INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Son aquellas que al reducirse una de las formas siguientes:

ax + b > 0        ax + b < 0    

ax + b $\geq$ 0        ax + b $\leq$ 0    

Donde:

x : Incógnitas 

a y b : Coeficientes  

        a y b $\in \; \mathbb{R}$

De la ecuación ax + b > 0; pasamos "b" al segundo miembro como -b.

En toda inecuación se consideran dos miembros:

- Primer Miembro, Todo lo escrito a la izquierda del signo.

- Segundo Miembro, Todo lo escrito a la derecha del signo. 

RESOLVER UNA INECUACIÓN:

Es hallar su conjunto solución, esto es, el conjunto de todos los valores de “x" que conviertan el enunciado abierto en una proposición verdadera.

Para resolver inecuaciones de primer grado seguimos los siguientes pasos:

1. Se suprimen los signos de colección, si los hay.

2. Se reduce la inecuación al común denominador, si es fraccionaria

3. Se reúnen las incógnitas en el primer miembro y los demás en el segundo (transposición de términos).

4. Se reúnen los términos semejantes, si los hay.

5. Se despeja la incógnita.

Ejemplo.

Hallar el conjunto solución de la inecuación: 2x - 5 < 3, en el conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales.

Resolución.

2x - 5 < 3    ;    Transponemos términos: 2 x < 3 + 5

2x < 8         ;    despejamos ”x"

x < $\frac{8}{2}$        $\Rightarrow \; \therefore$    x < 4 (Los números naturales que 4 son: 3, 2, 1 y 0)

Graficando La Recta Numérica:

Como se observará "x" tomará cualquier valor numérico menor que 4, pero en este caso del problema solo nos pide números naturales menores que 4, siendo estos los números: 0, 1, 2 y 3

Respuesta:

El conjunto solución de la inecuación: 2x - 5 < 3 es: 

S = {x $\in \; \mathbb{N}$ / x < 4}  ó  S = {0, 1, 2, y 3}

Ejemplo.

Hallar el conjunto solución de la Inecuación: 3x - 7 $\leqslant$ 11 - 3x, en el conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales. 

Resolución.

3x - 7 $\leqslant$ 11 - 3x    ;     Transponemos términos: 3x + 3x $\leqslant$ 11 + 7

6x $\leqslant$ 18        ;         despejamos "x"

x $\leqslant$ $\frac{18}{6}$ $\Rightarrow \; \therefore$ x $\leqslant$ 3 (Los números naturales menores o iguales a 3: 3, 2, 1 y 0)

Graficando La Recta Numérica:

Como se observará en la gráfica "x" toma cualquier valor numérico que sean menores o igual a 3, pero para nuestro problema solo nos piden los valores naturales siendo estos: 0, 1, 2 y 3.

Respuesta:

El conjunto solución de la inecuación: 3x - 7 $\leqslant$ 11 - 3x es:

S = {x $\in \; \mathbb{N}$ / x $\leqslant$ 3}  ó  S = {0, 1, 2, y 3}

Ejemplo.

Hallar el conjunto solución de la Inecuación: 12x + 5 < 3x + 50, en el conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales

Resolución.

12x + 5 < 3x + 50        ;     Transponemos términos: 12x - 3x < 50 - 5

9x < 45        ;     despejamos "x"

x < $\frac{45}{9}$        $\Rightarrow \; \therefore$    x < 5 (Los números naturales que 5 son: 4, 3, 2, 1 y 0)

Respuesta:

El conjunto solución de la inecuación: 12x + 5 < 3x + 50 es: 

S = {x $\in \; \mathbb{N}$ / x < 5}  ó  S = {0, 1, 2, 3 y 4}