SERIES NUMÉRICAS

DEFINICIÓN 

Sea  una sucesión de números reales, entonces la expresión:

Se denomina serie de números reales, la cual es serie infinita.

A una serie:  representada por. , es decir.

Donde:

Ejemplo.

La serie:

La serie:

Observación:

De la serie de números reales:

  

Formaremos una sucesión , una serie defina por la siguiente forma:

A la sucesión se le denomina sucesión de sumas parcial de la serie infinita , siendo la k-ésima suma parcial de la serie.

SUMA DE UNA SERIE

Consideremos una serie  y una sucesión de sumas parciales 

Si el existe, entonces diremos que la serie infinita  es convergente y converge a S.

Si la serie infinitaes convergente, se puede escribir así  , a la cual llamaremos suma de la serie infinita.

Si la serie infinita es divergente, carece de suma.

Ejemplo.

Hallar la suma de la serie infinita en caso de ser convergente.

Resolución.

El termino n-ésimo de la serie infinita es descomponiendo a en fracciones parciales se tiene:

Sumando miembro a miembro

Por lo tanto:

Entonces la serie:

Es decir:

Observaciones.

Otra forma de de hallar la n-ésima suma parcial de una serie infinita es usando la propiedad de la serie telescópica.

Es decir:

Como:

Entonces:

Entonces:

TIPOS DE SERIES

a) SERIE POLINOMIAL O ARITMÉTICA

Serie aritmética lineal o de primer orden:

Observaciones.

Si una serie aritmética tiene un numero impar de términos, entonces existe un único término central , tal que:

Ejemplos.

Hallar el valor de:

S=2+46+8+....+100

Resolución.

Pero n=? se obtiene de:

10=2+(n-1)x2 

n=50

Luego remplazamos en (1)

Hallar la suma de los 15 primeros términos de una serie numérica, cuyo término central sea 20.

Resolución.

b) SERIES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIOR

Ejemplo

Resolución.

c) SERIES GEOMÉTRICAS

Ejemplo.

Hallar el valor de "S"

Resolución.

SUMA LÍMITE

Suma de todos los términos de una progresión geométrica (P.G.) decreciente e infinita.

Ejemplo.

Luego:

Observación:

Si dicha serie será divergente por ello, carecerá de suma.

SUMATORIAS

Dada la serie numérica se puede representar usando el símbolo  de llamado sumatoria, definido de la siguiente manera:

Se lee:

Sumatoria de "a" desde i=k hasta i=n; donde "i" toma valores enteros desde"k" hasta "n", y cada valor de "i" genera un termino de la serie.

Ejemplos.

PROPIEDADES

1)

Donde "k": constante.

Ejemplo.

2)

Donde "k": constante.

Ejemplo.

3)

Ejemplo.

4) Propiedad telescópica.

Ejemplo.

SUMATORIAS NOTABLES

1) Suma de los primeros números N:

2) Suma de los primeros números pares:

3) Suma de los primeros números impares:

4) Suma de los primeros números elevados al cuadrado:

5) Suma de los primeros números elevados al cubo:

6) Suma de productos binarios:

7) Productos ternarios: