FORMAS SINGULARES O DETERMINADAS
Si en una fracción, el numerador o el denominador, se hacen cero o “infinito, resulta las siguientes formas determinadas:
$$\frac{a}{0},\frac{0}{a},\frac{a}{\infty},\frac{\infty}{a},\frac{0}{\infty},\frac{\infty}{0}$$
Notación formal de las formas determinadas:
1) $\lim_{a\to0}\frac{a}{x}=0$
2) $\lim_{a\to0}\frac{x}{a}=\infty$
3) $\lim_{a\to\infty }\frac{x}{a}=0$
4) $\lim_{a\to\infty }\frac{a}{x}=\infty$
5) $\lim_{a\to\infty }\frac{x}{a}=0$
$\lim_{a\to0}\frac{x}{a}=0$
6) $\lim_{a\to\infty}\frac{a}{x}=\infty$
$\lim_{a\to0}\frac{a}{x}=\infty$
donde la expresión:
$\lim_{a\to0}\frac{a}{x}=0$
se lee “límite de la fracción $\frac{a}{x}$ cuando “a” tiende a cero”.
NOTA.- El símbolo $∞$, que se lee “infinito”, se utiliza para representar un número variable cuyos valores crecen indefinidamente hacia un límite (el límite infinito), siendo siempre esos valores mayores que cualquier número por grande que sea.
FORMAS INDETERMINADAS
Si en una fracción, numerador y de nominador se hacen cero o infinito al mismo tiempo, se obtiene las siguientes formas indeterminadas:
$$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$$
Existen también otras formas indeterminadas que no necesariamente proceden del cálculo con fracciones y son las siguientes:
$$\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },0^{0}$$
VERDADERO VALOR
En una expresión algebraica, cuando para un valor de las variables, la expresión adquiere forma indeterminada, hay que buscar su “verdadero valor” y se llama “verdadero valor” de dicha expresión el valor de la otra que sea equivalente a la dada.
CÁLCULO DEL VERDADERO VALOR
1) FORMA $\frac{0}{0}$
Cuando una fracción x = a (“x” tiende a “a”) toma la forma indeterminada:
es porque esta fracción contiene necesariamente en el numerador y denominador el factor (x - a)
Para calcular el verdadero valor o levantar la indeterminación, se procede de la siguiente forma:
1º Se factoriza el numerador y denominador, buscando el factor (x - a).
2º Se simplifica en el numerador y denominador este factor.
3º Se sustituye nuevamente x = a. Si persiste la indeterminación, se repite el procedimiento; en caso contrario, el resultado obtenido es el verdadero valor.
EJERCICIOS RESUELTOS
Hallar el verdadero valor (V.V.) de la fracción:
Solución:
Sustituyendo x = 3 en la fracción:
$E=\frac{2(3)^{2}-5(3)-3}{(3)^{2}+(3)-12}=\frac{0}{0}$
toma la forma indeterminada $\frac{0}{0}$, lo cual indica que numerador y denominador 0 de esta fracción, contienen el factor (x - 3).
1. Factorizando este factor en el numerador y denominador:
$E=\frac{(2x+1)(x-3)}{(x+4)(x-3)}$
2. Simplificando:
$E=\frac{(2x+1)}{(x+4)}$
3. Para x = 3:
$E=\frac{2(3)+1}{3+4}=\frac{7}{7}$
V.V.E=1
Hallar el verdadero valor (V.V.) de:
$$R=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2a}+\sqrt{x-2a}}{\sqrt{x^{2}-4a^{2}}}$$
para x = 2a
Solución:
Para x = 2a:
$R=\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{2a}+\sqrt{2a-2a}}{\sqrt{4a^{2}-4a^{2}}}=\frac{0}{0}$
Lo que indica que ambos miembros de la fracción, contienen al factor (x - 2a). Para factorizar se debe racionalizar, multiplicando numerador y denominador por el factor racionalizante (F.R.) del numerador.
