Se denomina sistema de ecuaciones a un conjunto de ellas que se verifica para un mismo valor de las incógnitas.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Son aquellas cuyas ecuaciones son de primer grado.
SISTEMAS EQUIVALENTES
Dos o más sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
SOLUCIÓN DEL SISTEMA
Es un conjunto de valores de las letras llamadas incógnitas, que al sustituir por estos valores en las ecuaciones, todas se transforman en identidades.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
De acuerdo a las soluciones se clasifican en:
(a) Compatibles:
Cuando el sistema tiene soluciones. Pueden ser:
$a_1$)Determinados.- Si el número de soluciones es limitado.
$a_2$)Indeterminados.- Si el número de soluciones es ilimitado.
(b) Incompatibles:
Cuando el sistema no tiene ninguna solución.
En general:
1) Son sistemas determinados: cuando tienen igual número de ecuaciones que de incógnitas.
2) Son sistemas indeterminados: cuando tienen más incógnitas que ecuaciones.
3) Imposibles: cuando tienen más ecuaciones que incógnitas.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES PARA LA TRANSFORMACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
PRIMER PRINCIPIO
Si en un sistema de ecuaciones se sustituye una de ellas por la que resulta de sumarla o restarla miembro a miembro con otra u otras cualquiera de las restantes, el sistema obtenido es equivalente al dado.
SEGUNDO PRINCIPIO
Si en un sistema de ecuaciones se sustituye una de ellas por la que resulta de sumarla o restarla miembro a miembro, con la combinación lineal de una y otras cualquiera de las restantes, el sistema obtenido será equivalente al propuesto.
TERCER PRINCIPIO
Un sistema de ecuaciones se transforma en otro al sustituir una de ellas por la ecuación obtenida multiplicándola miembro a miembro por otra o producto de otras, o bien dividiéndola miembro a miembro por otra o producto de otras, siempre que ninguna de las soluciones del primer sistema anule a los miembros de la última o últimas ecuaciones.
MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Y RESOLUCIÓN
Son muy variados, entre los más elementales se encuentran los siguientes:
1) Sustitución
2) Igualación
3) Reducción
Se explica estos métodos con el siguiente sistema:
Resolver:
$2x + 5y = 26$ $(I)$
$3x - 4y = -7$ $(II)$
1) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
De una de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas en función de la otra y el resultado se sustituye en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación con una sola incógnita.
El valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita.
Así de $(I)$:
$x=\frac{26-5y}{2}$ $\left ( \alpha \right )$
Sustituyendo en $(II)$:
$3\left ( \frac{26-5y}{2} \right )-4y=-7$
$78 - 15y - 8y = -14$
$92 = 23y$
$y = 4$
Sustituyendo este valor en $\left ( \alpha \right )$:
$x=\frac{26-5\left ( 4 \right )}{2}$
$x = 3$
Respuesta: $x = 3$ $y = 4$
2) MÉTODO DE IGUALACIÓN
De las ecuaciones del sistema se despeja el valor de la misma incógnita en función de la otra y se igualan ambos resultados, obteniéndose una ecuación con una incógnita. El valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para determinar el valor de la otra incógnita. Con el mismo ejemplo:
De $(I)$:
$x=\frac{26-5y}{25}$ $\left ( \alpha \right )$
De $(II)$:
$x=\frac{-7+4y}{2}$ $\left ( \beta \right )$
$\left ( \alpha \right ) =\left ( \beta \right )$:
$\frac{26-5y}{2}=\frac{-7+4y}{3}$
$78 - 15y = -14 + 8y$
$92 = 23y$
$y = 4$
reemplazando en $\left ( \alpha \right )$:
$x=\frac{26-5\left ( 4 \right )}{2} =3$
Respuesta.: $x = 3$ $y = 4$
3) MÉTODO DE REDUCCIÓN
Consiste en buscar que la incógnita a eliminar tenga el mismo coeficiente, para lo cual se multiplica cada ecuación por el coeficiente que tenga la incógnita en la otra, sumando o restando las dos ecuaciones obtenidas, según tengan los coeficientes de las incógnitas a eliminar signos contrarios o iguales. Con el mismo ejemplo:
$(I)$ por 4:
$8x + 20y = 104$
$(II)$ por 5:
$15x - 20y = -35$
Sumando miembro a miembro:
$23x = 69$
$x = 3$
Sustituyendo en $(I)$:
$2(3) + 5y = 26$
$y = 4$
Respuesta: $x = 3$ $y = 4$
NOTA IMPORTANTE.- El método más práctico y rápido es el de reducción y se aplicará en la solución de los ejercicios.
