EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Resolver los siguientes ejercicios para los valores del ángulo comprendido entre 0º y 360º.

1) $2\, sen^{2}\, x+3\, cos\, x=0$

   $2\left ( 1-cos^{2}x \right )+3\,cos\, x=0$ 
   $2-2\, cos^{2}x+3\, cos\, x=0$
   Multiplicamos por (-1) la ecuación y ordenamos
    $2\, cos^{2}x-3\, cos\, x-2=0$
    $\frac{(2\, cosx-4)(2\, cos\, x+1)}{2}$
    $(cos\,x-2)(2\, cos\, x+1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
$cos\,x-2=0\Rightarrow cos\, x=2$, no satisface debido a que el valor del coseno no puede ser superior a 1.
    Se iguala a cero el segundo factor
    $2\, cos\, x+1=0\Rightarrow cos\, x=-\frac{1}{2}$
    El $cos\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante II y III.
    x=120º y 240º
Solución: x = 120º y 240º

2) $4\, sec^{2}\, x-7\, tg^{2}\, x=3$

    $\frac{4}{cos^{2}\, x}-7\frac{sen^{2}\, x}{cos^{2}\, x}=3$
    $\frac{4-7\, sen^{2}\, x}{cos^{2}\, x}=3$
    $4-7\, sen^{2}\, x=3\, cos^{2}\, x$
    $4-7\, sen^{2}\, x=3(1-sen^{2}\, x)$
    $4-7\, sen^{2}\, x=3-3\, sen^{2}\, x$
    $4-7\, sen^{2}\, x-3+3\, sen^{2}\, x=0$
    $1-4\, sen^{2}\, x=0$  Resolvemos esta diferencia de cuadrados
    $(1+2\, sen\, x)(1-2\, sen\, x)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
    $1+2\, sen\, x=0\Rightarrow sen\, x=-\frac{1}{2}$
El $sen\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante III y IV.
    x=210º y 330º
Se iguala a cero el segundo factor
    $1-2\, sen\, x=0\Rightarrow sen\, x=\frac{1}{2}$
El $sen\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y II.
    x=30º y 150º
Solución: x=30º, 150º, 120º y 240º

3) $sen\, x+cos\, x=1$

    $sen\, x-1=-\, cos\, x$
    $(sen\, x-1)^{2}=(-\, cos\, x)^{2}$
    $sen^{2}\, x+2\, sen\, x+1=\, cos^{2}\, x$
    $sen^{2}\, x+2\, sen\, x+1=1- sen^{2}\, x$
    $sen^{2}\, x+2\, sen\, x+1-1+sen^{2}\, x=0$
    $2\, sen^{2}\, x+2\, sen\, x=0$
Dividimos toda la ecuación para (2)
    $sen^{2}\, x+sen\, x=0$
    $sen\, x\, (sen\, x+1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
    $sen\, x=0$
El $sen\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y II.
    x=0º, 180º
    Se iguala a cero el segundo factor
    $sen\, x+1=0\Rightarrow sen\, x=-1$
El $sen\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante III y IV.
    x=0º, 180º
Al comprobar con los valores obtenidos en la ecuación original se obtiene:
Si x=0º
    $sen\, x+cos\, x=1$
    $sen\, 0º+cos\, 0º=1$
    0 + 1 = 1
    1 = 1 (si cumple)
Si x=180º
    $sen\, x+cos\, x=1$
    $sen\, 180º+cos\, 180º=1$
    0 + (-1) = 1
    -1 $\neq$ = 1  (no cumple)
Si x=90º
    $sen\, x+cos\, x=1$
    $sen\, 90º+cos\, 90º=1$
    1 + 0 = 1
    1 = 1 (si cumple)
Solución: x=0º y 90º

