FRACCIONES ORDINARIAS O QUEBRADOS

Una fracción, llamada también número fraccionario o número quebrado, expresa la medida de una magnitud que contiene exactamente una o varias partes iguales de la unidad fraccionada.

Pertenece al conjunto de números racionales no enteros y está formada por dos números o términos separados por una línea horizontal u oblícua. Así la fracción $\frac{5}{8}$ o 5/8 expresa que la unidad se ha dividido en ocho partes iguales, de las cuales se ha tomado 5 cualesquiera.

En general:

El número debajo de la raya se llama el denominador e indica en cuantas partes iguales ha sido dividida la unidad entera.

El número sobre la raya se llama numerador e indica en cuantas partes iguales de la unidad dividida han sido tomadas.

CLASIFlCACIÓN DE LAS FRACCIONES

1) Por la comparación de sus términos

Una fracción puede ser:

a) Propia: aquella cuyo valor es menor que la unidad. La condición necesaria y suficiente para que una fracción sea propia, es que el numerador sea menor que el denominador.

Ejemplos:

$$\frac{3}{6},\, \frac{7}{11},\, \frac{3}{7}$$

En general: $\frac{m}{n}<1\Rightarrow m< n$

b) Impropia: aquella cuyo valor, es mayor que la unidad. La condición necesaria y suficiente para que una fracción sea impropia, es que el numerador sea mayor que el denominador.

Ejemplos:

$$\frac{5}{3},\, \frac{11}{7},\, \frac{7}{3},\, \frac{3}{2}$$

En general: $\frac{m}{n}> 1\Rightarrow m> n$

c) Fracción igual a la unidad: aquella cuyo numerador y denominador son iguales.

Ejemplos:

$$\frac{3}{3},\, \frac{6}{6},\, \frac{a+b}{a+b}$$

En general: $\frac{m}{n}=1\Rightarrow m=n$

2) Por su denominador

Las fracciones puede ser:

a) Ordinarias o Comunes: Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10.

Ejemplos:

$$\frac{3}{4},\, \frac{7}{35},\, \frac{11}{2}$$

En general: $\frac{a}{b}\Rightarrow b\neq 10^{n}$

b) Decimales: Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.

Ejemplos:

$$\frac{3}{10},\, \frac{8}{100},\, \frac{37}{1000}$$

En general: $\frac{a}{b}\Rightarrow b= 10^{n}$

3) Por comparación de los denominadores

Pueden ser:

a) Homogéneas: Son aquellas cuyos denominadores son iguales

Ejemplos.

i) $\frac{3}{4},\: \frac{17}{4},\, \frac{11}{4},\; \frac{1}{4}$ (4 es El denominador común) 

ii) $\frac{a}{b},\, \frac{c}{b}$

b) Heterogéneas: Son aquellas cuyos denominadores son diferentes.

Ejemplos:

i) $\frac{a}{b},\, \frac{c}{d},\, \frac{e}{f},\, \frac{g}{h}$

ii) $\frac{1}{3},\, \frac{3}{4},\, \frac{7}{11},\, \frac{6}{2}$

c) Reductibles: Son aquellas cuyo numerador y denominador tienen algún divisor común distinto de uno (esta fracción se puede simplificar).

Ejemplos:

i) $\frac{8}{16}\Rightarrow \frac{8}{16}=\frac{2\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 2\cdot2 }=\frac{1}{2}$

ii) $\frac{3}{21}\Rightarrow \frac{3}{21}=\frac{3}{3\cdot 7 }=\frac{1}{7}$

d) Irreductibles: Son aquellas cuyos términos son primos entre sí.

$$\frac{3}{5},\, \frac{7}{11},\, \frac{27}{4}$$

e) Equimúltiplos: Se dice que una fracción es equimúltiplo de otra cuando el numerador y el denominador de la primera contiene el mismo número de veces, al numerador y al denominador de la segunda, respectivamente.

Ejemplos:

i) $\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{16}{32}=\frac{1\cdot 16}{2\cdot 16}$

ii) $\frac{24}{15}=\frac{8}{5}\Rightarrow \frac{24}{15}=\frac{8\cdot 3}{5\cdot 3}$

f) Fracción de fracción: Se llama así a las partes consideradas de una fracción que se ha dividido en partes iguales. Así: 4/9 de 3/5, indica que la fracci6n 3/5 se ha dividido en 9 partes iguales, de las cuales se considera 4.