Otros métodos:
• Coeficientes indeterminados o método de Bezout.
• Determinantes: Regla de Cramer.
• Método gráfico.
EJERCICIOS RESUELTOS
- Resolver
$5\sqrt{x}-3\sqrt{y}=3$ $\left ( I \right )$
$25x-9y=91$ $\left ( II \right )$
Solución:
Sustituyendo en $\left ( II \right )$ lo siguiente:
$25x=\left ( 5\sqrt{x} \right )^2$
$9y=\left ( 3\sqrt{y} \right )^2$
la ecuación toma la forma;
$\left ( 5\sqrt{x} \right )^2-\left ( 3\sqrt{y} \right )^2=81$
factorizando la diferencia de cuadrados:
$\left ( 5\sqrt{x}+3\sqrt{y} \right )\left ( 5\sqrt{x}-3\sqrt{y} \right )=81$ $\left ( III \right )$
pero por $\left ( I \right )$ $5\sqrt{x}-3\sqrt{y}=3$
Sustituyendo en $\left ( III \right )$:
$3\left ( 5\sqrt{x}+3\sqrt{y} \right )=81$
$5\sqrt{x}+\sqrt{y}=27$ $\left ( IV \right )$
Sumando la ecuación $\left ( I \right )$ y $\left ( IV \right )$:
$10\sqrt{x}=30$
$\sqrt{x}=3$
$x=9$
Sustituyendo este valor en $\left ( I \right )$:
$5\left ( 3 \right )-3\sqrt{y}=3$
$12-3\sqrt{y}$
$\sqrt{y}=4$
$y=16$
Respuesta: $x = 9$ $y = 16$
- Resolver
$\frac{2}{3x+y-2}+\frac{3}{4x+y+1}=-\frac{7}{24}$ $(I)$
$\frac{2}{3x+y-2}+\frac{3}{4x+y+1}=-\frac{7}{24}$ $(II)$
Solución:
Haciendo que:
$\frac{1}{3x+y-2}=a$
$\frac{1}{4x+y+2}=b$
El sistema toma la forma:
$2a+3b=-\frac{7}{24}$ $(A)$
$a-2b=-\frac{7}{12}$ $(B)$
Aplicando reducción, para lo cual:
$(A)$ por 1: $2a+3b=-\frac{7}{24}$
$(B)$ por -2: $-2a+4b=+\frac{7}{12}$
Sumando miembro a miembro:
$7b=\frac{14}{12}-\frac{7}{24}=\frac{28-7}{24}=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}$
$b=\frac{1}{8}$
Sustituyendo en $(A)$:
$2a+3\left ( \frac{1}{8} \right )=-\frac{7}{24}$
de donde: $a=-\frac{1}{3}$
Reemplazando estos valores en las definiciones de a y b:
$a$) $\frac{1}{3x+y-2}=-\frac{1}{3}$
$3x + y -2 = -3$
$3x + y = -1$ $(III)$
$b$) $\frac{1}{4x+y+1}=\frac{1}{3}$
$4x + y + 1 = 8$
$4x + y = 7$ $(IV)$
Resolviendo $(III)$ y $(IV)$ por reducción:
$III)$ por -1: $-3x - y = 1$
$IV)$ por 1: $4x + y = 7$
Sumando miembro a miembro:
$x = 8$
Sustituyendo en $(III)$:
$(8) + y = -1$
$y = -25$
Respuesta: $x = 8$ $y = -25$
- Resolver:
$\frac{1}{2\sqrt{x-y}}-\frac{1}{2\sqrt{x+y}}=\frac{1}{15}$ $(A)$
$15\sqrt{x+y}+15\sqrt{x-y}=8\sqrt{x^2-y^2}$ $(B)$
Solución:
Extrayendo factor común a la ecuación $(A)$:
$\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{x-y}}-\frac{1}{\sqrt{x+y}} \right )=\frac{1}{15}$
así: $\frac{1}{\sqrt{x-y}-\frac{1}{\sqrt{x+y}}}=\frac{1}{15}$ $(I)$
Dividiendo $(B)$ por:
$15\sqrt{x^2-y^2}=15\sqrt{x+y}\sqrt{x-y}$
se obtiene:
$\frac{15\sqrt{x+y}}{15\sqrt{x+y}\sqrt{x-y}}+\frac{15\sqrt{x-y}}{15\sqrt{x-y}\sqrt{x+y}}=\frac{8\sqrt{x^2-y^2}}{15\sqrt{x+y}\sqrt{x-y}}$
simplificando:
$\frac{1}{\sqrt{x-y}}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}=\frac{8}{15}$ $(II)$
Aplicando el método de reducción a $(I)$y $(II)$, sumando miembro a miembro:
$\frac{2}{\sqrt{x-y}}=\frac{2}{15}+\frac{8}{15}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$
