POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

POTENCIACIÓN DE UN NÚMERO

Se llama potenciación de un número natural al producto de dos o más factores iguales a dicho número.

$1^{4}$ = 1 x 1 x 1 x 1 = 1
$2^{3}$ = 2 x 2 x 2 = 8
$4^{4}$ = 4 x 4 x 4 x 4 = 256 
$12^{2}$ = 12 x 12 = 144

Base, Exponente y Potencia:

Sea: $b^{n}=p$
Donde:
b: Es la Base (Que se debe multiplicar entre si "n" veces)
n: Es el Exponente (Indica la cantidad de veces que se multiplica b).
p: Es la Potencia o resultado de dicha multiplicación de "n" veces b.
Es decir:

Cuando el exponente "n" es igual a 2 se da el nombre especial de cuadrado así:
$7^{2}$ se lee: "siete al cuadrado"
             o "siete elevado al cuadrado"
             o "siete elevado al exponente dos"
Significa que:
$7^{2}$ = 7 x 7 = 49
Cuando el exponente "n" es igual a 3 se da el nombre especial de cubo. Así:
$8^{3}$ se lee: "ocho al cubo"
             o "ocho elevado al cubo"
             o "ocho elevado al exponente tres"
Significa que:
$8^{3}$ = 8 x 8 x 8 = 512
Nota: Para cualquier otra exponente la denominación es la del mismo número del exponente.
Así:
$3^{4}$ se lee: "tres elevado al exponente cuatro".
$9^{5}$ se lee: "nueve elevado al exponente cinco"

EXPONENTE 0 

Cualquier número natural, elevado al exponente cero, es igual a 1.
Así:
$b^{0}$ = 1     ;  b $\neq $ 0

Ejemplos.

$5^{0}$ = 1
$10^{0}$ = 1
$145^{0}$ = 1

EXPONENTE 1

Cualquier número natural, elevado al exponente 1, es igual al mismo número.
Así:
$b^{1}$ = b 

Ejemplos.

$6^{1}$ = 6
$15^{1}$ = 15
$175^{1}$ = 175

ORDEN OPERATIVO EN LAS OPERACIONES COMBINADAS EN $\mathbb{N}$

1) Se obtienen primero las potencias directamente indicadas.
2) Luego se realizan las operaciones encerradas en paréntesis, si es que las hay.
3) Si aparecen nuevas potencias indicadas, se efectúan.
4) Las demás operaciones siguen el orden ya establecido.

Ejemplo.

Efectuar: 
5 x $(9-3)^{2}$ + 4 x 6

Resolución:

5 x $(9-3)^{2}$ + 4 x 6
= 5 x $(6)^{2}$ + 4 x 6
= 5 x 36 + 4 x 6
= 5 x 36 + 4 x 6
= 180 + 24
= 204

Ejemplo.

Efectuar: 
3 $(6^{2}-25)$ + $4^{2}(3^{3}-8)$

Resolución:

3 $(6^{2}-25)$ + $4^{2}(3^{3}-8)$
= 3 (36-25) + $4^{2}$(27 - 8)
= 3 (11) + $4^{2}$(19)
= 3 (11) + 16(19)
= 33 + 304
= 337

CÁLCULO MENTAL Y CALCULO RÁPIDO APLICADOS A LA POTENCIACIÓN

1) POTENCIACIÓN DE 10. LAS POTENCIAS DE 10 SON:

$10^{1}$ = 10
$10^{2}$ = 10 x 10 = 100
$10^{3}$ = 10 x 10 x 10 = 1000
$10^{4}$ = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
$10^{5}$ = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000, etc.

REGLA: Para obtener una Potencia de 10, se escribe la unidad seguida de tantos ceros como unidades tiene el exponente.
Inversamente: Para representar abreviadamente la unidad seguida de muchos ceros, se escribe 10 con un exponente que corresponda al número total de ceros.

Ejemplos.

10000000 = $10^{7}$
100000000 = $10^{8}$

2) CUADRADOS DE NÚMEROS MUY CERCANOS A NÚMEROS REDONDOS:

Ejemplos.

$29^{2}$,    $36^{2}$,    $51^{2}$,    y    $102^{2}$
Unas veces será más oportuno utilizar el cuadrado de la Suma o de la Diferencia de otros dos.
Así:
$29^{2}$ = $(30-1)^{2}$ = $30^{2}+1^{2}$ - 2 x 10 x 1
= 900 + 1 - 60
= 841

$36^{2}$ = $(40-4)^{2}$ = $40^{2}+4^{2}$ - 2 x 40 x 4
= 1600 + 16 - 320
= 1296

$51^{2}$ = $(50+1)^{2}$ = $50^{2}+1^{2}$ + 2 x 50 x 1
= 2500 + 1 - 100
= 2601

$102^{2}$ = $(100+2)^{2}$ = $100^{2}+2^{2}$ + 2 x 100 x 2
= 10000 + 4 + 400
= 10404

ELEVACIÓN AL CUADRADO DE NÚMEROS TERMINADOS EN CEROS.

Ejemplos:

$30^{2}$  ;  $1200^{2}$  ;  $22000^{2}$  ;  $4000^{2}$  ;  $140^{2}$

Se elevará al cuadrado en primer lugar, la parte compuesta de cifras significativas, y se agregará a la derecha una cantidad de Ceros Dobles de las que tenía el número base.
a) $30^{2}$  = $3^{2}$ x $10^{2}$ = 9 x 100 = 900 
b) $1200^{2}$  = $12^{2}$ x $100^{2}$ = 144 x 10000 = 1440000 
c) $22000^{2}$  = $22^{2}$ x $1000^{2}$ = 484 x 1000000 = 484000000 
d) $140^{2}$  = $14^{2}$ x $10^{2}$ = 196 x 100 = 19600