Graficando:

CONVERSIÓN DE FRACCIONES HETEROGENÉAS A HOMOGÉNEAS

Para convertir varias fracciones a otras con un denominador común, se halla el MCM de los denominadores y este será el denominador común de las mismas. Luego, se multiplica cada numerador por el cociente resultante de dividir el referido MCM entre su denominador correspondiente.

Ejemplos:

Homogenizar las siguientes fracciones:

$$\frac{a}{b},\, \frac{c}{d},\, \frac{e}{f}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)$$

Solución:

Hallaremos el MCM de b, d, f. Consideremos que:

MCM (b, d, f) = M

La expresión (1) no se altera si multiplicamos y dividimos a cada fracción por un número cualquiera; por 10 que es equivalente a:

Homogenizar 

$$\frac{3}{5},\, \frac{7}{4},\, \frac{1}{7}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)$$

Solución.

MCM (5,4,7) = 140 si reemplazamos en (1)

$$\frac{3\cdot \frac{140}{5}}{5\cdot \frac{140}{5}},\, \frac{7\cdot \frac{140}{4}}{4\cdot \frac{140}{4}},\, \frac{1\cdot \frac{140}{7}}{7\cdot \frac{140}{7}}$$

que es equivalente a:

$$\frac{84}{140},\, \frac{245}{140},\, \frac{20}{140}$$

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Simplificar una fracción es hallar otra equivalente a ella, pero con términos de menor valor, dividiendo sucesivamente numerador y denominador por un factor común.

Ejemplo:

Simplificar $\frac{8}{16}$

$$\frac{8}{16}=\frac{4}{8}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Para lograrlo se han dividido sucesivamente numerador y denominador por 2.

OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Para realizar estas operaciones es necesario que las fracciones sean homogéneas y en caso de no serlo se hará la homogenización respectiva.

Demostración:

$$\frac{a}{b}+\frac{p}{b}+\frac{r}{b}=\frac{a+p+r}{b}$$

Dividiendo ambos entre b:

$$\frac{a+p+r}{b}=C_{1}+C_{2}+C_{3}$$

es decir:

$$\frac{a+p+r}{b}=\frac{a}{b}+\frac{p}{b}+\frac{r}{b}$$

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar fracciones basta multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí.

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{p}{q}\cdot \frac{r}{s}=\frac{a\cdot p\cdot r}{b\cdot q\cdot s}$$

Demostración:

Sea:

$$\frac{a}{b}=q_{1}\Rightarrow a=b\cdot q_{1}$$

$$\frac{p}{q}=q_{2}\Rightarrow p=q\cdot q_{2}$$

$$\frac{r}{s}=q_{3}\Rightarrow r=s\cdot q_{3}$$

Multiplicando: $$a\cdot p\cdot r=b\cdot q\cdot s\cdot q_{1}\cdot q_{2}\cdot q_{3}$$

$$\frac{a\cdot p\cdot r}{b\cdot q\cdot s}=q_{1}\cdot q_{2}\cdot q_{3}\Rightarrow \frac{a\cdot p\cdot r}{b\cdot q\cdot s}=\frac{a}{b}\cdot \frac{p}{q}\cdot \frac{r}{s}$$

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir das fracciones, basta multiplicar el quebrado dividendo, por el quebrado divisor invertido.

$$\frac{A}{B}\div \frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}$$

Demostración:

$$\frac{A}{B}=k_{1}\rightarrow A=Bk_{1}\, \, \,\, \, \, \, \,  (1)$$

$$\frac{C}{D}=k_{2}\rightarrow C=Dk_{2}\, \, \,\, \, \, \, \,  (2)$$

Dividendo (1) : (2)

$$\frac{A}{C}=\frac{Bk_{1}}{Dk_{2}}$$

o:

$$\frac{A}{C}\cdot \frac{D}{B}=\frac{k_{1}}{k_{2}}$$

$$\frac{A}{C}\cdot \frac{D}{B}=\frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}$$

o:

$$\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}=\frac{A}{B}\div \frac{C}{D}$$

DIVISIBILIDAD DE FRACCIONES

Dados dos números A y B fraccionarios, se dice que A es múltiplo de B o que B es divisor de A cuando el cociente de A entre B es un entero C.

