SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

En términos corrientes, decimos que dos figuras geométricas son semejantes, si tiene exactamente la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Por ejemplo dos circunferencias cualesquiera son semejantes; dos cuadrados cualesquiera son semejantes; dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes; y dos segmentos cualesquiera son semejantes.

Otra manera de expresar esto, es decir que dos figuras son semejantes, si una de ellas es un modelo a escala de la otra.
Para dos números cualesquiera  a y b, $b\neq 0$, la razón de a a b, es el número real $\frac{a}{b}$. La razón de $\frac{a}{b}$ puede escribirse a : b.
Una proporción es una expresión de la forma $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, donde $b\neq 0$, $d\neq 0$.
Recordemos que las razones se usan para comparar cantidades al efectuar una división. Así, la razón de dos cantidades es la primera dividida por la segunda. Una razón es un número abstracto, esto es, un número sin una unidad de medida. Por ejemplo la razón de 10m a 5m es $10\div 5$ ó 2. De igual forma la razón de 5m a 10m es $5\div 10$ ó 0.5.
Algunas propiedades que podemos mencionar son:

• $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ si y sólo si ad = bc (está nos sirve para encontrar cualquiera de los cuatro valores, conociendo tres de ellos).

• $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ si y sólo si $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$

• $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ si y sólo si $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

• $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ si y sólo si $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ y $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$

Dos parejas de segmentos son proporcionales si y sólo si sus longitudes forman una proporción verdadera.

Ejemplo.

Verificar si los siguientes segmentos son proporcionales

Solución.

$\frac{4}{2}=\frac{6}{12}$ si y sólo si 2(12) = 4(6) lo cual es verdadero. Podemos concluir entonces que dichos segmentos son proporcionales.
Dos triángulos son semejantes si y sólo si existe una correspondencia uno a uno entre sus vértices, tal que las correspondientes parejas de ángulos sean congruentes y las correspondientes parejas de lados sean proporcionales. A esa correspondencia se le llama una semejanza.

Para indicar que dos triángulos ABC y EDF son semejantes, escribimos $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup EDF$. No olvide que al igual que en la congruencia debe darse el orden apropiado de la correspondencia entre los vértices. Para los triángulos anteriores $A\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$ y $C\leftrightarrow F$. Puesto que estos dos triángulos son semejantes, las proporciones siguientes son verdaderas según la definición anterior.
$\angle A\cong \angle E$,        $\angle B\cong \angle D$,        $\angle C\cong \angle F$,        y        $\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DF}=\frac{AC}{EF}$

Teorema fundamental de la proporcionalidad y su reciproco

Teorema 1.

Si una recta paralela a un lado de un triangulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.
O de otro modo: en el triangulo ABC, sean D y E puntos de $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ tales que $\overline{DE}\parallel \overline{BC}$. Entonces $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.

Teorema 2.

Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados, segmentos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado.
O de otro modo: Se da el triangulo ABC, sea D un punto entre A y B, y E un punto entre A y C. Si $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$, entonces $\overline{DE}\parallel \overline{BC}$.

Una proporción tal como $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ se puede expresar de ocho formas. Cada una de las proporciones posibles se obtiene usando la misma dirección como sigue:
Dirección hacia abajo $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ o $\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$

Dirección hacia arriba $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ o $\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$

Dirección hacia la derecha $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ o $\frac{b}{d}=\frac{a}{c}$

Dirección hacia la izquierda $\frac{c}{a}=\frac{d}{b}$ o $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$

Propiedad 1.

Tres o más rectas paralelas dividen proporcionalmente dos transversales cualesquiera.

Así si,

entonces $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Propiedad 2.

La bisectriz de un ángulo en un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos los cuales son proporcionales a los lados adyacentes.
Así en el $\bigtriangleup ABC$, si $\overline{CD}$, biseca el $\angle C$, entonces $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Enunciaremos los siguientes postulados que nos permitan verificar cuando dos triángulos son semejantes.

Postulados 1.

Dos triángulos son semejantes si dos ángulos correspondientes son congruentes (AAA).
O de otro modo: Dada una correspondencia $ABC\leftrightarrow DEF$ entre dos triángulos, si $\angle A\cong \angle D$, $\angle B\cong \angle E$ y $\angle C\cong \angle F$, entonces $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup DEF$.

Propiedad 3.

