ALTURAS, MEDIANAS, BICECTRICES Y MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO

ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

La distancia de el vértice de un triángulo a la recta a que pertenece el lado opuesto, se llama altura del triángulo correspondiente a este lado.

Así, por ejemplo:
$\overline{BP}$ es la altura del triángulo $\bigtriangleup ABC$ correspondiente al lado b, pues $\overline{BP}$ es perpendicular a $\overline{AC}$.
Simbólicamente, las alturas se repre­sentan por una letra h, con un subíndice igual a la letra del lado correspondiente.
Así, en este caso, la altura $\overline{BP}$ se representa simbólicamente: $h_{b}$ Resulta, pues, que todo triángulo tiene tres alturas, una correspon­diente a cada lado. 
Cuando se trata de triángulos obtusángulos, para trazar dos de las alturas es preciso prolongar los lados. Así en el triángulo obtusángulo

$\bigtriangleup ABC$ de la figura adjunta, se destacan las tres alturas
$\overline{AM}$ es la altura correspondiente al lado a; en símbolos: $h_{a}$
$\overline{BN}$ es la altura correspondiente al lado b; en símbolos: $h_{b}$
$\overline{CP}$ es la altura correspondiente al lado c; en símbolos $h_{c}$
Para trazar las alturas se puede utilizar la escuadra, haciendo coin­cidir uno de los catetos con el lado correspondiente y que el otro cateto pase por el vértice opuesto.
Si se quiere trazar la altura con regla y compás, el problema se reduce al trazado de la perpendicular a una recta, por un punto exterior.

MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO

En un triángulo, se llama mediana correspondiente a un lado al segmento determinado por el punto medio de ese lado y el vértice opuesto.

Así, en el triángulo $\bigtriangleup ABC$, el segmento $\overline{BM}$ es la mediana correspondiente al lado b, pues M es el punto medio del lado $\overline{AC}$.
Simbólicamente, las medianas se re­presentan por una letra m con un sub­índice igual a la letra del lado corres­pondiente.
Así, en el triángulo de la figura siguiente:

$\overline{AP}$ es la mediana correspondiente al lado a; en símbolos: $m_{a}$;
$\overline{BT}$ es la mediana correspondiente al lado b; en símbolos: $m_{b}$;
$\overline{CR}$ es la mediana correspondiente al lado c; en símbolos: $m_{c}$;
Para trazar las medianas de un triángulo con regla y compás, basta determinar el punto medio del lado correspondiente y trazar el segmento que tiene por extremos este punto y el vértice opuesto.

BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO

Se llaman bisectrices de un triángulo a las bisectrices de sus ángulos interiores.
Así, en la figura adjunta:

$\overrightarrow{AT}$ es la bisectriz del triángulo con respecto al ángulo $\widehat{A}$;
$\overrightarrow{BS}$ es la bisectriz del triángulo con respecto al ángulo $\widehat{B}$;
$\overrightarrow{CQ}$ es la bisectriz del triángulo con respecto al ángulo $\widehat{C}$;
Simbólicamente, las bisectrices se representan por una letra b con un subíndice igual a la letra del ángulo correspondiente:
$\overrightarrow{AT}$ se designa: $b_{A}$;
$\overrightarrow{BS}$ se designa: $b_{B}$;
$\overrightarrow{CQ}$ se designa: $b_{C}$;

MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO

La definición de mediatriz correspondiente a un lado de un triángulo está de acuerdo con la de mediatriz de un segmento.
En un triángulo, la mediatriz correspondiente a un lado, es la perpendicular a dicho lado trazada por el punto medio del mismo.
Por lo tanto, en todo triángulo existen tres mediatrices, una corres­pondiente a cada lado.
Así, por ejemplo, en el triángulo $\bigtriangleup ABC$

$n$ es la mediatriz correspondiente al lado $\overline{AC}$:
$n\perp AC$ en P y $\overline{AP}=\overline{PC}$.
$r$ es la mediatriz correspondiente al lado $\overline{AB}$:
$r\perp AB$ en Q y $\overline{AQ}=\overline{QB}$.
$s$ es la mediatriz correspondiente al lado $\overline{BC}$:
$s\perp BC$ en T y $\overline{QT}=\overline{CT}$.
El trazado de las mediatrices de un triángulo se reduce al problema, ya estudiado, de trazar la mediatriz de un segmento.
Si en un triángulo isósceles se trazan la mediana y la altura corres­pondientes a la base, se ve que ambas resultan coincidentes y que además este segmento resulta ser también el segmento de bisectriz correspon­diente al ángulo opuesto.

Esta propiedad del triángulo isósceles, muy importante por sus nu­merosas aplicaciones, se estudia en el siguiente:

TEOREMA: En todo triángulo isósceles la altura correspondiente a la base es a la vez mediana correspondiente a la base y bisectriz del ángulo opuesto.
H) $\bigtriangleup ABC$ isósceles
    $\overline{AB}=\overline{BC}$
T) $h_{b}=m_{b}$
    $h_{b}=m_{B}$

Demostración: Si $\overline{BM}$ es la altura del triángulo isósceles, correspon­diente a la base, es decir
$\overline{BM}=h_{b}$        (1)
quedan determinados los triángulos $\bigtriangleup BMA$ y $\bigtriangleup BMC$, rectángulos en M por definición de altura, y tales que:
$\bigtriangleup BMA$ y $\bigtriangleup BMC$ tienen:
$\overline{BM}$        común
$\overline{AB}=\overline{BC}$    por lados iguales del triángulo isósceles.
es decir, que estos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente iguales; luego, por el cuarto criterio de igualdad de triángulos rectángulos resultan iguales, y en consecuencia, sus elementos homólogos son iguales, entre ellos:

a) $\overline{AM}=\overline{MC}$; luego M es el punto medio de $\overline{AC}$, es decir: $\overline{BM}$ es también la mediana correspondiente a la base b o sea:  
$\overline{BM}=m_{b}$        (2)
De (1) y (2) resulta:
$h_{b}=m_{b}$
que es la primera igualdad de la tesis.

b) $\widehat{ABM}=\widehat{CBM}$; luego $\overline{BM}$ es también la bisectriz correspondiente al $\widehat{B}$, es decir: 
$\overline{BM}=b_{B}$        (3)
De (1) y (3) resulta:
$h_{b}=b_{B}$
que es la segunda igualdad de la tesis y por consiguiente queda demos­trado el teorema.

NOTA: En forma análoga puede demostrarse que:
a) En todo triángulo isósceles la mediatriz correspondiente a la base es a la vez altura con respecto a la base y bisectriz del ángulo opuesto.
b) En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es a la vez altura y mediana correspondiente a la base.
En general, en todo triángulo isósceles la altura correspondiente a la base, la mediana correspondiente a la base, y el segmento de bisectriz correspondiente al ángulo opuesto a la base, son coincidentes.

OBSERVACIÓN

Como el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo isósceles en el que cualquiera de sus tres lados puede hacer las veces de base, resulta que: en todo triángulo equilátero la altura correspondiente a un lado cualquiera es mediana con respecto a dicho lado y bisectriz del ángulo opuesto a ese lado.
Así, en el triángulo equilátero $\bigtriangleup ABC$:

$\overline{AN}=m_{a}=h_{a}=b_{A}$
$\overline{BM}=m_{b}=h_{b}=b_{B}$
$\overline{CP}=m_{c}=h_{c}=b_{C}$