DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

Los factores de una expresión algebraica dada son dos o más expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí originan la primera.

Por ejemplo.

La expresión algebraica $x^{2}-10x+9$ se puede expresar como producto de los dos factores (x - 9)(x - 1).

PROCESO DE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES.

Se aplica generalmente, a polinomios de coeficientes enteros. En este caso, se requiere que los factores sean también polinomios de coeficientes enteros. Mientras que no se advierta lo contrario.  

Por ejemplo.

$(x-1)$ no lo consideraremos descompuesto en los factores $\left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( \sqrt{x} -1\right )$, ya que estos no son polinomios. Igualmente $\left ( X^{2}-3y^{2} \right )$  no lo consideraremos descompuesto en los factores $\left ( x-\sqrt{3y} \right )\left ( x+ \sqrt{3y}\right )$, ya que éstos no son polinomios de coeficientes enteros.
Asimismo, aunque 3x + 2y se puede expresar por $3\left ( x+\frac{2}{3}y \right )$, no lo consideraremos así, porque $x+\frac{2}{3}y $ no es un polinomio de coeficientes enteros.
Un polinomio de coeficientes enteros es primo cuando no se puede descomponer en factores siguiendo los criterios expuestos anteriormente.

Por ejemplo.

$x^{2}-10x+9$ = (x - 9)(x - 1) está expresado como producto de dos factores primos x - 9 y x - 1.
Un polinomio se puede descomponer totalmente en factores cuando se pueda expresar como producto de factores primos.
Nota 1. En la descomposición de factores se puede efectuar cambios de signo.

Por ejemplo.

$x^{2}-10x+9$ se puede descomponer en $(x-9)(x-1)$, o bien en $(9-x)(1-x)$. Se demuestra que la descomposición en factores primos, prescindiendo de los cambios de signo o del orden de los factores, es única. Este es el teorema fundamental de la descomposición en factores.

Nota 2. Un polinomio es primo cuando no admite más factores (o divisores) que él mismo. con signos más o menos, y la unidad. $\pm 1$. Está definición es análoga a la de números primos, como son 2, 3, 5, 11, ...

Nota 3. Algunas veces se descomponen en factores polinomios de coeficientes racionales.

Por ejemplo.

$x^{2}-9/4=(x-3/2)(x-3/2)$. En estos casos, los factores son también polinomios de coeficientes racionales.

En la descomposición de factores. Son de gran aplicación las formulas:
I) $a(c+d)=ac+ad$
II) $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
III) $(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
IV) $(a-b)(a-b)=(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
V) $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$
VI) $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
VII) $(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$
VIII) $(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
IX) $(a-b)(a-b)(a-b)=(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
X) $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$
XI) $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$
XII) $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$
XIII) $(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdot \cdot \cdot +ab^{n-2}+b^{n-1})=a^{n}-b^{n}$, siendo n un entero positivo cualquiera (1, 2, 3, 4,...)
XIV) $(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdot \cdot \cdot -ab^{n-2}+b^{n-1})=a^{n}+b^{n}$, siendo n un entero positivo impar (1, 2, 3, 4,...)

De la misma forma que leídas de izquierda a derecha dan el resultado de un producto, cuando se leen de derecha a izquierda constituyen la descomposición en factores.

Los procedimientos siguientes, son de gran utilidad en la descomposición de factores.

A) Factor monomio común.

Tipo: $ac+ad = a(c+d)$

Ejemplos.

$2x^{2}-3xy=x(2x-3y)$
$4x+8y+12z=4(x+2y+3z)$

B) Diferencia de cuadrados.

Tipo: $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Ejemplos.

$x^{2}-25=x^{2}-5^{2}=(x+5)(x-5)\Rightarrow a=x,\, b=5$
$4x^{2}-9y^{2}=(2x)^{2}-(3y)^{2}=(2x+3y)(2x-3y)\Rightarrow a=2x,\, b=3y$

C) Trinomio cuadrado perfecto.

Tipos: $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
          $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$  
Un trinomio es un cuadrado perfecto si dos términos son cuadrados perfectos y el tercero es igual al duplo de la raíz cuadrada del producto de aquellos.

Ejemplos.

