POLINOMIOS ESPECIALES

Son ciertos polinomios que por su importancia, es necesario conocer. Los más usados son:

• Polinomio Ordenado 
• Polinomio Completo 
• Polinomio Homogéneo 
• Polinomios Idénticos 
• Polinomios Idénticamente Nulos 
• Polinomios Entero en $“x”$ 

POLINOMIO ORDENADO

Con respecto a una letra, es aquel que se caracteriza porque los valores de los exponentes de la letra considerada van aumentando o disminuyendo, según que la ordenación sea ascendente o descendente (creciente o decreciente).

Ejemplo: 

Sea el polinomio:

$P$ es ordenado con respecto a $“x”$ en forma ascendente y es ordenado con respecto a $“y”$ en forma descendente.

POLINOMIO COMPLETO

Con respecto a una letra, es aquel que se caracteriza porque todos los exponentes de la letra considerada existen, desde el mayor hasta el cero inclusive; denominando este último, “término independiente” del polinomio con respecto a esa letra.

Ejemplos:

i) Sea el polinomio:

$P$ es un polinomio completo con respecto a $“x”$ y su término independiente con respecto a esa letras es $8y^3$. También es completo con respecto a $“y”$ y su término independiente con respecto a esta letra es $8x^3$.

Donde el término independiente es: $(q + c)$

PROPIEDADES DE UN POLINOMIO COMPLETO

1) Si es de grado $“n”$ (G.P. o grado del polinomio), el número de términos, $T.P.$ es igual al $G.P$. más uno. Es decir: 

# T.P. = G.P. + 1

2) El grado del polinomio completo es igual al número de términos menos uno. 

G.P. = # T.P. - 1

3) La diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos es igual a la unidad: 

G.R.t(x + 1) - G.R.t(x) = 1

4) El término independiente contiene a la variable con exponente cero.

POLINOMIO HOMOGÉNEO 

Es aquel que se caracteriza por que todos sus términos tienen igual grado absoluto (G.A.).

Ejemplo: 

Sea el polinomio:

en este polinomio, se verifica que:

$G.A.t(I) = G.A.t(II) = G.A.t(III) = 19$ 

TERMINOS SEMEJANTES 

Son aquellos que tienen igual parte literal, afectada por los mismos exponentes, sin interesar los coeficientes. 

Ejemplo:

Los términos:

son semejantes

POLINOMIOS IDÉNTICOS 

Son aquellos que se caracterizan porque sus términos semejantes tienen iguales coeficientes. La identidad de polinomios, se representa así: (≡). En general una identidad se expresa de la siguiente manera:

Como son idénticos, debe cumplirse siempre que: 

$a = m$ 
$b = n$ 
$c = t$ 

Ejemplo: Hallar $a$ y $b$ en la identidad:

Solución: 

Como es identidad se cumple que:

$2a = 12  ⇒  a = 6$ 

$15 = 5b  ⇒  b = 3$

POLINOMIOS IDENTICAMENTE NULOS 

Son aquellos que se caracterizan porque todos sus coeficientes son idénticos a cero. 

Ejemplo: 

Si el polinomio:

es idénticamente nulo, quiere decir que: 

$a = b = c = d = 0$

POLINOMIO ENTERO EN “x”

Es aquel que se caracteriza porque todos sus exponentes son enteros y su única variable es $“x”$.

Un polinomio $P(x)$, entero en $“x”$ se representa así:

De primer grado: 

$P(x) = ax + b$

De segundo grado:

De tercer grado:

y así, sucesivamente.

EJERCICIOS RESUELTOS

Hallar m, p y b para que el polinomio:

sea completo y ordenado en forma descendente.

Solución:

Como el polinomio debe estar ordenado en forma descendente, los exponentes deben ir disminuyendo desde el $t(I)$ hasta el $t(III)$.

Como es completo, el menor exponente que es igual a cero (por ser término independiente) corresponde al $t(III)$, el anterior igual a 1 y el primero igual a 2, así:

$b - p + 16 = 0$             $(a)$ 

$m - p + 15 = 1$            $(b)$ 

$m - 18 = 2$                  $(c)$ 

∴ m = 20

En $(b)$ : 

$20 - p + 15 = 1$ 

∴ p = 34

En $(a)$: 

$b - 34 + 16 = 0$ 

∴ b = 18

Respuesta: 

$m = 20$ 
$p = 34$ 
$b = 18$

Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio:

si es homogéneo.

Solución: 

Si es homogéneo, se cumple: 

$G.A.t (I) = G.A.t (II) = G.A.t (III) = G.A.t (IV)$ 

Entonces:

haciendo: $(α) = (φ)$

haciendo: $(β) = (γ)$

Sustituyendo $(ρ)$ en $(θ)$ se obtiene:

de aquí:

reemplazando $(ξ)$ en $(ρ)$:

En $(ξ)$ ; a = 2(2) = 4

Finalmente, la suma de coeficientes del polinomio es:

Respuesta.: ∑ de coeficientes = 9

Hallar m/n si el polinomio:

es homogéneo

Solución: 

Efectuando operaciones:

Como es homogéneo, se cumple que:

$G.A.t (I) = G.A.t (II)$

∴ 3m + 1 + n = m + 7n + 1

$3m - m = 7n - n$

$2m=6n\, \, ;\, \, \frac{m}{n}=\frac{6}{2}=3$

Respuesta: $\frac{m}{n}=3$