$R=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{x-2a})-\sqrt{2a}[(\sqrt{x}+\sqrt{x-2a})+\sqrt{2a}]}{\sqrt{x^{2}-4a^{2}}[(\sqrt{x}+\sqrt{x-2a})+\sqrt{2a}]}$
$R=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{x-2a})^{2}-(\sqrt{2a})^{2}}{\sqrt{x^{2}-4a^{2}}(\sqrt{x}+\sqrt{x-2a}+\sqrt{2a})}$
$R=\frac{x+2\sqrt{x}\sqrt{x-2a}+x-2a-2a}{\sqrt{x^{2}-4a^{2}}(\sqrt{x}+\sqrt{x-2a}+\sqrt{2a})}$
$R=\frac{2x-4a+2\sqrt{x}\sqrt{x-2a}}{\sqrt{x^{2}-4a^{2}}(\sqrt{x}+\sqrt{x-2a}+\sqrt{2a})}$
$R=\frac{2\sqrt{x-2a}(\sqrt{x-2a}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+2a}\sqrt{x-2a}(\sqrt{x}+\sqrt{x-2a}+\sqrt{2a})}$
$R=\frac{2(\sqrt{x-2a}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+2a}(\sqrt{x}+\sqrt{x-2a}+\sqrt{2a})}$
para x = 2a
$R=\frac{2(\sqrt{2a-2a}+\sqrt{2a})}{\sqrt{2a+2a}(\sqrt{2a}+\sqrt{2a-2a}+\sqrt{2a})}$
$R=\frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{4a}(\sqrt{2a}+\sqrt{2a})}$
$R=\frac{2\sqrt{2a}}{2\sqrt{a}(2\sqrt{2a})}=\frac{1}{2\sqrt{a}}$
$R=\frac{1}{2\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$
$R=\frac{\sqrt{a}}{2(\sqrt{a})^{2}}$
V.V. R = $\frac{\sqrt{a}}{2a}$
Hallar el verdadero valor de:
$$M=\frac{(3125)^{x}-(1024)^{x}}{5^{x}-4^{x}}$$
para x = 0
Solución:
Para x = 0:
$M=\frac{(3125)^{0}-(1024)^{0}}{5^{0}-4^{0}}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}$
reescribiendo la expresión:
$M=\frac{(5^{x})^{5}-(4^{x})^{5}}{5^{x}-4^{x}}$
desarrollando por Cocientes Notables y simplificando el factor $({5^{x}-4^{x}})$, que se manifiesta:
$M=(5^{x})^{4}+(5^{x})^{3}(4^{x})+(5^{x})^{2}(4^{x})^{2}+(5^{x})(4^{x})^{3}+(4^{x})^{4}$
para x = 0
$M=(5^{0})^{4}+(5^{0})^{3}(4^{0})+(5^{0})^{2}(4^{0})^{2}+(5^{0})(4^{0})^{3}+(4^{0})^{4}$
$M=1+(1)\cdot (1)+(1)\cdot (1)+(1)\cdot (1)+1$
M=1+1+1+1+1=5
V.V.M = 5
2) FORMA $\frac{\infty }{\infty }$
Para levantar la indeterminación de esta forma, se divide el numerador y denominador entre la máxima potencia de la variable, cuya presencia provoca la indeterminación.
REGLA PRÁCTICA.- En la forma práctica, el V.V. se obtiene analizando ambos miembros de la fracción.
1. Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el V.V es ∞, es decir:
$$\circ \left | N \right |> \circ \left | D \right |\Rightarrow V.V. \,Expresion =\infty $$
2. Si el numerador es de menor grado que el denominador, el V.V. es 0, es decir:
$$\circ \left | N \right |< \circ \left | D \right |\Rightarrow V.V. \,Expresion =0$$
3. Si el numerador y el denominador son de igual grado, el V.V. es un cociente formado por la suma de los coeficientes de los términos de máxima potencia, del numerador y del denominador es decir:
$$Si\,\circ \left | N \right |= \circ \left | D \right |, \,entonces:$$
$$V.V.E= \frac{Coeficiente\, de\, mayor\, grado\, de\, N}{Coeficiente\, de\, mayor\, grado\, de\, D}$$
EJERCICIOS RESUELTOS
Calcular el V.V. de:
$$A=\frac{15x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+5x+9}{5x^{4}+2x^{2}+7x+6}$$
para x = ∞
Solución:
Cuando x = ∞:
$A=\frac{\infty +\infty +\infty +\infty +9}{\infty +\infty +\infty +\infty +6}=\frac{\infty }{\infty }$ forma indeterminada
Según la regla práctica, por ser de igual grado numerador y denominador de la fracción:
V.V.A = $\frac{15}{5}$
V.V.A = 3
Calcular el V.V. de:
$$R=\frac{(x^{4}+x^{2}+1)^{10}+(x^{4}+x+1)^{10}+(x^{2}+1)^{5}+16x^{40}}{(3x^{20}+4x^{5}+5x^{2}+1)^{2}}$$
cuando x → ∞
Solución:
Cuando x → ∞:
$R=\frac{(\infty +\infty +1)^{10}+(\infty +\infty +1)^{10}+(\infty +1)^{10}+\infty }{(\infty +\infty +\infty +1)^{2}}$
Como el grado del numerador es 40 y el grado del denominador también es 40; aplicando la regla práctica:
$R=\frac{(1)^{10}+(1)^{10}+16(1)^{40}}{(3)^{2}}=\frac{18}{9}$=2
V.V.R = 2
Hallar el V.V. de:
$$L=\frac{\sqrt[3]{8x^{15}+2x+3}+\sqrt[5]{32x^{25}+2x+6}}{3x^{5}+4x+6+\sqrt{x^{10}+5x+7}}$$
para x = ∞.