$1+4y+4y^{2}=(1+2y)^{2}$
$9x^{4}-24x^{2}y+19y^{2}=(3x^{2}-4y)^{2}$

D) Otros trinomios 

Tipos: $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
          $acx^{2}+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

Ejemplos.

$x^{2}-5x+4=(x-4)(x-1)$ siendo a=-4, b=-1 su suma es igual a (a+b)=-5 y su producto ab=4
$x^{2}+xy-12y^{2}=(x-3y)(x+4y)$ siendo a=-3y, b=4y
$6x^{2}+x-12=(3x-4)(2x+3)$

E) Suma, diferencia de dos cubos

Tipos: $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
          $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Ejemplos.

$8x^{3}+27y^{3}=(2x)^{3}+(3y)^{3}$
                  $=(2x+3y)\left [ (2x)^{2}-(2x)(3y)+(3y)^{2} \right ]$
                  $=(2x+3y)(4x^{2}-6xy+9y^{2})$
$8x^{3}y^{3}-1=(2xy)^{3}-1^{3}$
                $=(2xy-1)(4x^{2}y^{2}+2xy+1)$

F) Agrupamiento de términos.

Tipo:  $ac+bc+ad+bd=c(a+b)+d(a+b)=(a+b)(c+d)$

Ejemplo.

$2ax-4bx+ay-1by=2x(a-2b)+y(a-2b)=(a-2b)(2x+y)$

G) Factores de $a^{n}\pm b^{n}$. aplicamos la formula:

$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdot \cdot \cdot +ab^{n-2}+b^{n-1})=a^{n}-b^{n}$, siendo n un entero positivo cualquiera (1, 2, 3, 4,...)
$(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdot \cdot \cdot -ab^{n-2}+b^{n-1})=a^{n}+b^{n}$, siendo n un entero positivo impar (1, 2, 3, 4,...)

Ejemplos.

$32x^{5}+1=(2x)^{5}+1^{5}=(2x+1)\left [ (2x)^{4}-(2x)^{3}+(2x)^{2}-2x+1 \right ]$
             $=(2x+1)(16x^{4}-8x^{3}+4x^{2}-2x+1)$
$x^{7}-1=(x-1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$

H) Suma y resta de términos.

Ejemplo.

Factor $x^{4}+4$

Sumando y restando $4x^{2}$ (doble del producto de las raíces cuadradas de $x^{4}$ y 4), obtenemos.

$x^{4}+4=(x^{4}+4x^{2}+4)-4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}$
          $=(x^{2}+2+2x)(x^{2}+2-2x)$
          $=(x^{2}+2+2x)(x^{2}-2x+2)$

I) Combinación de los métodos anteriores.

Ejemplo.

$x^{4}-xy^{3}-x^{3}y+y^{4}=(x^{4}-xy^{3})-(x^{3}y-y^{4})$
                            $=x(x^{3}-y^{3})-y(x^{3}y-y^{3})$
                            $=(x^{3}-y^{3})(x-y)=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})(x-y)$
                            $=(x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})$

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) de dos o más polinomios de mayor grado y mayor coeficiente numérico (prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) de los polinomios dados.

Para hallar el M.C.D. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:
a) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.
b) El M.C.D. es el producto obtenido al tomar todos los valores comunes elevados a la menor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.

Ejemplo.
El M.C.D. de

$2^{3}3^{2}(x-y)^{3}(x+2y)^{2},\, \, 2^{2}3^{3}(x-y)^{2}(x+2y)^{3},\, \, 3^{2}(x-y)^{2}(x+2y)$
es $3^{2}(x-y)^{2}(x+2y)$
Dos o más polinomios son primos entre si, si su M.C.D. es la unidad $\pm 1$.

EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) de dos o más polinomios de menor grado y menor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada uno de los polinomios dados.
Para hallar el M.C.M. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:
a) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.
b) El M.C.M. es el producto obtenido al tomar todos los valores comunes y no comunes, elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.

Ejemplo.
El M.C.M. de

Ejemplo.

$2^{3}3^{2}(x-y)^{3}(x+2y)^{2},\, \, 2^{2}3^{3}(x-y)^{2}(x+2y)^{3},\, \, 3^{2}(x-y)^{2}(x+2y)$
es $2^{3}3^{2}(x-y)^{3}(x+2y)^{3}$