CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

En el lenguaje común, podemos decir que dos figuras geométricas son congruentes si tiene la misma forma y el mismo tamaño. Por ejemplo, los tres triángulos dados a continuación son congruentes.

Una manera de describir la situación, es decir, que uno cualquiera de los triángulos puede colocarse sobre cualquier otro de manera que coincida con el exactamente. Así por ejemplo, para llevar el $\bigtriangleup ABC$ sobre el $\bigtriangleup DFE$ debemos colocar A sobre E, B sobre F, y C sobre D. Podemos  entonces escribir así los pares de vértices correspondientes.
$A\leftrightarrow E$,        $B\leftrightarrow F$,        $C\leftrightarrow D$
Para describir la congruencia entre el primer triángulo y el tercero debemos aparear los vértices de esta manera:
$A\leftrightarrow H$,        $B\leftrightarrow G$,        $C\leftrightarrow I$
De igual manera para describir la congruencia entre el segundo y el tercer triángulo debemos aparear los vértices de esta manera:
$D\leftrightarrow I$,        $F\leftrightarrow G$,        $E\leftrightarrow H$
Un apareamiento como cualquiera de los descritos se llama una correspondencia biunívoca entre los vértices de dos triángulos. Si los triángulos coinciden al aparear los vértices de la manera descrita, entonces la correspondencia biunívoca se llama una congruencia entre los dos triángulos.

Definición.

Sea ABC $\leftrightarrow $ DEF una correspondencia entre dos vértices de dos triángulos. Si los pares de lados correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia ABC $\leftrightarrow $ DEF se llama una congruencia entre los dos triángulos.
Simbólicamente escribimos $\bigtriangleup ABC\cong \, \bigtriangleup DEF$ y queremos decir que la correspondencia ABC $\leftrightarrow $ DEF es una congruencia. Esto nos dice 6 cosas:

Recuerde que decir $\overline{AB}\cong \overline{DE}$, es equivalente a decir que AB = DE, o decir que $\angle A\cong \angle D$ equivale decir que $m\, \angle A\cong m\, \angle D$. Frecuentemente nos referimos a las seis partes de la definición anterior mediante el enunciado: "Partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes". En la figuras indicamos congruencia entre segmentos o entre ángulos de la forma siguiente:

En este caso, las seis congruencias indicadas por las marcas nos dice que $\bigtriangleup ABC\cong \bigtriangleup DEF$.

Definición.

Un lado de un triángulo se dice estar comprendido por los ángulos cuyos vértices son los extremos del segmento.

Definición.

Un ángulo de un triángulo se dice estar comprendido por los lados de del triángulo que están en los dos lados del ángulo. 
En el triángulo ABC anterior, $\overline{AC}$ está comprendido por los ángulos $\angle A$ y $\angle C$, y el $\angle A$ está comprendido por los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$.
Los siguientes postulados nos permitirán verificar cuando dos triángulos son congruentes.

Postulado 1. Toda correspondencia LAL en una congruencia.

Dos triángulos son congruentes si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido por ellos son congruentes a las partes correspondientes del otro triángulo. ("LAL" representa "lado - ángulo - lado"). En este caso, también se dice que $\bigtriangleup ABC\cong \bigtriangleup DEF$.

Postulado 2. Toda correspondencia ALA en una congruencia.

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos de un triángulo y el lado común a ellos son congruentes a las partes correspondientes del otro triángulo. ("ALA" representa "ángulo - lado - ángulo"). En este caso, también se dice que $\bigtriangleup ABC\cong \bigtriangleup DEF$.

Postulado 3. Toda correspondencia LLL en una congruencia.

Dos triángulos son congruentes si los tres lados de un triángulo son congruentes a los tres lados correspondientes del otro triángulo. ("LLL" representa "lado - lado - lado"). En este caso, también se dice que $\bigtriangleup ABC\cong \bigtriangleup DEF$.

Postulado 4. Toda correspondencia LAA en una congruencia.

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo. ("LAA" representa "lado - ángulo - ángulo"). En este caso, también se dice que $\bigtriangleup ABC\cong \bigtriangleup DEF$.
Observación. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa y un cateto son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo, dichos triángulos son congruentes.