RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas $\underset{AB}{\leftrightarrow}$ $\,$ y $\,$ $\underset{CD}{\leftrightarrow}$ son perpendiculares si y sólo si dos rayos que son subconjuntos de las rectas forman un ángulo recto. Simbólicamente escribimos $\underset{AB}{\leftrightarrow}\, \, \perp \, \, \underset{CD}{\leftrightarrow}$.
En nuestro alrededor nos encontramos frecuentemente con objetos que podemos identificar la perpendicularidad. Por ejemplo: en las construcciones de edificios las columnas son perpendiculares al suelo, en las puertas los contramarcos forman ángulos rectos, las esquinas de las pizarras forman ángulos rectos, etc.

PROPIEDADES

• La perpendicular a una recta con respecto a un punto P cualquiera es única.

• Dos rectas si son perpendiculares forman cuatro ángulos rectos.

• Si $l _{1}\perp l _{2}\, \, entonces\, \, l _{2}\perp l _{1}$ 

• Si por un punto exterior a una recta trazamos una perpendicular y varias oblicuas, el segmento de la perpendicular comprendido entre el punto y la recta es menor que cualquier segmento de las oblicuas.

Cualesquiera dos segmentos, rayos o combinaciones de ellos son perpendiculares si y sólo si las rectas de las cuales ellos son subconjuntos son perpendiculares.

Según la definición, los segmentos o los rayos perpendiculares no necesariamente se intersecan.
La distancia de un punto P cualquiera a una $\underset{AB}{\leftrightarrow}$ es la longitud del segmento perpendicular $\overline{PQ}$ a la $\underset{AB}{\leftrightarrow}$.

Una recta que interseca a un segmento en su punto medio es y es perpendicular a él se llama mediatriz del segmento.

Observe que únicamente se puede definir mediatriz para un segmento, pues para las otras figuras geométricas (subconjuntos de la recta) no existe punto medio.
Uno de los problemas más prominentes de la geometría clásica de los antiguos griegos fue el de construir diversas figuras geométricas. Se hizo una distinción entre construir una figura y dibujarla. Por varias razones, los griegos eligieron restringir las herramientas empleadas en construcción a una regla no graduada y a un compas. Veamos algunas construcciones que son fundamentales.

Construcción 1. Construir un segmento de recta congruente con otro dado.
Dado: $\overline{AB}$
Se pide: Construir $\overline{RS}$ tal que $\overline{RS}\equiv \overline{AB}$
Método: Sobre la recta $l$ con cualquier punto R como centro (utilizando compás) y con un radio de longitud AB, constrúyase un arco que corte a $l$ en S. Este será el segmento pedido.

Construcción 2. Localizar un punto equidistante ( a la misma distancia) de dos puntos dado. 
Dado: Puntos R y S
Se pide: Localizar un punto equidistante de R y S.

Método: 

a) Con R como centro y un radio mayor que la mitad de RS, construye un arco $a$.

b) Con S como centro y con el mismo radio con el que se trazó el arco $a$, constrúyase el arco $b$ en P. P está a la misma distancia de R. que de S.   

Construcción 3. Localizar un punto medio de un segmento dado.
Dado: $\overline{AB}$
Se pide: Localizar un punto medio de $\overline{AB}$

Método: 

a) Localizar los puntos X e Y equidistantes de A y B.
b) Trazar la recta XY. Esta recta intersecta al $\overline{AB}$ en P, P es el punto medio del $\overline{AB}$

Construcción 4. Construir un segmento cuya medida sea igual a la suma del doble de la medida de un segmento, más la medida de otro segmento.
Dado: Dos segmentos cuyas medidas sean $m$ y $n$.

Se pide: Construir un segmento cuya medida sea $2m+n$

Método: 

a) Sobre una recta w como base, tomar un punto P cualquiera como centro, y con un radio de longitud $m$ cortar la recta en un punto Q.
b) Con Q como centro y con el mismo radio cortar la recta en el punto R.
c) Con R como centro y con un radio de longitud $n$ cortar la recta en el punto S.
d) La longitud del segmento PS es el segmento con longitud $2m+n$.   

Construcción 5. En un punto dado de una recta dada. Construir un ángulo congruente con ángulo dado.
Dado: $\angle ABC$ y la recta $w$ con P. un unto de $w$.

Se pide: Construir un ángulo en P sobre una recta $w$ congruente con $\angle ABC$

Método: 

a) Con B como centro y un radio conveniente, construir un arco que corte a $\overrightarrow{BA}$ en M y a $\overrightarrow{BC}$ en N.
b) Con P como centro y un radio igual a BN, construir un arco $a$ de manera que corte a $w$ en X.

c) Con X como centro Y un radio igual a la longitud del $\overline{MN}$, construir un arco $b$ de manera que corte al arco $a$ en Y.
d) Trae el $\overrightarrow{PY}$. Así, $\angle XPY\cong \angle ABC$.

Construcción 6. Bisecar un ángulo
Dado: $\angle RST$
Se pide: Bisecar el $\angle RST$

Método: 

a) Con S como centro y con cualquier radio conveniente, construir un arco que corte el $\overrightarrow{SR}$ en M y al $\overrightarrow{ST}$ en N.

b) Localice P equidistante de M y N.
c) Trace el rayo $\overrightarrow{SP}$. Así $\overrightarrow{SP}$ biseca al $\angle RST$.

Construcción 7. Por un punto dado trazar una perpendicular a una recta dada.

Dado: 

a) El punto P está sobre la recta $m$ 
b) El punto P no está sobre la recta $m$ 

Se pide: Construir una recta que pase por P y sea perpendicular a la recta $m$.
Método: El método de construcción es igual para ambas partes a) y b).  

1) Con P como centro y con un radio conveniente, construir un arco que corte a $m$ en dos puntos, R y S.
2) Localizar el punto T equidistante de R y S
3) Trace la recta $\overrightarrow{PT}$. Así $ \overrightarrow{PT}$ es perpendicular a $m$.