RECTA EN EL PLANO

LA RECTA. 

Es la línea más corta que une dos puntos y constituye el lugar geométrico de los puntos en el plano que están en una misma dirección. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano, estos conceptos son considerados primitivos, o sea que no es posible definirlos en base a otros elementos ya conocidos. Sin embargo, es posible elaborar definiciones de ellos, en base a los siguientes postulados característicos, que determinan relaciones entre los entes fundamentales:

1) El punto es el inicio de todo.
2) Existen infinitos puntos e infinitas rectas.
3) Un punto pertenece a infinitas rectas.
4) Dos puntos determinan una única recta en el plano al cual pertenecen.
5) La recta determinada por dos puntos en un plano, pertenece al mismo plano.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

A partir del concepto de un punto como una pareja ordenada P(x, y), si se conocen las coordenadas de dos puntos, se puede determinar la distancia entre ellos midiendo la longitud del segmento de recta que los une. Por ejemplo, si queremos saber cuánto ha recorrido la pelota lanzada desde el punto A por un jardinero hasta la tercera base (punto B) en una cancha de béisbol, esto será posible si aplicamos el concepto de distancia entre dichos puntos.

A continuación se describe el procedimiento para encontrar la longitud de un segmento que no es paralelo a los ejes coordenados.

Si se desea encontrar $\overline{AB}$, podemos aplicar el siguiente procedimiento.

Sea $\overline{BC}$ un segmento paralelo al eje horizontal y $\overline{AC}$ un segmento paralelo al eje vertical, entonces, $\overline{BC}=\left | 2-(-3) \right |=5$ y $\overline{AC}=\left |3-(-2) \right |=5$.
Como ABC es un triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
$\overline{AB}^{2}=\overline{BC}^{2}+\overline{AC}^{2}$
Por lo tanto:
$\overline{AB}^{2}=(5)^{2}+(5)^{2}$
O bien:
$\overline{AB}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$
Para determinar la longitud de un segmento que es paralelo al eje vertical:

$\overline{AB}=|3-(-2)|$
$\overline{AB}=|5|$
$\overline{AB}=5$
Si $\overline{AB}$ es paralelo al eje vertical y las coordenadas de A y B son $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{1},y_{2})$, entonces $\overline{AB}=|y_{1}-y_{2}|$.
Para determinar la longitud de un segmento que es paralelo al eje horizontal:

$\overline{AB}=|4-(-2)|$
$\overline{AB}=|6|$
$\overline{AB}=6$
Si $\overline{AB}$ es paralelo al eje horizontal y las coordenadas de A y B son $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{1})$, entonces $\overline{AB}=|x_{1}-x_{2}|$.

DEDINICIÓN (DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS)

Si A tiene coordenadas $(x_{1},y_{1})$ y B tiene coordenadas $(x_{2},y_{2})$, entonces la distancia entre A y B, está dada por: $d(AB)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$.
En esta definición, el orden en que se seleccionan los puntos no influye en el valor de la distancia.

Ejemplo.

Emplee la fórmula de la distancia entre dos puntos para determinar si el $\bigtriangleup ABC$ bosquejado en la figura, es isósceles.

Solución:

Se empieza por determinar las longitudes de los tres lados.

$d=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$.
$\overline{AB}=\sqrt{(-2-8)^{2}+(0-7)^{2}}=\sqrt{149}$
$\overline{BC}=\sqrt{0^{2}+(7-(-2))^{2}}=\sqrt{81}$
$\overline{AC}=\sqrt{(-2-8)^{2}+(0-(-2))^{2}}=\sqrt{104}$
No existen dos lados que tengan la misma longitud, por lo tanto, el $\bigtriangleup ABC$ no es triángulo isósceles.

Ejemplo.

La distancia que recorrió la pelota de béisbol y utilizando un sistema de coordenadas como el de la figura, con origen en home, el jardinero está en la posición del punto A(85, 6), mientras que la tercera base se ubica en la posición del punto B(0 , 27). Tenemos el siguiente bosquejo.

Solución:

Volviendo a la pregunta planteada al inicio de esta sección sobre la distancia que recorrió la pelota de béisbol y utilizando un sistema de coordenadas como el de la figura, con origen en home, el jardinero está en la posición del punto A(280, 20), mientras que la tercera base se ubica en la posición del punto B(0, 90). Tenemos el siguiente bosquejo.

Solución:

Utilizando la definición de distancia entre A y B, tenemos:
$d=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$.
$d(AB)=\sqrt{(85-0)^{2}+(6-27)^{2}}$
        $=\sqrt{(85)^{2}+(-21)^{2}}$
        $=\sqrt{7225+441}$
        $=\sqrt{7666}$
$dAB=75,56$
La pelota recorrió aproximadamente 75,56 m.