PRIMER PROCEDIMIENTO.

Se descompone uno de los factores en una SUMA, se multiplica el otro factor por cada uno de los sumandos y se suman los resultados. Veamos:
32 x 28 = 32 x (20 + 8) = 640 + 256 = 896
58 x 6 = (50 + 8) x 6 = 300 + 48 = 348
151 x 23 = (150 + 1) x 23 = 3450 + 23 = 3473

Observación: Se recomienda este procedimiento, que es aplicación de la Propiedad Distributiva, cuando a un factor se puede descomponer en un número redondo y un número pequeño.

SEGUNDO PROCEDIMIENTO.

Se descompone a uno de los factores en una diferencia, se multiplican separadamente y se restan los resultados.

Ejemplos.

29 x 8 = (30 - 1) x 8 = 240 - 8 =232
76 x 9 = 76 x (10 - 1) = 760 - 76 = 684
Observación: Se recomienda este procedimiento que es aplicación también de la Propiedad Distributiva, cuando a uno de los factores le falta 1 ó 2 unidades para ser un número redondo, y el otro factor es un número pequeño.
Nota: Entiéndase por número Redondo, aquellos números que terminan en cero.

TERCERO PROCEDIMIENTO.

Se descompone a uno de los factores en un producto y se asocian convenientemente los factores para facilitar los cálculos.

Ejemplos.

25 x 24 = (25 x 4) x 6 = 100 x 6 = 600
125 x 32 = (125 x 8) x 4 = 1000 x 4 = 4000
25 x 9 x 3 x 4 = (25 x 4) x (9 x 3) = 100 x 27 = 2700.

OPERACIONES COMBINADAS DE MULTIPLICACIÓN, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN $\mathbb{N}$.

Cuando aparecen operaciones combinadas de Adición, Sustracción y Multiplicación, se sigue el siguiente orden.
1) Primero se efectúan las operaciones encerradas en paréntesis, si es que las hay.
2) Luego se efectúan las multiplicaciones .
3) Por último se efectúan las adiciones y sustracciones en el orden en que aparecen.

Ejemplo.

Efectuar: 8 + 3 x 4 - 16 + 5

Resolución:

Ejemplo.

Efectuar: 18 - 5 x 3 + 14 - 2 x 6

Resolución:

Ejemplo.

Efectuar: 15 - 2 + (7 + 2 x 8 - 9) + 4 (11 - 8)

Resolución:

Ejemplo.

Efectuar: 78 - (5 x 4 + 8) + (6 x 8 - 12 x 3) - 4 (7 + 6)

Resolución: