SISTEMAS DE NUMERACIÓN

 SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

El sistema de numeración decimal es aquel en el que se combinan de una manera sistemática los diez símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 para representar las cantidades y ejecutar con ellos las operaciones de la aritmética.

El termino "forma convencional" general se utiliza para referirse a un número cuyo formato sea:
$$.....S_{2}\, S_{1}\,S_{0}\,S_{-1}\,S_{-2}\,.....$$
En el que $S_{N}$ representa un símbolo cualquiera de un sistema de numeración dado y el subíndice indica la posición del símbolo con relación al punto base o punto decima. Por ejemplo, considere el siguiente número del sistema decimal: 3529,48.
Esta cantidad puede representarse mediante la suma de seis números:
$N_{10}$=3000+500+20+9+0,4+0,08
Este número puede representarse así:
$N_{10}$=3x1000+5x100+2x10+9x1+4x0,1+8x0,01
y si se expresa el factor de la derecha de cada sumando como una potencia de 10 (base decimal) el número anterior se convierte en:
$N_{10}=3\times 10^{3}+5\times 10^{2}+2\times 10^{1}+9\times 10^{0}+4\times 10^{-1}+8\times 10^{-2}$
La letra N representa el número completo. El subíndice 10 indica que el número está escrito mediante símbolos en base 10.
Se puede observar que el sistema de numeración decimal consta de 10 símbolos, cada uno de los cuales representa un valor o cantidad llamado valor absoluto del dígito, y que la combinación de estos 10 dígitos conforma el sistema de numeración completo. Entonces, la posición del dígito.
También se puede notar que las potencias de la base disminuyen de izquierda a derecha y que el punto decima ha desaparecido.
En general, la forma común en base 10 de los números decimales son:
$N_{10}=...+S^{3}\times 10^{3}+S^{2}\times 10^{2}+S^{1}\times 10^{1}+$
$S^{0}\times 10^{0}+S^{-1}\times 10^{-1}+S^{-2}\times 10^{-2}+...$
$S$ representa un símbolo cualquiera de los 10 dígitos del sistema en base 10. Las potencias de la base van decreciendo hacia la derecha. Los subíndices de la "$S$" coinciden con los exponentes de 10.

OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

La forma común general de los números para todas las bases se escribe:
$N_{B}=...+S^{3}\times B^{3}+S^{2}\times B^{2}+S^{1}\times B^{1}+$ 
$S^{0}\times B^{0}+S^{-1}\times B^{-1}+S^{-2}\times B^{-2}+...$ donde B es la base del sistema.
Cuando se separan los coeficientes $N_{r}$ escribiéndolos en su orden y añadiéndoles el punto base, se obtiene el número en la base considerada
$(...S_{3}\, S_{3}\,S_{2}\,S_{1}\,S_{0}\,S_{-1}\,S_{-2}\,S_{-3}...)$. 
Se ha aceptado como una convención universal utilizar para los diferentes sistemas los 10 símbolos del sistema decimal y para aquellos sistemas que requieren más símbolos, las letras del alfabeto desde la A hasta la F.
Los primeros 15 sistemas de numeración con sus bases, sus nombres y sus símbolos se presentan así:

De estos sistemas, en computación se usan extensamente los sistemas binario, octal y hexadecimal, ya que la interconversión de un sistema a otro es inmediato. Sin embargo, estos sistemas utilizan los dígitos binarios (binary digit: BIT) para elaborar toda la numeración, aprovechando el hecho de que los dispositivos electrónicos que conforman el computador pueden tener sólo dos estados de polarización: "ON" y "OF", que quedan registrados en su memoria como: "1" y "0". Cada uno de estos símbolos se denomina bits agrupados se denomina nibble, ocho bits agrupados se denominan un byte y 16 bits se llama un word.