4) $sen^{2}\, x-2\,cos\, x+\frac{1}{4}=0$

    $1-cos^{2}\, x-2\, cos\, x+\frac{1}{4}=0$
    $-cos^{2}\, x-2\, cos\, x-\frac{3}{4}=0$
Multiplicamos toda la ecuación por (-4) 
    $4\, cos^{2}\, x+8\, cos\, x+3=0$
    $\frac{(4\, cos\, x+6)(4\, cos\, x+2)}{4}=0$
    $\frac{2\, (2\, cos\, x+3)\,2\, (2\, cos\, x+1)}{4}=0$
    $(2\, cos\, x+3)(2\, cos\, x+1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
$2\, cos\, x+3\Rightarrow cos\, x=-\frac{3}{2}$ no satisface debido a que el valor del coseno no puede ser superior a 1.
    Se iguala a cero el segundo factor
    $2\, cos\, x+1=0\Rightarrow cos\, x=-\frac{1}{2}$
El $cos\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante II y III.
    x=120º, 240º

5) $tg^{2}\, x+3\, sec\, x=0$

    $\frac{2\, sen^{2}\, x}{cos^{2}\, x}+\frac{3}{cos^{2}\, x}=0$
    $\frac{2\, sen^{2}\, x+3\, cos\, x}{cos^{2}\, x}=0$
    $2\, sen^{2}\, x+3\, cos\, x=0$
    $2\, (1-cos^{2}\, x)+3\, cos\, x=0$
    $2-2\, cos^{2}\, x+3\, cos\, x=0$
Multiplicamos por (-1) y ordenamos
    $2\, cos^{2}\, x-3\, cos\, x-2=0$
    $\frac{(2\, cos\, x-4)(2\, cos\, x)}{2}=0$
    $\frac{2\, (cos\, x-2)(2\, cos\, x+1)}{2}=0$
    $(cos\, x-2)(2\, cos\, x+1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
$cos\, x-2\Rightarrow cos\, x=2$ no satisface debido a que el valor del coseno no puede ser superior a 1.
Se iguala a cero el segundo factor
    $2\, cos\, x+1=0\Rightarrow cos\, x=-\frac{1}{2}$
El $cos\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante II y III.
    x = 120º y 240º
Solución: x = 120º y 240º

6) $cos\,2x +3\,cos\,x=-1$ 

    $cos^{2}\,x-sen^{2}\, x+cos\,x=-1$
    $cos^{2}\,x-(1-cos^{2}\, x)+cos\,x=-1$
    $cos^{2}\,x-1+cos^{2}\, x+cos\,x=-1$
    $cos\,x\, (cos\,x+1)=0$
Igualamos a cero
    $cos\,x=0$
x = 90º, 270º
    $2\, cos\,x+1=0\Rightarrow cos\,x=-\frac{1}{2}$
El $cos\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante II y III.
    x = 120º y 240º
Solución: x = 90º, 120º, 240º y 270º

7) $cos\, 2x=cos\, x$

    $cos^{2}\, x-sen^{2}\, x=cos\, x$
    $cos^{2}\, x-(1-cos^{2}\, x)=cos\, x$
    $cos^{2}\, x-1+cos^{2}\, x=cos\, x$
    $2\, cos^{2}\, x-cos\, x-1=0$
    $\frac{(2\, cos\, x-2)(2\, cos\, x+1)}{2}=0$
    $(cos\, x-1)(2\, cos\, x+1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
    $cos\, x-1=0\Rightarrow cos\, x=1$
El $cos\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y IV.
    x = 0º, 360º
Se iguala a cero el segundo factor
    $2\, cos\, x+1=0\Rightarrow cos\, x=-\frac{1}{2}$
El $cos\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante II y III.
    x = 120º, 240º
Solución: x = 0º, 120º, 240º y 360º

8) $2\, sen^{2}\, x-sen\, x-1=0$

    $\frac{(2\, sen\, x-2)(2\, sen\, x+1)}{2}=0$
    $(sen\, x-1)(2\, sen\, x+1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
    $sen\, x-1=0\Rightarrow sen\, x=1$
El $sen\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y II.
    x = 90º, 180º
    Se iguala a cero el segundo factor
    $2\, sen\, x+1=0\Rightarrow sen\, x=-\frac{1}{2}$
El $sen\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante III y IV.
    x = 210º, 330º
    Solución: x = 90º, 210º y 330º

