SOLUCIONES MATEMÁTICAS COESMAR: POLINOMIOS ESPECIALES

Son ciertos polinomios que por su importancia, es necesario conocer. Los más usados son:

Polinomio Ordenado
Polinomio Completo
Polinomio Homogéneo
Polinomios Idénticos
Polinomios Idénticamente Nulos
Polinomios Entero en $“x”$

POLINOMIO ORDENADO

Con respecto a una letra, es aquel que se caracteriza porque los valores de los exponentes de la letra considerada van aumentando o disminuyendo, según que la ordenación sea ascendente o descendente (creciente o decreciente).

Ejemplo:

Sea el polinomio:

$P$ es ordenado con respecto a $“x”$ en forma ascendente y es ordenado con respecto a $“y”$ en forma descendente.

POLINOMIO COMPLETO

Con respecto a una letra, es aquel que se caracteriza porque todos los exponentes de la letra considerada existen, desde el mayor hasta el cero inclusive; denominando este último, “término independiente” del polinomio con respecto a esa letra.

Ejemplos:

i) Sea el polinomio:

$P$ es un polinomio completo con respecto a $“x”$ y su término independiente con respecto a esa letras es $8y^3$ . También es completo con respecto a $“y”$ y su término independiente con respecto a esta letra es $8x^3$ .

Donde el término independiente es: $(q + c)$

PROPIEDADES DE UN POLINOMIO COMPLETO

1) Si es de grado $“n”$ (G.P. o grado del polinomio), el número de términos, $T.P.$ es igual al $G.P$ . más uno. Es decir:

# T.P. = G.P. + 1

2) El grado del polinomio completo es igual al número de términos menos uno.

G.P. = # T.P. - 1

3) La diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos es igual a la unidad:

G.R.t(x + 1) - G.R.t(x) = 1

4) El término independiente contiene a la variable con exponente cero.

POLINOMIO HOMOGÉNEO

Es aquel que se caracteriza por que todos sus términos tienen igual grado absoluto (G.A.).

Ejemplo:

Sea el polinomio:

en este polinomio, se verifica que:

$G.A.t(I) = G.A.t(II) = G.A.t(III) = 19$

TERMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que tienen igual parte literal, afectada por los mismos exponentes, sin interesar los coeficientes.

Ejemplo:

Los términos:

son semejantes

POLINOMIOS IDÉNTICOS

Son aquellos que se caracterizan porque sus términos semejantes tienen iguales coeficientes. La identidad de polinomios, se representa así: (≡). En general una identidad se expresa de la siguiente manera:

Como son idénticos, debe cumplirse siempre que:

$a = m$
$b = n$
$c = t$

Ejemplo: Hallar $a$ y $b$ en la identidad:

Solución:

Como es identidad se cumple que:

$2a = 12 ⇒ a = 6$

$15 = 5b ⇒ b = 3$

POLINOMIOS IDENTICAMENTE NULOS

Son aquellos que se caracterizan porque todos sus coeficientes son idénticos a cero.

Ejemplo:

Si el polinomio:

es idénticamente nulo, quiere decir que:

$a = b = c = d = 0$

POLINOMIO ENTERO EN “x”

Es aquel que se caracteriza porque todos sus exponentes son enteros y su única variable es $“x”$ .

Un polinomio $P(x)$ , entero en $“x”$ se representa así:

De primer grado:

$P(x) = ax + b$

De segundo grado:

De tercer grado:

y así, sucesivamente.

EJERCICIOS RESUELTOS

Hallar m, p y b para que el polinomio:

sea completo y ordenado en forma descendente.

Solución:

Como el polinomio debe estar ordenado en forma descendente, los exponentes deben ir disminuyendo desde el $t(I)$ hasta el $t(III)$ .

Como es completo, el menor exponente que es igual a cero (por ser término independiente) corresponde al $t(III)$ , el anterior igual a 1 y el primero igual a 2, así:

$b - p + 16 = 0$ $(a)$

$m - p + 15 = 1$ $(b)$

$m - 18 = 2$ $(c)$

∴ m = 20

En $(b)$ :

$20 - p + 15 = 1$

∴ p = 34

En $(a)$ :

$b - 34 + 16 = 0$

∴ b = 18

Respuesta:

$m = 20$
$p = 34$
$b = 18$