Así como la Sustracción es una operación inversa de la Adición de igual manera la División es una operación inversa de la Multiplicación.
En efecto, si: 4 x 7 = 28 (operación directa)
Decimos entonces: 28 : 7 = 4 (operación inversa)
La expresión: 28 : 7 = 4 se lee: "Veintiocho Dividido por siete, es igual a 4"
Recuerde que:
Dividir es Repartir en parles iguales.
Ejemplo.
Sea un conjunto con 20 elementos. Dividir por 4 es hacer 4 subconjuntos en lo que entren 5 elementos.
Por ello decimos que dividir es repartir en partes iguales.
La División es una Operación inversa a la Multiplicación.
Ejemplo.
Observa:
- Hemos multiplicado los factores 4 x 5 y hemos obtenido el producto 20.
- Del resultado producto 20, hemos separado los factores, 4 y 5, haciendo una División.
Por ello decimos que la División es una Operación inversa a la multiplicación.
DATOS DE LA DIVISIÓN: DIVISIÓN EXACTA E INEXACTA
El signo de dividir consiste en dos puntos ( : ), o en un ( |__), que se lee dividido por.
Si al hacer una división no hay Resto, como 42 : 6 = 7, la división se llama Exacta.
Si al hacer división, como 29 : 3 = 8 y sobran 5, la división se llama Inexacta.
¡Atención!
La división no es conmutativa ni asociativa.
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN EXACTA
1) La División no es Conmutativa.
Así: No es lo mismo; 15 : 3 que 3 : 15
2) La División no es Asociativa.
Así: No es lo mismo; ( 14 : 7 ) : 2 que 14 : ( 7 : 2 )
3) Todo número natural, distinto a cero, dividido entre si mismo es igual a 1.
Así. 15 : 15 = 1; 246 : 246 = 1
4) Todo número natural dividido entre 1, es igual al mismo número.
10 : 1 = 10 ; 253 : 1 = 253
5) Propiedad Distributiva Ja división tiene la propiedad distributiva a la derecha con respecto a la adición y a la sustracción.
Así.
a) (16 + 8 + 12) : 2 = (16 : 2) + (8 : 2) + (12 : 2)
b) (85 - 25 - 15) : 5 = (85 : 5) - (25 : 5) - (15 : 5)
c) (24 + 15 - 18): 3 = (24 : 3) + (15 : 3) - ( 18 : 3)
6) Si el divisor se multiplica por un número sin que varíe el dividendo, el cociente queda dividido por ese mismo número.
Ejemplo.
7) Si el divisor se divide por un número sin que varíe el dividendo el cociente queda multiplicado por ese mismo número.
Ejemplo.
8) Si el dividendo y el divisor se multiplican o se dividen por un mismo número, el cociente no varía.
Ejemplo.
Ejemplo.
DIVISIÓN INEXACTA O EUCLIDIANA
Se quiere repartir 26 caramelos entre 8 niños. Si damos 3 caramelos a cada niño, sobran 2 caramelos. Esta es lo que Indica la división:
Si damos 4 caramelos a cada niño, faltan 6 caramelos, esto es lo que indica la división:
La primera división se llama INEXACTA por DEFECTO, y la segunda, INEXACTA por EXCESO.
Observa que:
El Resto por Defecto + el Resto por Exceso = Divisor
El cociente por exceso es uno unidad mayor que el cociente por defecto.
Resto por defecto es siempre menor que el divisor.
Resuelve las siguientes divisiones por Defecto y Exceso.
43 : 6 y 34 : 5
Comprueba que: Resto por defecto + resto por exceso = divisor
Resolución.
Llamaremos:
D = Dividendo ; r = Resto por defecto ; d = Divisor
C + 1 = Cociente por exceso ; C = Cociente por defecto ; r' = Resto por exceso
Sean las divisiones Inexactas :
Observa que: 57 = 8 x 7 + 1
D = d x C + r
Observa que: 57 = 8 x 8 - 7
D = d x (C + 1) - r'
De donde: r + r' = 1 + 7 = 8 = d
En toda división inexacta se verifica que:
Dividendo = Divisor por cociente por defecto + Resto por defecto
Dividendo = Divisor por cociente por exceso - Resto por exceso
Resto por defecto + Resto por exceso = Divisor
El resto es siempre menor que el divisor
EL CERO EN LA DIVISIÓN:
Pensemos en la división 9 : 0 = n, puesto que la multiplicación y la división son operaciones inversas, la división 9 :0 = n, se puede indicar como: n x 0 = 9, pero sabemos que cuando uno de los factores es Cero, el producto es cero por tanto no existe un número "n" tal que: n x 0 = 9, es decir: 9:0 no tiene respuesta.
En General cualquier número natural que es dividido por Cero no tiene respuesta, por eso se dice que en matemática No Hay o no Existe la División por Cero.
¡IMPORTANTE!
La división es una operación parcialmente definida en $\mathbb{N}$.
La división no es una operación interna en $\mathbb{N}$, porque de dos números cualesquiera no siempre su cociente es un número natural.