9) $sen\, 2\, x+sen\, x=0$

    $2\, sen\, x\, cos\, x+sen\, x=0$
    $sen\, x\, (cos\, x+1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
    $sen\, x=0$
El $sen\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y II.
    x = 0º, 180º
    Se iguala a cero el segundo factor
    $2\, cos\, x+1=0\Rightarrow cos\, x=-\frac{1}{2}$
El $sen\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante III y IV.
    x = 120º, 240º
Solución: x = 0º, 120º, 180º y 240º

10) $2\, tg\, x\, sen\, x-tg\, x=0$

    $tg\, x\, (2\, sen\, x-1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
    $tg\, x=0$
El $tg\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y III.
x = 0º, 180º
Se iguala a cero el segundo factor
    $sen\, x-1=0\Rightarrow sen\, x=1$
El $sen\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y II.
    x = 30º, 150º
Solución: x = 0º, 30º, 150º y 180º

11) $2\, cos\, x+sec\, x=3$

Se multiplica a toda la ecuación $cos\,x$
    $(2\, cos\, x+sec\, x)\, cos\, x=3\, cos\, x$
    $2\, cos^{2}\, x+cos\, x\, sec\, x=3\, cos\, x$
    $2\, cos^{2}\, x+1=3\, cos\, x$
    $2\, cos^{2}\, x-3\, cos\, x+1=0$
    $\frac{(2\, cos\, x-2)(2\, cos\, x-1)}{2}=0$
    $(cos\, x-1)(2\, cos\, x-1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
    $cos\, x-1=0\Rightarrow cos\, x=1$
El $cos\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y IV.
    x = 0º, 180º
    Se iguala a cero el segundo factor
    $2\, cos\, x-1=0\Rightarrow \, cos\, x=\frac{1}{2}$
El $cos\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y IV.
x = 60º, 300º
Solución: x = 0º, 60º y 300º

12) $\sqrt{\frac{1+2\, sen\, x}{2}}=1$

Elevamos al cuadrado toda la ecuación
    $\left ( \sqrt{\frac{1+2\,sen\, x}{2}} \right )^{2}=1^{2}$
    $\frac{1+2\,sen\, x}{2}=1$
    $1+2\, sen\, x=2$
    $sen\, x=\frac{1}{2}$
El $sen\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y II.
    x = 30º, 150º
Solución: x = 30º y 150º

13) $cos\, x-\sqrt{cos\, x}=0$

    $cos\, x=\sqrt{cos\, x}$
    $\left (cos\, x  \right )^{2}=\left (\sqrt{cos\, x}  \right )^{2}$
    $cos^{2}\, x =cos\, x$
    $cos^{2}\, x -cos\, x =0$
    $cos\, x\, (cos\, x-1) =0$
    Se iguala a cero el primer factor
    $cos\, x=0$
El $cos\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y IV.
    x = 90º, 270º
    Se iguala a cero el segundo factor
    $cos\, x-1=0\Rightarrow cos\, x=1$
El $cos\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y IV.
    x = 0º, 360º
Solución: x = 0º, 90º, 270º y 360º

14) $cos^{2}\, x-1=0$

    $(cos\, x+1)(cos\, x-1)=0$
    Se iguala a cero el primer factor
    $cos\, x+1=0\Rightarrow cos\, x=-1$
El $cos\, x$ cuando es negativo se encuentra en el cuadrante II y III.
    x = 0º, 180º
    Se iguala a cero el segundo factor
    $cos\, x-1=0\Rightarrow cos\, x=1$
El $cos\, x$ cuando es positivo se encuentra en el cuadrante I y IV.
    x = 0º, 180º
Solución: x = 0º y 180º

15) $2\, sec^{2}\, x=sec\, x$

    $2\, sec^{2}\, x-sec\, x=0$
    $\frac{2}{cos^{2}\, x}-\frac{1}{cos\, x}=0$
multiplicamos toda la ecuación por $cos\, x$
    $2-cos\, x=0$
$cos\, x=2$ No existe solución,  porque el valor del coseno no puede ser superior a 1.