Dos triángulos son semejantes si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes (AA).
O de otro modo: Dada una correspondencia $ABC\leftrightarrow DEF$ entre dos triángulos. Si, $\angle A\cong \angle D$, $\angle B\cong \angle E$, entonces $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup DEF$.

Postulados 2.

Dos triángulos son semejantes si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes (LAL).
O de otro modo: Dada una correspondencia $ABC\leftrightarrow DEF$ entre dos triángulos. Si, $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$ entonces $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup DEF$.

Postulados 3.

Dos triángulos son semejantes si los lados correspondientes son proporcionales (LLL).
O de otro modo: Dada una correspondencia $ABC\leftrightarrow DEF$ entre dos triángulos. Si, $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$ entonces $\angle D=\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup DEF$.

Postulados 4.

Dos triángulos son semejantes si dos lados correspondientes son proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de los lados congruente (ALL).
O de otro modo: Dada una correspondencia $ABC\leftrightarrow DEF$ entre dos triángulos. Si $\frac{AC}{DF}=\frac{CB}{FE}$ con AC>CB, DF>FE y $\angle B\cong \angle E$. Entonces $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup DEF$.

Observación:

Se observa que en el postulado 5 no se cumple para cualquier ángulo correspondiente congruente, únicamente si éste es opuesto al mayor de los lados que se presenta la proporcionalidad.

Ejemplo.

Mencionar los ángulos correspondientes congruentes y la proporcionalidad necesaria para verificar que $\bigtriangleup AED\sim \bigtriangleup ABC$, si AB = 12, AD = 9 y AC = 18.

Solución.

Si separamos los dos triángulos tendremos las siguientes relaciones $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow E$ y $C\leftrightarrow D$. Además si los lados correspondientes fueran proporcionales tendríamos una de las posibles relaciones $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$. Note que $\angle A\cong \angle A$, pues todo ángulo es congruente consigo mismo, luego $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$ implica que $\frac{6}{12}=\frac{9}{18}$ que es verdadero. Luego por el postulado LAL para semejanza $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup ADE$.

Ejemplo.

Encontrar el valor o valores desconocidos
Datos: $AB\parallel ED$, BD = 15, DC = 20, AE = 12
Encontrar: EC

Solución.

Dado que $\overline{AB}\parallel \overline{ED}$, $\overline{ED}$ divide los lados $\overline{BC}$ y $\overline{AC}$ en segmentos que son proporcionales,
luego $\frac{CE}{CD}=\frac{EA}{DB}$ lo cual implica que $\frac{CE}{20}=\frac{12}{15}$ 
de donde 15(CE) = 20(12) 
            15(CE) = 240
            CE = 16

Ejemplo.

Encontrar el valor o valores desconocidos
Datos: $\angle B\cong \angle ECD\cong \angle E$, $\angle B$, es recto, BC = 9, CE = 6, DF = 8
Encontrar: AD

Solución.

Como $\angle B\cong \angle ECD\cong \angle E$ y éstos son correspondientes $\overline{AB}\parallel \overline{CD}\parallel \overline{EF}$, luego las secantes son divididas en segmentos proporcionales por lo que
$\frac{AD}{9}=\frac{8}{6}$
6(AD) = 9(8)
6(AD) = 72
AD = 12

Ejemplo.

Encontrar el valor o valores desconocidos
Datos: $\overline{BC}\parallel \overline{DE}$, AC = 12, AE = 5, AD = X, DB = X + 4
Encontrar: AD y BD

Solución. 

$\overline{DE}\parallel \overline{BC}$, tenemos que $\frac{x}{5}=\frac{x+4}{7}$, note que, si AC=12 y AE=5, entonces EC=7
luego 7x=5(x+4)
        7x=5x+20
        7x-5x=20
        2x=20
        x=10
luego AD=x
        AD=10
        BD=x+4
        BD=10+4
        BD=14

Ejemplo.

En la figura, si $\overline{AD}\parallel \overline{BC}$, verifique que $\bigtriangleup ADE\sim \bigtriangleup CBE$ 

Solución.

Como $\overline{AD}\parallel \overline{BC}$, se tiene que $\angle B\cong \angle D$ son alternos internos entre paralelas,
también $\angle C\cong \angle A$ éstos también son alternos internos entre paralelas,
además $\angle DEA\cong \angle CEB$ son opuestas por el vértice.
Luego por el postulado AAA para semejanza concluimos que $\bigtriangleup ADE\sim  \bigtriangleup CBE$.
Nótese que también se puede hacer con el postulado AA.