ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

La igualdad $3\, cos^{2}x+\sqrt{3}\, sen\, x+1=0$ es un ejemplo de una ecuación trigonométrica. No es una identidad, es decir, no es verdadera para todos los valores de $x$.
Por ejemplo, no es verdadera cuando $x=0º$. En efecto, como $sen\, 0º=0$, $cos\, 0º=1$, vemos que el primer miembro cuando $x=0º$ es igual a 4 y no es igual a cero.

Luego, una ecuación trigonométrica difiere de una identidad en que no es verdadera para todos los valores del ángulo desconocido de que se trata.
resolver una ecuación trigonométrica es encontrar los valores del ángulo desconocido que satisfacen a la ecuación dada.
No hay ningún método general para resolver ecuaciones trigonométricas, que se pueda seguir en todos los casos, pero se vera que son útiles las gestiones de los siguiente pasos:

1. Exprésense todas las funciones trigonométricas que entran en la ecuación, en términos de funciones de un mismo ángulo, aprovechando las identidades conocidas. Así, si $2x$ y $x$ aparecen en una ecuación, exprésese las funciones de $2x$ en términos de las funciones de $x$.
2. Exprésense todas las funciones en términos de la misma función.
3. Resuelva algebraicamente (factorizando o de cualquier otra forma) considerando como incógnita la única función que entra ahora en la ecuación.

Frecuentemente se introducen raíces extrañas elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, o al quitar denominadores. Los valores del ángulo obtenido en tales casos, que no satisfacen a la ecuación dada, deben ser desechados. También debe cuidarse de que no se pierda ninguna raíz al extraer raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación, o al dividir ambos miembros por un factor.

Ejemplo.

Resolver la ecuación: $cos\, 2x\, csc\, x+csc\, x+ctg\, x=0$

Resolución.

Como $cos\, 2x=cos^{2}\, x-sen^{x}\, x$, obtenemos
1. $\left ( cos^{2}\, x-sen^{2}\right )csc\, x+csc\, x+ctg\, x=0$.
2. Como $csc\, x=\frac{1}{sen\, x}$ y $ctg\, x=\frac{cos\, x}{sen\, x}$, sustituyendo tenemos.
$$\frac{cos^{2}\, x-sen^{2}\, x}{sen\, x}+\frac{1}{sen\, x}+\frac{cos\, x}{sen\, x}=0$$
y por tanto,
$$cos^{2}\, x-sen^{2}\, x+1+cos\, x=0$$
Como $sen^{2}\, x=1-cos^{2}\, x$, sustituyendo tenemos
$$cos^{2}\, x-1+cos^{2}\, x+1+cos\, x=0$$
a sea,
$$2\, cos^{2}\, x+cos\, x=0$$
3. $cos\, x\left ( 2\, cos\, x+1 \right )=0$.
Igualando a cero cada factor, tenemos
$cos\, x=0$        (1)
$cos\, x+\frac{1}{2}=0$, o sea $cos\, x=-\frac{1}{2}$.        (2)
Los valores de $x$ comprendidos entre 0º y 360º que satisfacen a la ecuación son:
En (1) 90º y 270º,        
En (2) 120º y 240º. 

Ejemplo.

Resolver la ecuación: $2\, sen^{2}x+\sqrt{3}\, cos\, x+1=0$.

Solución:

Como $sen^{2}\, x=1-cos^{2}\, x$, obtenemos
$$2-2\, cos^{2}\, x+\sqrt{3}\, cos\, x+1=0$$
o sea,
$$2\, cos^{2}\, x-\sqrt{3}\, cos\, x-3=0$$
Esta es una ecuación de segundo grado en $cos\,x$. Resolviéndola tenemos:
$cos\, x=\sqrt{3}$ ó $cos\, x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ningún valor de $x$ satisface la igualdad $cos\, x=\sqrt{3}$, ya que es el valor de coseno no puede exceder a 1.
De $cos\, x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, hallamos $x=150º$ y $x=-150º$.

Ejemplo.

Resolver la ecuación: $5\, cos\, x=4\, sen\, x+4$ para todos los valores de $x$ desde 0º a 360º.

Solución:  

Para evitar que aparezcan radicales al expresar todas las funciones en términos de una misma función, elevamos al cuadrado ambos miembros y obtenemos:
$5\, cos\, x=4\, sen\, x+4$
$\left (5\, cos\, x  \right )^{2}=\left (4\, sen\, x+4  \right )^{2}$
$25\, cos^{2}\, x=16\, sen^{2}\, x+32\, sen\, x+16$
Usando la identidad $cos^{2}\, x=1-sen^{2}\, x$, obtenemos
$25\, \left (1-sen^{2}\, x  \right )=16\, sen^{2}\, x+32\, sen\, x+16$
$41\, sen^{2}\, x+32\, sen\, x-9=0$        (1)
Resolviendo esta ecuación cuadrática tomando con incógnita $sen\,x$, obtenemos:
$sen\, x=\frac{9}{41}=0,2195$ y $sen\, x=1$
Los valores correspondientes de $x$ comprendidos entre 0º y 360º son:
x=12º41', 167º19' y 270º
Estos valores de $x$ son las soluciones de la ecuación (1); pero como elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación dada, podemos haber introducido soluciones extrañas. En esta caso, observemos que cos 167º19'  es negativo y sen 167º19' es positivo, luego para este ángulo el primer miembro de la ecuación dada es negativo y el segundo miembro es positivo. Por lo tanto, la ecuación dada no satisface y 167º19' debe ser desechado. Por sustitución se encuentra que los dos ángulos restantes si satisfacen a la ecuación.
La solución son:
X=12º41' y 270º