Solución:
Cuando x → ∞, la fracción toma la forma∞/∞, analizando los grados °⏐N|= °|D| por la regla práctica:
V.V.L = $\frac{\sqrt[3]{8}+\sqrt[5]{32}}{3+\sqrt{1}}=\frac{2+2}{3+1}=\frac{4}{4}=1$
V.V.L = 1
Si el V.V. de la expresión E para:
$$x → ∞\, es\, \frac{125}{512}$$
indicar cuánto vale “n”.
E=$\frac{(25x^{2}+7)^{n}(100x^{3}-1)^{n-2}(2x^{5}-1)}{(80x^{4}+1)^{n}(5x-2)^{n-1}}$
Solución:
Analizando los grados :
°⏐N| = 2n + 3n - 6 + 5 = 5n - 1
°⏐D⏐ = 4n + n - 1 = 5n - 1
se observa que los grados son iguales.
Aplicando la regla práctica:
V.V.E =$\frac{(25)^{n}(100)^{n-2}(2)}{(80)^{n}(5)^{n-1}}=\frac{125}{512}$
$\frac{(5^{2})^{n}(5^{2}\cdot 2^{2})^{n-1}(2)}{(2^{4}\cdot 5)^{n}\cdot 5^{n-1}}=\frac{125}{512}$
$\frac{5^{2n}\cdot 5^{2n-4}\cdot 2^{2n-4}\cdot 2^{1}}{2^{4n}\cdot 5^{n}\cdot 5^{n-1}}=\frac{125}{512}$
$\frac{5^{4n-4}\cdot 2^{2n-3}}{2^{4n}\cdot 5^{2n-1}}=\frac{125}{512}$
$\frac{5^{4n-4-2n+1}}{2^{4n-2n+3}}=\frac{125}{512}$
$\frac{5^{2n-3}}{2^{2n+3}}=\frac{5^{3}}{2^{9}}$
$\frac{5^{2n}\cdot 5^{-3}}{2^{2n}\cdot 2^{3}}=\frac{5^{3}}{2^{9}}$
$\left ( \frac{5}{2} \right )^{2n}=\frac{5^{6}}{2^{6}}$
$\left ( \frac{5}{2} \right )^{2n}=\left ( \frac{5}{2} \right )^{6}$
identificando exponentes:
2n = 6
n = 3
3) FORMA = ∞ - ∞
1) Si una expresión f (x), irracional cuando x → ∞, toma la forma indeterminada ∞ - ∞; se lleva ésta a la forma $\frac{\infty }{\infty }$, multiplicando y dividiendo por su ∞ Factor Racionalizante (F.R.) o conjugada. Obtenida la forma $\frac{\infty }{\infty }$, para hallar ∞ su V.V. se aplica la regla práctica.
2) Si una expresión f (x), para x = a, toma la forma ∞ - ∞ para hallar su V.V se efectúa las operaciones indicadas, se simplifica y se reemplaza x = a.
EJERCICIOS RESUELTOS
Hallar el V.V. de:
$$E=ax+b-\sqrt{a^{2}x^{2}+abx+c}$$
para x = ∞.
Solución:
Multiplicando y dividiendo por:
$\left [ (ax+b)+\sqrt{a^{2}x^{2}+abx+c} \right ]$
$E=\frac{\left [ (ax+b)-\sqrt{a^{2}x^{2}+abx+c} \right ]\left [ (ax+b)+\sqrt{a^{2}x^{2}+abx+c} \right ]}{\left [ (ax+b)+\sqrt{a^{2}x^{2}+abx+c} \right ]}$
$E=\frac{[ (ax+b)^{2}-(a^{2}x^{2}+abx+c)}{(ax+b)+\sqrt{a^{2}x^{2}+abx+c}}$
$E=\frac{a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}-a^{2}x^{2}-abx-c}{(ax+b)+\sqrt{a^{2}x^{2}+abx+c}}$
$E=\frac{abx+b^{2}-c}{(ax+b)+\sqrt{a^{2}x^{2}+abx+c}}$
cuando x → ∞, E=$\frac{\infty }{\infty }$
Analizando los grados: °⏐N⏐ = 1 = °⏐D⏐
Aplicando la regla práctica:
V.V.E = $\frac{ab}{a+\sqrt{a^{2}}}=\frac{ab}{2a}=\frac{b}{2}$
Hallar el V.V. de:
$$E=\sqrt{x^{2}+10x+8}-(x+3)$$
para x = ∞.