$\frac{12}{0}$ no definido
$\frac{0}{0}$ indeterminado
TÉCNICAS OPERATIVAS DE LA DIVISION:
1) División por Restas Sucesivas.
Ejemplo.
Dividir: 58 : 13
(58:13) es lo mismo que pensemos en. ¿Cuántas veces 13 esta contenido en 58?
Así.
= 4 veces 13 ; sobrando 6 Es decir:
58 = 4 veces 13, sobrando 6
58 = 4 x 13 + 6
Que es lo mismo que:
Dividendo = (Divisor x Cociente) + Residuo
Luego: El cociente es 4
Como puedes comprender dividir así sería muy largo o laborioso; sobre todo cuando el dividendo es un número muy grande y el divisor un número pequeño, pues las “ Restas Sucesivas” serían muchas. Para ello, se abrevia la operación tomando en cada “ Resta” un mayor “Número de veces” el divisor, (En especial 10; 100; 1000; etc. veces ), según sea posible.
Dividir: 346 : 15
Luego: 346 = 23 veces 15, sobrando 1
346 = 2 3 x 1 5 + 1
El cociente es 23
¿Se podrá abreviar aún más? si es posible; si en lugar de tomar 1 vez en cada paso, lo hacemos 2, 3, 4....veces el divisor.
Así por Ejemplo con la división anterior: 346 : 15 sería:
2) División de un número natural entre 10, 100, 1 000,.... etc.
Para dividir un número natural entre la unidad seguida de ceros se separan tantas cifras decimales como ceros tiene el divisor:
Ejemplos:
a) 472 : 100 = 34,72
b) 3471 : 1000 = 63,471
c) 476 : 10000 = 0,0476
d) 3 : 10000 = 0,0023
3) División de un número natural entre 5
Para dividir un número natural entre 5, se le multiplica por 2 y el producto se divide entre 10.
Ejemplos:
65 : 5 = $\frac{65\times 2}{10}$ = $\frac{130}{10}$ = 13
125 : 5 = $\frac{125\times 2}{10}$ = $\frac{250}{10}$ = 25
4) División de un número natural entre 25
Para dividir un número natural entre 25, se le multiplica por 4 y el producto se divide entre 100.
Ejemplos:
a) 950 : 25 = $\frac{950\times 4}{100}$ = $\frac{3800}{100}$ = 38
b) 1625 : 25 = $\frac{1625\times 4}{100}$ = $\frac{6500}{100}$ = 65
OPERACIONES COMBINADAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Cuando una expresión tiene combinaciones de multiplicación y división, sin que haya paréntesis las operaciones se realizan en el orden en que aparecen o sea de izquierda a derecha.
a) 7 x 6 : 2 x 3
b) 30 : 5 x 4 : 3
c) 4 x 6 x 2 : 8
d) 24 : 4 : 3 x 6
EXPRESIONES CON VARIAS DIVISIONES
Cuando hay varias divisiones sucesivas, y no existen paréntesis las divisiones se deben efectuar en el orden en que aparecen, ósea de izquierda a derecha.
Ejemplo:
a) 36 : 6 : 2
b) 196 : 14 : 7
PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES COMBINADAS
Cuando en una expresión aparecen las operaciones de Adición, Sustracción, Multiplicación, Potenciación y División, hay Prioridades establecidas por acuerdos matemáticos y que son los siguientes:
1) Las operaciones dentro de los signos colectores paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, son las que se efectúan primero.
2) Si hay signos colectores unos dentro de otros se comienzan por aquellos que están más al interior.
3) El orden de las operaciones en forma general, es el siguiente: primero las potencias, segundo las divisiones, tercero las multiplicaciones, cuarto las adiciones o sustracciones.
Ejercicios.
Simplificar: $4\times (3^{3}-2^{4}):(3^{2}+2)$
Resolución:
$4\times (3^{3}-2^{4}):(3^{2}+2)$
$4\times (27-16):(9+2)=4(11):(11)=4$
Simplificar: $[(6^{2}-1):7]+(3^{4}-4^{3})$
Resolución:
$[(6^{2}-1):7]+(3^{4}-4^{3})$
$[(6^{2}-1):7]+(81-64)=35:7+(17)=5+17=22$
Simplificar: $(3^{5}+4^{2})-[(6^{3}-1):5]$
Resolución:
$(3^{5}+4^{2})-[(6^{3}-1):5]$
$(243+16)-[(216-1):5]=(259)-[215:5]=259-43=216$
Simplificar: $4^{2}\times 5-2\, (5^{2}-18)^{3}+2^{3}(6^{2}-2^{4})^{2}$
Resolución:
$4^{2}\times 5-2\, (5^{2}-18)^{3}+2^{3}(6^{2}-2^{4})^{2}$
$16\times 5-2(25-18)^{3}+8(36-16)=16\times 5-2\, (7)^{3}+8(20)^{2}$
= 16 x 5 - 2 (343) + 8 (400)
= 80 - 686 + 3200 = 2594
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