DEFINICIÓN
Sea una sucesión de números reales, entonces la expresión:
Se denomina serie de números reales, la cual es serie infinita.
A una serie: representada por.
, es decir.
La serie:
La serie:
Observación:
De la serie de números reales:
Formaremos una sucesión , una serie defina por la siguiente forma:
A la sucesión se le denomina sucesión de sumas parcial de la serie infinita
, siendo
la k-ésima suma parcial de la serie.
SUMA DE UNA SERIE
Consideremos una serie y una sucesión de sumas parciales
Si el existe, entonces diremos que la serie infinita
es convergente y converge a S.
Si la serie infinitaes convergente, se puede escribir así
, a la cual llamaremos suma de la serie infinita.
Si la serie infinita es divergente, carece de suma.
Ejemplo.
Hallar la suma de la serie infinita en caso de ser convergente.
Resolución.
El termino n-ésimo de la serie infinita es
descomponiendo a
en fracciones parciales se tiene:
Sumando miembro a miembro
Por lo tanto:
Entonces la serie:
Es decir:
Observaciones.
Otra forma de de hallar la n-ésima suma parcial de una serie infinita es usando la propiedad de la serie telescópica.
Es decir:
Como:
Entonces:
Entonces:
TIPOS DE SERIES
a) SERIE POLINOMIAL O ARITMÉTICA
Serie aritmética lineal o de primer orden:
Observaciones.
Si una serie aritmética tiene un numero impar de términos, entonces existe un único término central , tal que:
Ejemplos.
Hallar el valor de:
S = 2 + 46 + 8 + ....+ 100
Resolución.
Pero n=? se obtiene de:
10 = 2 + (n - 1) x 2
n = 50
Luego remplazamos en (1)
Hallar la suma de los 15 primeros términos de una serie numérica, cuyo término central sea 20.
Resolución.
b) SERIES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo
Resolución.
c) SERIES GEOMÉTRICAS
Ejemplo.
Hallar el valor de "S"
Resolución.
SUMA LÍMITE
Suma de todos los términos de una progresión geométrica (P.G.) decreciente e infinita.
Ejemplo.
Luego:
Observación:
Si dicha serie será divergente por ello, carecerá de suma.
SUMATORIAS
Dada la serie numérica se puede representar usando el símbolo de
llamado sumatoria, definido de la siguiente manera:
Se lee:
Sumatoria de "a" desde i=k hasta i=n; donde "i" toma valores enteros desde"k" hasta "n", y cada valor de "i" genera un termino de la serie.
Ejemplos.
PROPIEDADES
1)
Donde "k": constante.
Ejemplo.
2)
Donde "k": constante.
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