El Sistema de los Números Complejos, se vera desde el punto de vista del álgebra. Nos interesan las propiedades más importantes de las operaciones de suma, resta, producto y división. Veremos la representación geométrica de los números complejos, así como también la forma polar o trigonométrica de los mismos.
DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO
Un Número Complejo es una expresión del tipo:
$$z=a+bi$$
donde a y b son números reales e i es un símbolo, cuyo significado será aclarado más adelante.
Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación.
$$x^{2}+x+1=0$$
No tiene raíces reales. Al tratar de aplicar la fórmula que da la solución de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión.
$$x=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$$
La cual no tiene sentido en los números reales. No se puede tener una raíz cuadrada de un número negativo. Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene:
$$\sqrt{-3}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{-1}$$
Luego la solución de este problema es un número algo misterioso de la forma.
$$x-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{-1}$$
¿Qué significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un número negativo?¿Porqué no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuación no tiene solución? La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el símbolo $\sqrt{-1}$ como una entidad matemática nueva. Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números.
Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i, el cual será llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición.
$$i^{2}=-1$$
o bien
$$i=\sqrt{-1}$$
Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Números Complejos cuyos elementos son combinaciones de la forma:
$$z=a+bi$$
donde a y b son números reales.
Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.
Así, tenemos $Re(z) = a$ e $Im(Z) = b$.
Ejemplo:
El siguiente es un número complejo:
$$z=\sqrt{2}+\sqrt{3}i$$
Su parte real es $\sqrt{2}$ y su parte imaginaria es $\sqrt{3}$.
Ejemplo.
El siguiente es un número complejo
$$z=7$$
Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Números Reales forman parte del conjunto de los Números Complejos.
Entonces los Números Reales forman parte del conjunto de los Números Complejos.
Ejemplo.
El siguiente es un número complejo
$$z=14i$$
Cuando un número complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es un imaginario puro.
¿Cuándo dos números complejos son iguales?
Dos números complejos $z_{1}=a+bi$ y $z_{2}=c+di$ son iguales sí y sólo si $a = c$ y $b = d$. En otras palabras, dos números complejos son iguales cuando sus componentes respectivas, real e imaginaria, son iguales.
SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
La operación suma de números complejos esta basada en la suma de números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo. Más precisamente.
Sean $z_{1}=a_{1}+b_{1}i$ y $z_{2}=a_{2}+b_{2}i$ dos números complejos. Entonces la suma de $z_{1}$ con $z_{2}$, denotada por $z_{1}+z_{2}$ es el número complejo
$$z_{1}+z_{2}=\left ( a_{1} +a_{2}\right )+\left ( b_{1}+b_{2} \right )i$$
Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.
Ejemplo.
Para sumar $z_{1}=4+5i$ con $z_{1}=-9+3i$ hacemos
$$z_{1}+z_{2}=\left ( 4+5i \right )+\left (-9+3i \right )$$
$$z_{1}+z_{2}=\left ( 4-9 \right )+\left (5+3 \right )i$$
$$z_{1}+z_{2}=-5+8i$$
RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS
La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado. Más precisamente: Sean Z = a + bi y W = c + di dos números complejos, entonces la diferencia o resta entre Z y W viene dada por
Z − W = (a − c) + (b − d)i
Es decir, para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes.
Ejemplo. Sean Z = 4 + 7i y W = 2 + 3i. Entonces:
Z − W = (4 − 2) + (7 − 3)i = 2 + 4i
Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales
1) Propiedad de Cierre para la suma. Si Z y W son dos números complejos entonces tanto Z + W como Z − W son números complejos.
2) Propiedad asociativa. Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene
Z + (W + U) = (Z + W) + U
3) Propiedad Conmutativa. Si Z y U son números complejos, se tiene
Z + U = U + Z
4) Propiedad del elemento neutro. El número complejo 0 = 0 + 0i, es el elemento neutro para la suma. En efecto, si Z = a + bi es cualquier número complejo se tiene
Z + 0 = (a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = Z
de la misma forma, se puede probar que 0 + Z = Z
5) Propiedad del opuesto. Si Z = a+bi es un número complejo, el opuesto de este es −Z = −a − bi, el cual es otro número complejo. Nótese que el opuesto satisface
Z + (−Z) = (−Z) + Z = 0
Usando todas estas propiedades, es posible calcular expresiones complicadas en donde aparezcan sumas y restas de números complejos
Ejemplo. Calcule el valor de Z donde
Z = (5 + 12i) + [(10 − 8i) + [(6 + 3i) − (7 + 2i)]]
Para simplificar esta expresión usamos las propiedades estudiadas. Así pues
Z = (5 + 12i) + [(10 − 8i) + (−1 + i)]
= (5 + 12i) + (9 − 7i)
= 14 + 5i
PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean Z = a + bi y W = c + di definimos su producto, mediante la fórmula
Z · W = (ac − bd) + (ad + bc)i
Aunque parezca un poco complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación para los números reales. En efecto, haciendo la multiplicación de Z por W como si se tratara de expresiones algebraicas se obtiene
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bic + bd$i^{2}$
= ac − bd + (ad + bc)i
Hemos usado la propiedad distributiva para la multiplicación, la relación $i^{2}$ = −1 y un reagrupamiento de los términos. La multiplicación puede hacerse de dos maneras; o bien se aplica directamente la fórmula, o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustitución $i^{2}$ = −1.