$\frac{1}{\sqrt{x-y}}=\frac{1}{3}$
$\sqrt{x-y}=3$
$x - y = 9$ $(III)$
Sustituyendo en $(II)$
$\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}=\frac{8}{15}$
$\frac{1}{\sqrt{x+y}}=\frac{8}{15}-\frac{1}{3}=\frac{8-5}{15}$
$\frac{1}{\sqrt{x+y}}=\frac{1}{5}$
$\sqrt{x+y}=5$
$x + y = 25$ $(IV)$
Sumando miembro a miembro $(III)$ y $IV)$:
$2x = 34$
$x=17$
Sustituyendo en $(IV)$:
$17 + y = 25$
$y = 8$
- Resolver:
Solución:
Aplicando el Método de Reducción:
$(I)$ por $“s”$:
$\frac{ms}{x-a}+\frac{ns}{y-b}=\frac{ms-ns}{b-a}$
$(II)$ por $“n”$:
$\frac{nr}{x-a}+\frac{ns}{y-b}=\frac{nr+ns}{b-a}$
Sumando miembro a miembro:
$\frac{ms}{x-a}+\frac{nr}{x-a}=\frac{ms-ns}{b-a}+\frac{nr+ns}{b-a}$
$\frac{ms+nr}{x-a}=\frac{ms-ns+nr+ns}{b-a}$
$\frac{ms+nr}{x-a}=\frac{ms+nr}{b-a}$
$\frac{1}{x-a}=\frac{1}{b-a}$
$x - a = b - a$
$x = b$
Sustituyendo en $(I)$:
$\frac{m}{b-a}+\frac{n}{y-b}=\frac{m-n}{b-a}$
$\frac{n}{y-b}+\frac{m-n}{b-a}=\frac{m}{b-a}$
$\frac{n}{y-b}=-\frac{n}{b-a}$
$y - b = -b + a$
Respuesta: $x = b$ $y = a$
- Resolver:
$x + y + z = 15$ $(I)$
$x + y + t = 16$ $(II)$
$x + z + t = 13$ $(III)$
$y + z + t = 20$ $(IV)$
Solución:
Sumando miembro a miembro todas las ecuaciones:
$3(x + y + z + t) = 69$
$x + y + z + t = 23$ $(V)$
Sustituyendo sucesivamente en $(V)$:
$(IV)$ en $(V)$: $x + 20 = 23$
$x = 3$
$(III)$ en $(V)$: $18 + y = 23$
$y = 5$
$(II)$ en $(V)$: $16 + z = 23$
$z = 7$
$(I)$ en $(V)$: $15 + t = 23$
$t = 8$
Respuesta: $x = 3$, $y = 5$, $z = 7$, $t = 8$
- Resolver:
Una cierta tarea puede ser hecha por $A$ y $B$ en 70 días; por $A$ y $C$ en 84 días; y por $B$ y $C$ en 140 días. Se desea saber en qué tiempo haría toda la tarea cada uno.
Solución:
Denominando 1 (unidad) a la tarea; $x$, $y$, $z$ a los tiempos, en días, que tardan en hacer la tarea $A$, $B$ y $C$ individualmente. Entonces en 1 día:
$A$ hace $\frac{1}{x}$ de la tarea $x$
$B$ hace $\frac{1}{y}$ de la tarea
$C$ hace $\frac{1}{z}$ de la tarea
Por las condiciones del problema:
$A$ y $B$ hacen la tarea en 70 días, en 1 día hacen $\frac{1}{70}$ de la tarea; luego:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{70}$ $(1)$
$A$ y $C$ hacen la tarea en 84 días, en 1 día hacen $\frac{1}{84}$ de la tarea; luego:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{84}$ $(2)$
$B$ y $C$ hacen la tarea en 140 días, en 1 día hacen $\frac{1}{140}$ de la tarea; luego:
$\frac{1}{y}+\frac{1}{1}=\frac{1}{140}$ $(3)$
Sumando $(1)$ + $(2)$ + $(3)$:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{70}$ $(4)$
Sustituyendo $(3)$ en $(4)$:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{140}=\frac{1}{60}$
$x = 105$
Sustituyendo $(2)$ en $(4)$:
$\frac{1}{y}+\frac{1}{84}=\frac{1}{60}$
$y = 210$
Sustituyendo $(1)$ en $(4)$:
$\frac{1}{70}+\frac{1}{z}=\frac{1}{60}$
$z = 420$
Respuesta: $A$: 105 días, $B$: 210 días, $C$: 420 días.
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