Solución:
Cuando x → ∞:
E = ∞ - ∞
Multiplicando y dividiendo por el Factor Racionalizante (F.R.):
$E=\frac{\left [ \sqrt{x^{2}+10x+8}-\left ( x+3 \right ) \right ]\left [ \sqrt{x^{2}+10x+8}+\left ( x+3 \right ) \right ]}{ \sqrt{x^{2}+10x+8}+\left ( x+3 \right ) }$
$E=\frac{ \left ( \sqrt{x^{2}+10x+8} \right )^{2}-\left ( x+3 \right )^{2}}{ \sqrt{x^{2}+10x+8}+\left ( x+3 \right ) }$
$E=\frac{ x^{2}+10x+8-x^{2}-6x-9}{ \sqrt{x^{2}+10x+8}+ x+3 }$
$E=\frac{ 4x-1}{ \sqrt{x^{2}+10x+8}+ x+3 }$
Cuando x → ∞:
$E=\frac{ \infty }{ \infty }$
Analizando los grados °⏐N⏐ = °⏐D⏐ = 1
Aplicando la regla práctica:
$E=\frac{ 4 }{\sqrt{1}+1 }$
$E=\frac{ 4 }{2 }=2$
V.V.E = 2
Hallar el V.V. de:
$$E=\frac{ x+6 }{x^{2}-16 }-\frac{x+1}{x(x-4)}$$
para x = 4
Solución:
Para x = 4, la expresión toma la forma indeterminada:
∞ - ∞
El primer denominador es diferencia de cuadrados, efectuando y simplificando:
$E=\frac{ x+6 }{(x+4)(x-4) }-\frac{x+1}{x(x-4)}$
$E=\frac{ (x+6)x-(x+1)(x+4) }{x(x+4)(x-4) }$
$E=\frac{ x^{2}+6x-x^{2}-5x-4 }{x(x+4)(x-4) }$
$E=\frac{ x-4 }{x(x+4)(x-4) }$
$E=\frac{ 1 }{x(x+4) }$
para x = 4:
$E=\frac{ 1 }{4(4+4) }=\frac{1}{32}$
V.V.E =$\frac{1}{32}$
4) FORMA 0 . ∞
Cuando una expresión para x = a, toma la forma indeterminada 0 x ∞, su V.V. se encuentra efectuando las operaciones indicadas, simplificando y reemplazando x = a; o también, tratando de transformarlo, a otras formas conocidas.
EJERCICIOS RESUELTOS
Hallar el V.V. de:
$$F=\left ( \frac{1}{x+3} -\frac{1}{3x-1}\right )\left ( \frac{7}{x^{2}+6x-16} \right )$$
para x = 2.
Solución:
Para x = 2, se obtiene 0 . ∞; efectuando operaciones:
$F=\left [ \frac{3x-1-x-3}{(x+3)(3x-1)} \right ]\left [ \frac{7}{(x+8)(x-2)} \right ]$
$F=\left [ \frac{2(x-2)}{(x+3)(3x-1)} \right ]\left [ \frac{7}{(x+8)(x-2)} \right ]$
$F=\frac{14}{(x+3)(3x-1)(x+8)}$
para x = 2
$F=\frac{14}{(2+3)(3(2)-1)(2+8)}$
$F=\frac{14}{(5)(5)(10)}=\frac{7}{125}$
V.V.F = $\frac{7}{125}$
Hallar el V.V. de:
$$G=\left ( \sqrt[3]{+\frac{3}{x}}-1 \right )x$$
para x = ∞
Solución:
Cuando x → ∞ , E toma la forma 0 . ∞
Multiplicando y dividiendo por el Factor Racionalizante (F.R.):
$$\sqrt[3]{\left ( 1+\frac{3}{x} \right )^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+1$$
se tiene:
$G=\frac{\left ( 1+\frac{3}{x} -1\right )x}{\sqrt[3]{\left ( 1+\frac{3}{x} \right )^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+1}$
$G=\frac{\left ( \frac{3}{x} \right )x}{\sqrt[3]{\left ( 1+\frac{3}{x} \right )^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+1}$
$G=\frac{ 3}{\sqrt[3]{\left ( 1+\frac{3}{x} \right )^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+1}$
para x → ∞ :
$G=\frac{ 3}{\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1}+1}$
$G=\frac{3}{3}=1$
V.V.G = 1
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