La condición necesaria y suficiente para que el quebrado A sea múltiplo del quebrado B a que el quebrada B sea divisor del quebrada A, es que al expresar ambas cantidades, como fracciones irreductibles, el numerador de A sea múltiplo del numerador de B y el denominador de A sea divisor del denominador de B.

Así por ejemplo, 3/2 es divisible par 1/4 ya que:

$\frac{3}{2}\div \frac{1}{4}=\frac{12}{2}=6$    (entero)

se verifica que: 3 = m1 ; 4 = m2

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES

Primera Propiedad: Si a cada uno de los dos términos de un quebrada propio se le suma una misma cantidad, el quebrado aumenta de valor.

Sea $\frac{P}{Q}$ un quebrado propio / P < Q:

$$\frac{P+C}{Q+C}>\frac{P}{Q}$$

Demostración:

Consideremos que P < Q en R $\Rightarrow$ unidades P + R = Q. Podemos establecer.

$\frac{P+R}{Q}=\Rightarrow \frac{P}{Q}+\frac{R}{Q}=1\, \, \, \, \, \, (1)$

También (P + Q) < (Q + C), en R unidades:

$\Rightarrow \left ( P+C \right )+R=\left ( Q+C \right )\Rightarrow \frac{P+C+R}{Q+C}=1$

$$\frac{(P+C)}{Q+C}+\frac{R}{Q+C}=1\, \, \, \, \, (2)$$

Analizando (1) y (2) observamos que el quebrado:

$\frac{R}{Q+C}$ de (2), es menor que el quebrado $\frac{R}{Q}$ de (1):

y por tanto, el primero necesita una cantidad mayor que el segundo para ser igual a uno.

Por consiguiente: $\frac{P+C}{Q+C}>\frac{P}{Q}$

Ejemplo:

$$\frac{5+4}{9+4}>\frac{5}{9}$$

o:

$$\frac{9}{13}>\frac{5}{9}$$

A fin de comparar ambos quebrados, hallemos el común denominador:

$$\frac{81}{117}>\frac{65}{117}$$

Segunda Propiedad: Si a los dos términos de un quebrado impropio se les aumenta una misma cantidad el quebrado disminuye de valor.

Sea $\frac{A}{B}$ un quebrado impropio / A> B:

$$\frac{A+P}{B+P}<\frac{A}{B}$$

Demostración:

Consideremos A > B en "n" unidades, entonces:

$$A-n=B;\, \frac{A-n}{B}=1;\, \frac{A}{B}-\frac{n}{B}=1$$

$$\frac{A}{B}=1+\frac{n}{B}\, \, \, \, \, (1)$$

También: (A + P) > (B + P) en "n" unidades, entonces:

$$(A+P)-n=B+P\Rightarrow \frac{(A+P)-n}{(B+P)}=1$$

$$\frac{A+P}{B+P}-\frac{n}{B+P}=1\Rightarrow -\frac{A+P}{B+P}=1+\frac{n}{B+P}\, \, \, \, (2)$$

analizando (1) y (2), observamos que el sumando:

$\frac{n}{B+P}$ de (2) es menor que $\frac{n}{B}$ de (1)

y por lo tanto, la suma (2) es menor que la suma (1), es decir:

$$\frac{A+P}{B+P}<\frac{A}{B}$$

Tercera Propiedad: Si dos fracciones son iguales, y la primera de ellas es irreductible, la segunda es equimúltiplo de la primera.

Sean $\frac{n}{d}=\frac{a}{b}$, dos quebrados iguales

$\frac{n}{b}$ es irreductible (porque "n" y "d" son primos entre sí)

Entonces: a y b contienen a n y d, respectivamente, el mismo número de veces.

Demostración:

De: $\frac{n}{d}=\frac{a}{b}\Rightarrow a=\frac{b\cdot n}{d}\, \, \, \, (1)$

Como "a" es un numero entero: "d" divide a "bn" y siendo "d" primo con "n". "d" divide a "b":

$$\frac{b}{a}=k\, (entero)\Rightarrow b=d\cdot k\, \, \, \, (2)$$

(2) en (1): $a=\frac{d\cdot k\cdot n}{d}\Rightarrow a=k\cdot n\, \, \, \, \, \, (3)$

De (2) y (3) observamos que las veces que "n" esta contenida en "a" son las mismas que "d" esta contenida en "b".