CONVERSIÓN DE DECIMAL A OTRO SISTEMA

El algoritmo de conversión de un número en sistema decimal equivalente al mismo número expresado en otra base, tiene dos procesos: uno para los decimales enteros y otro para las fracciones decimales. Siempre es posible transformar u número decimal entero en otro número entero en otra base. Sin embargo, una fracción exacta (es decir, con una cantidad finita de cifras) no se transforma necesariamente en un número fraccionario exacto en otro sistema. La conversión de fracciones decimales a otro sistema puede generar fracciones inexactas ( es decir, con una cantidad infinita de cifras) periódicas puras o mixtas (con grupos de cifras iguales que se repiten indefinidamente), o también puede generar fracciones inexactas no-periódicas (números irracionales). Las cifras que intervienen en el período de las fracciones inexactas periódicas se escriben dentro de un paréntesis.
El primer paso de la conversión consiste en separar la parte entera de la parte fraccionaria. La parte entera se divide por la base del número deseado y el primer residuo se designa con $S_{0}$. Así, por ejemplo, el número decimal 125,95 se separa en 125 su parte entera y en 0,95 su parte fraccionaria. Suponiendo que la conversión es a base 6, entonces se divide 125 por 6 dando 20 por cociente y 5 de residuo. Este primer residuo se llama $S_{0}$. En este ejemplo $S_{0}=5$. Se toma el cociente 20 y se divide de nuevo por la base 6, dando 3 por cociente y 2 de residuo. Este segundo residuo se denota por $S_{1}$. En el ejemplo $S_{1}=2$. La conversión termina cuando el último cociente es menor que la base.
En el ejemplo es cociente es 3 (menor que la base 6) y se designa por $S_{2}=3$ .
La parte entera del número decimal queda así convertida en la parte entera del número hexal, es decir, $125_{10}=325_{6}$.
El procedimiento puede visualizarse así:

De tal manera que el último cociente seguido de los sucesivos residuos, leídos de derecha a izquierda, proporciona el número hexal equivalente al número entero decimal.
La parte fraccionaria se multiplica por la base del número deseado. Se separa la parte del número del producto y se designa con $S_{-1}$. Así, en el ejemplo, 0.95 x 6 =5.70; la parte entera 5 es la primera cifra hexal $(S_{-1}=5)$.
Seguidamente, la parte fraccionaria del nuevo producto se multiplica por la base: 0.70x6=4.20 y la parte entera de este producto es la segunda cifra de la fracción hexal $(S_{-2}=4)$. Se repite el proceso de multiplicación de las partes fraccionarias de los sucesivos productos por la base deseada; después de realizar cada multiplicación, se separa la parte entera del producto para que sirva de nuevo digito S, hasta que ocurra una de dos cosas:
a) La parte fraccionaria del producto es exactamente cero (0), o
b) Los dígitos de la fracción comienzan a repetirse, todos a partir de alguno, en grupos iguales llamados períodos. Así por ejemplo:

$S_{-1}=5$   $S_{-2}=4$   $S_{-3}=1$   $S_{-4}=1$...etc
De donde $0.95_{10}=0.54111 ..._{6}=0.54(1)_{6}$
Para obtener la conversión del número completo se reúnen las partes entera y fraccionaria separadas por el punto base, así: $125.95_{10}=345.54(1)_{6}$
Observe que el número decimal tiene una fracción decimal (0.95) y sin embargo, la fracción hexal equivalente es una fracción periódica mixta (0.54111...) donde la parte no-periódica tiene dos cifras (54) y los períodos son de una cifra (1). Para resumir el procedimiento se convierte el número 987.0625 a un número en base 8 así:
Separando la parte entera de la fraccionaria: 987+0.0625
Dividiendo sucesivamente por 8 la parte entera:

Luego $987_{10}=1733_{8}$  
Multiplicando sucesivamente por 8 la parte fraccionaria:

$S_{-1}=0$   $S_{-2}=4$   $S_{-3}=0$....etc
Luego: $0.065_{10}=0.04_{8}$ 
La conversión completa quedaría: $987.0625_{10}=1733.04_{8}$

CONVERSIÓN DE OTRO SISTEMA A DECIMAL

Para convertir un número en otra base al equivalente en base decimal, se representa el número dado en su forma común en base especifica B y se simplifica utilizando la aritmética decimal para obtener el número en la forma convencional decimal.
Así por ejemplo, el número $$ en base 4 en su forma común en base específica es:
$1\times 4^{4}+2\times 4^{3}+0\times 4^{2}+3\times 4^{1}+2\times 4^{0}+3\times 4^{-1}+0\times 4^{-2}+2\times 4^{-3}$
es igual a 256+128+0+12+2+0.75+0+0.03125=398.78125
Luego: $12032.302_{4}=398.78125_{10}$
Finalmente, para la intervención de números en bases diferentes a la decimal, se convertirá un número perteneciente a una cierta base en un número decimal y luego éste en un número en una determinada base.