Vemos entonces, que para multiplicar un número real por un número complejo, se multiplica cada componente de este último por el número real.
Propiedades de la multiplicación. La multiplicación de números complejos satisface las siguientes propiedades
1) Propiedad de Cierre para el producto. Si Z y W son dos números complejos entonces Z · W es un número complejo.
2) Propiedad asociativa. Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene
Z · (W · U) = (Z · W) · U
3) Propiedad Conmutativa. Si Z y U son números complejos, se tiene
Z · U = U · Z
4) Propiedad del elemento neutro. El número complejo 1, es el elemento neutro para el producto. En efecto, si Z = a + bi es cualquier número complejo se tiene
Z · 1 = (a + bi) · 1 = (a · 1) + (b · 1)i = a + bi = Z
de la misma forma, se puede probar que 1 · Z = Z
5) Propiedad del inverso. Si Z = a + bi es un número complejo, distinto de cero, el inverso de Z es otro número complejo, denotado por Z−1, el cual satisface
Z · $Z^{-1}$ = $Z^{-1}$ · Z = 1
Más adelante veremos como se calcula $Z^{-1}$
6) Propiedad distributiva. Si Z, W y U son números complejos se tienen las relaciones
Z · (W + U) = Z · W + Z · U
(Z + W) · U = Z · U + W · U.
El conjugado de Z
Definición. Si Z = a + bi es un número complejo, entonces el Conjugado de Z, denotado por $\overline{Z}$, es otro número complejo definido por por
$\overline{Z}$ = a − bi
Ejemplo. Si Z = 2 + 9i, su conjugado es $\overline{Z}$ = 2 − 9i
Ejemplo. Si Z = 7 − 9i, su conjugado es $\overline{Z}$ = 7 + 9i
El Módulo de Z
Definición. Si Z = a + bi es un número complejo, el Módulo de Z es el número real
$\left | Z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Observación: Se puede expresar el módulo de Z en función de él mismo y de su conjugado, usando la relación
$\left | Z \right |=\sqrt{Z\overline{Z}}$
Se puede probar que dicha relación se verifica para todo Z. En efecto, pongamos Z = a + bi. Luego
$Z\overline{Z}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ba)i=a^{2}+b^{2}$
de donde
$\sqrt{Z\overline{Z}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\left | Z \right |$
Ejemplo. Sea Z = 3 + 4i, para hallar su módulo hacemos
$\left | Z \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
Algunas propiedades muy importantes del módulo se dan a continuación. Supondremos que Z, W y U son números complejos
1) $\left | Z \right |=\geq 0$
2) $\left | Z \right |=0$ sí y sólo si Z = 0
3) $\left | Z+W \right |\leq \left | Z \right |+\left | W \right |$
4) $\left | Z\cdot W \right |\leq \left | Z \right |\cdot \left | W \right |$
5) $\left | Z^{-1} \right |=\left | Z^{-1} \right |$
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
¿Cómo se dividen entre sí dos números complejos? El caso más sencillo se presenta al dividir un complejo cualquiera entre un número real. Por ejemplo
$\frac{1+i}{4}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}i=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}i$
Si Z y W son dos números complejos, y W ̸= 0, podemos hacer la división de Z entre W de la forma siguiente
$\frac{Z}{W}=\frac{Z}{W}\cdot \frac{\overline{W}}{\overline{W}}=\frac{Z\cdot \overline{W}}{\left | W \right |^{2}}$
Tenemos entonces la regla para dividir números complejos:
Para hacer la división de dos números complejos Z y W, primero se multiplica Z por el conjugado de W y ´este resultado se divide entre el módulo al cuadrado de W, el cual es un número real.
Si hacemos Z = a + bi y W = c + di, tendremos
$\frac{Z}{W}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{a^{2}+b^{2}}$
Ejemplo. Sea Z = 3 + 4i y W = 2 + 3i. Entonces
$\frac{Z}{W}=\frac{3+4i}{2+3i}\cdot \frac{2-3i}{2-3i}$
$=\frac{(6+12)+(-9+8)i}{2^{2}+3^{2}}$
$=\frac{18-i}{11}$
$=\frac{18}{11}-\frac{1}{11}i$
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