Por consiguiente $\frac{a}{b}$ es equimúltiplo de $\frac{n}{a}$

MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS QUEBRADOS

Teorema: El MCD de varios quebrados irreductibles se obtiene dividiendo el MCD de los numeradores por el MCM de los denominadores.

Sea:

$\frac{a}{b}$ el MCD de $\frac{p}{q}\, y\, \frac{r}{s}$ (quebrados irreductibles).

Entonces:

a=MCD (p, r); b =MCM de (q ,s)

Demostración: 

Por definición: $\frac{a}{b}$ es la mayor expresión posible $\frac{a}{b}$ está contenida en $\frac{p}{q}\, y\, \frac{r}{s}$ un número entero un número entero de veces.

$\frac{p}{q}\div \frac{a}{b}=$ número entero $\frac{p}{q}\cdot  \frac{b}{a}=$ número entero     (1)

$\frac{r}{s}\div \frac{a}{b}=$ número entero $\frac{r}{s}\cdot  \frac{b}{a}=$ número entero     (2)

Analizando (1) y (2) observamos que, siendo los quebrados irreductibles, para que dichas expresiones se cumplan es necesario que: los términos de "a" se simplifiquen con p y r; y los términos q y s, con el termino "b". Es decir:

a = común divisor de p y s                       (3)

b = múltiplo común de q y r

Como a/b debe ser la mayor expresión posible, deducimos que "a" debe ser lo más grande posible, y "b" lo más pequeña posible; por lo tanto, de (3):

a = MCD de p y r ; b = MCM de q y s

Ejemplo:

Hallar el MCD de: $\frac{15}{4},\, \frac{5}{9}\, y\, \frac{3}{8}$ 

$$\frac{MCD(15,5,3)}{MCM(4,9,8)}=\frac{1}{72}$$

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS QUEBRADOS

Teorema: El MCM de varios quebradas irreductibles, se obtiene dividendo el MCM de los numeradores por el MCD de los denominadores.

Sea $\frac{x}{y}$ el MCM de:

$$\frac{n}{d}\, \wedge \, \frac{r}{s}\, (quebradas\, irreductibles)$$

Entonces:

x = MCM de "n" y "r" ^ y = MCD de "d" y "s"

Demostración:

Por definición de MCM:

$\frac{x}{y}$ es la menor expresión posible que contiene un número exacto de veces a:

$$\frac{n}{d}\, \wedge \, \frac{r}{s}$$

Además:

$\frac{x}{y} \div \frac{n}{d}=$ # entero $\Rightarrow$  $\frac{x}{y}\cdot  \frac{d}{n}=$ # entero     (1)

También:

$\frac{x}{y} \div \frac{r}{s}=$ # entero $\Rightarrow$  $\frac{x}{y}\cdot  \frac{s}{r}=$ # entero     (2)

Analizando las expresiones (1) y (2) observamos que los términos "n" y "r" deben simplificarse con los términos "x", y los términos "y", con los términos "d" y "s". Por 10 tanto:

x = MCM (n, r) ; y MCD (d, s)  (3)

Según definición x/y es lo menor posible y para ello se requiere que "x" sea lo más pequeño posible e "y" sea lo más grande posible.

x = MCM de "n" y "r" y = MCD de "d" y "s"

Notas:

1) Dadas 2 o más fracciones homogéneas, la mayor de las fracciones es aquella que tiene el mayor numerador.

Ejemplo:

Dados:

$$\frac{3}{8},\, \frac{5}{8},\, \frac{1}{8}\, y\, \frac{6}{8}\Rightarrow \frac{6}{8}> \frac{5}{8}> \frac{3}{8}> \frac{1}{8}$$

Por lo tanto, para averiguar cual de varias fracciones heterogéneas es la mayor, basta con homogenizar las fracciones y realizar la comparación.

2) Dadas dos o más fracciones  con numerador común, será mayor la que posee el menor denominador.

