ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

ADICIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVO

La suma de dos números positivos es otro número también positivo.
Para sumar dos números positivos se suman sus valores absolutos y se conserva el signo de aquellos.
En el ejemplo de la Recta numérica nos permitirá comprender mejor todos los casos de adición de enteros. Usaremos la representación de los enteros con flechas dirigidas hacia la derecha para los enteros positivos y flechas dirigidas hacia la izquierda para los enteros negativos.

Ejemplo.

Sumar: + 5 ; y + 3

Resolución:

La suma (+ 5) + (+ 3) = + 8; quedará representada por una flecha que parte de cero ( 0 ) y termina en + 8 

Ejemplo.

Juan, saliendo de un punto 0, anda primero hacia el este 7 m ; luego marcha otros 3 m, en el mismo sentido. ¿A qué distancia se encontrará del origen?

Resolución:

Evidentemente se encontrará a 7m + 3m = 10m a la derecha del punto 0. Escribiremos:

(+ 7) + (+ 3) = (+ 10)

Luego: (+ 7)m + (+ 3)m = (+ 1 0)m

ADICIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS NEGATIVO

La suma de dos números negativos es otro también negativo. Para sumar dos números negativos se suman sus valores absolutos y se conserva el signo de aquellos.

Ejemplo.

Sumar - 7 y - 5

Resolución:

Ejemplo.

Santiago camina primero hacia el oeste 6m y a continuación 4m en el mismo sentido. ¿A qué distancia se encuentra del origen?

Resolución:

En este caso se encontrará a 6 + 4 = 10m a la izquierda del punto 0, que se escribirá así:

(- 6) + (- 4) = (- 10)

ADICIÓN DE UN NÚMERO POSITIVO Y OTRO NEGATIVO

Para sumar un número positivo y otro negativo se restan sus valores absolutos, y se pone a la diferencia el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo. 

Efectuar: (+ 7) + (- 5)

Resolución:

(+ 7) + (- 5) = + 2

Ejemplo.

Luis marcha hacia el este 10m y luego hacia el oeste 4m.

Resolución:

Distará del punto de partida 10 - 4 = 6 m, a la derecha del mismo.
Ósea:
(+ 10) + (- 4 ) = (+ 6)

(+ 10)m + (- 4)m = 6m

¿Qué se hace para Sumar dos Números Enteros?

a) Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se pone el signo común.

Ejemplo.

Sumar: (+ 8) + (+ 3)
Sumamos los valores absolutos: |+ 8| + |+ 3| = ?
                                                     8 + 3 = 11
Luego: (+8) + (+3) = +11

Ejemplo.

Sumar: (- 7) + (- 5)
Sumando los valores absolutos: |- 7 | + |- 5| = ?
                                                    7 + 5 = 12
Luego: (- 7) + (- 5) = -12

b) Para sumar dos números de distinto signo se restan los valores absolutos y al resultado se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplo.

Sumar: (+ 8) + (- 6)
Restamos sus valores absolutos: |+ 8| - |- 6| = ?
                                                      8 - 6 = 2
El resultado hallado le ponemos el signo del sumando de mayor valor absoluto; ósea el signo del 8.
(+ 8) + (- 6) = + 2

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTERO

I) Propiedad de Clausura:

La suma de dos números enteros siempre es un número entero.
Si: $a\in \mathbb{Z}\, \, y\, \, b\in \mathbb{Z}\Rightarrow (a+b)\in \mathbb{Z}$
En efecto: $-4\in \mathbb{Z}\, \, y\, \, 6\in \mathbb{Z}\Rightarrow (-4)+(+6)=+2\, ;\, +2\in \mathbb{Z}$
            $-5\in \mathbb{Z}\, \, y\, \, -8\in \mathbb{Z}\Rightarrow (-5)+(-8)=-13\, ;\, -13\in \mathbb{Z}$

II) Propiedad Conmutativa:

El orden de los sumandos no altera la suma.
Si: $a\in \mathbb{Z}\, \, y\, \, b\in \mathbb{Z}\Rightarrow (a+b)=(b+a)$
En efecto: (- 6) + (-10) = (- 10) + (-6)
                            - 16 = - 16

III) Propiedad Asociativa:

Se obtiene la misma suma agrupando los sumandos en formas diferentes.
Si: $a\in \mathbb{Z}\, \,;\, \, b\in \mathbb{Z}\, \,  y\, \, c\in \mathbb{Z}\Rightarrow (a+b)+c=a+(b+c)$
En efecto: (+ 5) + (+ 8) + (+ 7) = (+ 5) + (+ 8) + (+ 7)
                [(+ 5) + (+ 8)] + (+ 7) = (+ 5) + [(+ 8) + (+ 7)]
                             (+ 13) + (+ 7) = (+ 5) + (+ 13)
                                            + 20 = + 20

Adición de Más de Dos Números Enteros

La propiedad asociativa nos permite entender la adición a más de dos números enteros.

Ejemplo.

Sumar: (- 6) + (- 4) + (+ 1 2) + (- 5) = ?
                      (- 10) + (+ 12) + (-5) = ?
                                     (+ 2) + (- 5) = - 3

IV) Propiedad de Identidad Aditiva:

Para todo entero “a” existe un número entero llamado cero (0); o identidad aditiva, tal que:

a + 0 = 0

Ejemplo.

(+ 6) + (0) = + 6

V) Propiedad del Inverso Aditivo o Elemento Simétrico:

Para cada entero “a” existe un único número entero llamado inverso aditivo, denotado por “-a” tal que:

a + (- a) = 0

Ejemplo.

(+ 5) + (- 5) = 0

VI) Propiedad Cancelativa:

Si en dos miembros de una igualdad hay un mismo número entero éste puede suprimirse.
Así en: (-9) + (- 7) = (- 7) + (- 4) + (- 5 )
Cancelando o suprimiendo el número común (- 7), tenemos:

(- 9) = (-4) + (-5 )

Ejemplo.

(- 7) + (- 3) + (- 5) = (-10) + (- 5)
Cancelando o suprimiendo el número común (-4), tenemos:
(- 7) + (- 3) = (-10)