OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1. Suma

2. Resta

3. Multiplicación 

4. División.

Suma de expresiones algebraicas

Para realizar la suma de expresiones algebraicas se agrupa los términos semejantes. Se puede realizar en forma horizontal o vertical, para llevar a cabo la suma en forma vertical se puede disponer en filas, con los términos semejantes por su grado en la misma columna y a continuación, se suman los términos de cada columna.

Ejemplo.

Suma horizontal

$(2x^{3}+x^{2}-5)+(x^{2}+x+6)$
$=2x^{3}+x^{2}-5+x^{2}+x+6$
$=2x^{3}+(x^{2}+x^{2})+x+(6-5)$
$=2x^{3}+2x^{2}+x+1$

Suma vertical

$(5x^{3}+2x^{2}-x+7)+(3x^{3}-4x^{2}-7)+(-x^{3}+4x^{2}-8)$

Resta de expresiones algebraicas

Para restar cambie el signo de cada uno de los términos que va a restarse y después sume los términos semejantes resultantes.
Se lo realiza en forma horizontal y vertical.

Ejemplo.

Resta horizontal.

Restar $x^{3}+2x^{2}-x-4\, \, de\, \, 3x^{3}-5x^{2}+3$
$(3x^{3}-5x^{2}+3) - (x^{3}+2x^{2}-x-4)$
$=3x^{3}-5x^{2}+3-x^{3}-2x^{2}+x+4$
$=(3x^{3}-x^{3})+(-5x^{2}-2x^{2}+x+(3+4)$
$=2x^{3}-7x^{2}+x+7$

Resta vertical.

$(4x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-x+8)-(3x^{4}-2x^{3}+3x-4)$

Multiplicación de expresiones algebraicas

Podemos tener multiplicaciones como las siguientes:

1. Multiplicación de dos o más monomios.

Se realiza aplicando las reglas de la potenciación, de los signos y las propiedades asociativa y conmutativa del producto.

Ejemplo.

Multiplicar $-3x^{2}y^{3}z$, $2x^{4}y$, y $-4xy^{4}z^{2}$
$(-3x^{2}y^{3}z)(2x^{4}y)(-4xy^{4}z^{2})$
$\left [ (-3)(2)(-4) \right ]\left [ (x^{2})(x^{4})(x) \right ]\left [ (y^{3})(y)(y^{4}) \right ]\left [ (z)(z^{2}) \right ]$
$=24x^{7}y^{8}z^{3}$ para obtener este resultado se debe realizar mentalmente en próximos ejercicios, esto se realizar con la práctica.

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

El producto se obtiene por la directa aplicación de la propiedad distributiva.

Ejemplo

$4x^{2}(3x-2x^{3}+1)$
$=4x^{2}(3x)-4x^{2}(2x^{3})+4x^{2}(1)$
$=12x^{3}-8x^{5}+4x^{2}$
$=-8x^{5}+12x^{3}+4x^{2}$

3. Multiplicación de binomios

Utilizando la propiedad distributiva

Ejemplo

(x + 2)(x – 3)
= x(x – 3) + 2(x – 3)
$=x^{2}-3x+2x-6$
$=x^{2}-x-6$
Utilizando el método PEIU
PEIU significa que se debe realizar los productos de los Primeros términos, los términos Externos, términos Internos y el término Último.

 Ejemplo.

(3x + 4)(2x + 1)

4.    Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios que tienen tres o más términos, se puede usar el mismo principio básico que se usa para multiplicar monomios y binomios. Esto es cada término de un polinomio debe multiplicarse por cada término del otro polinomio. Puede hacer la multiplicación en forma horizontal o vertical.

Multiplicación horizontal

Ejemplo.

Multiplicar $(4x^{2}-3x-1)(2x-5)$ (4x² - 3x – 1) (2x – 5)
$=4x^{2}(2x-5)-3(2x-5)-1(2x-5)$
$=8x^{3}-20x^{2}-6x^{2}+15x-2x+5$
$=8x^{3}-20x^{2}+13x+5$

Multiplicación vertical

Se alinea términos semejantes en las mismas columnas verticales.

Ejemplo

Multiplicar $(4x^{2}+x-2)(-x^{2}+3x+5)$

División de expresiones algebraicas

1.    División de dos monomios.

Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales aplicando las reglas de potenciación.

Ejemplo.

Dividir $24x^{4}y^{2}z^{3}$ por $-3x^{3}y^{4}z$

2.    División de dos polinomios

a. Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes (o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios.

b.    Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente.

c.    Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta el dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.

d.      Con el dividendo del literal c., se repite las operaciones del los literales b. y c. hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo.

e.    El resultado es:

Ejemplo

Dividir $24x^{4}-3x^{3}+x^{2}+x+2$ por $x^{2}-3x+2$

Por lo tanto,