Ejemplos:

$$\frac{3}{7},\, \frac{3}{5}\, y\, \frac{3}{2}$$

Demostraremos que la mayor es 3/2, para ello bastara con homogenizar, (dar común denominador a) las fracciones.

$$\frac{3}{7}=\frac{30}{70}\, ;\, \frac{3}{5}=\frac{42}{70}\, ;\, \frac{3}{2}=\frac{105}{70}$$

Donde:

$$\frac{105}{70}> \frac{42}{70}> \frac{30}{70}\Rightarrow \frac{3}{2}> \frac{3}{5}> \frac{3}{7}$$

3) Toda fracción cuyos términos son primos entre sí, es irreductible.

Ejemplo:

$$\frac{1}{2}\, ,\, \frac{5}{7}\, ,\, \frac{5}{11}\, ,\, \frac{2}{13}$$

EJERCICIOS RESUELTOS

La capacidad de una botella es 3/4 de litro. Calcular los litros que contiene cuando se llenan los 5/8.

Solución:

$$\frac{5}{8}\, de\, \frac{3}{4}=\frac{5}{8}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{32}\, litros$$

Respuesta: $\frac{15}{32}\, litros$

Disminuir 121 en sus 9/11

Solución:

Bastará calcular los $\frac{2}{11}=\frac{11}{11}-\frac{9}{11}\, de\,  121$

$$\frac{2}{11}\, de \, 121=\frac{2}{11}\cdot 121=22$$

Respuesta: 22

Disminuir 3/4 en sus 5/9

Solución:

Si de una cantidad cualquiera se sustrae 5/9 queda los 4/9 Bastará calcular los 4/9 de 3/4

$$\frac{4}{9}\, de\, \frac{3}{4}=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{3}$$

Respuesta: $\frac{1}{3}$

Aumentar 90 en sus 2/9

Solución:

Toda cantidad contiene sus 9/9. Si a esta cantidad se le agrega 2/9 se obtendrá 11/9. Bastará calcular 11/9 de 90.

$$\frac{11}{9}\, de\, 90=11\cdot \frac{90}{9}=\frac{990}{9}=110$$

Respuesta: 110

En un cajón había cierta cantidad de dólares. Un niño retiro $ 1,00; en seguida su hermano retiró 1/3 del resto, el otro hermano 1/2 de lo que aún queda y finalmente el hermano mayor se llevó 1/11 de lo que aún había. Determinar cuantos dólares había en el cajón; si el padre de ellos encontró sólo $ 30,00.

Solución:

Retirando el niño $ 1,00 quedo en el cajón N dólares.

Su hermano cogió 1/3 de N; entonces: 2/3 N quedó.

El otro hermano tomó 1/2 de 2/3 N; quedó $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}N=\frac{1}{3}N$

Finalmente el hermano mayor cogió $\frac{1}{11}\cdot \frac{1}{3}N$ de lo que había.

Finalmente quedó: $\frac{10}{11}\cdot \frac{1}{3}N=\frac{10}{33}N$

Según dato, lo que quedó era $ 30,00; o sea:

$$\frac{10}{33}N=3\Rightarrow N=\frac{30\cdot33 }{10}=99$$

En el cajón había: $99 +$ 1 = $ 100

Respuesta: $ 100,00

Un tanque puede ser llenado por una bomba en 5 horas y por una segunda bomba en 4 horas. Si una válvula, en el fondo, puede descargar el líquido en 10 horas. Determinar el tiempo que demoraría en llenarse si funcionan a la vez las 2 bombas y la válvula.

Solución:

En una hora:

la primera bomba llena 1/5 del tanque

la segunda bomba llena 1/4 del tanque

la válvula descarga 1/10 del tanque

Luego, en una hora funcionando las 2 bombas y la válvula se llena:

$$\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{10}=\frac{4+5-1}{20}=\frac{7}{20}\, tanque$$

Usando regla de 3 simple:

$$1h\cdots \cdots \cdots 7/20\, tanque$$

$$xh\cdots \cdots \cdots 20/20\, tanque$$

$$x=\frac{20/20}{7/20}\rightarrow x=20/7$$

Luego todo el tanque se llenará en:

$$\frac{20}{7}h=2\frac{6}{7}h$$

Respuesta: $2\, \frac{6}{7}\, h\, \, o\, \, 2h\, 51 min\, 25,7s.$