ESCALA NUMÉRICA:
Una recta dirigida es una recta en la que se han señalado dos sentidos: uno positivo y otro negativo. El sentido positivo se indica con una flecha.
Se determina una escala numérica cuando se escogen un punto O, llamado origen, y una unidad de medida OA = 1, en una recta dirigida. En esta escala, B está situado a 4 unidades a la derecha de O (esto es, en el sentido positivo a partir de 0) y C está a dos unidades a la izquierda de O (esto es, en el sentido negativo a partir de 0).
La distancia dirigida OB = +4 y la distancia dirigida OC = -2. Es importante observar que, puesto que la recta está dirigida, OB $\neq $ BO y OC $\neq $ CO. La distancia dirigida BO -4, porque se mide en sentido contrario al que se ha tomado como positivo, y la distancia dirigida CO = +2. Entonces CB = CO + OB = 2 + 4 = 6 y BC = BO + OC = -4 + (-2) = 6.
UN SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
En un plano consiste en dos escalas numéricas (llamadas ejes), una horizontal y otra vertical, cuyo punto de intersección (origen) es el origen de cada escala. Es costumbre escoger el sentido positivo de cada eje tal como se indica en la figura, esto es, positivo hacia la derecha en el eje horizontal o eje de las x, y positivo hacia arriba en el eje vertical o eje de las y. Por conveniencia se toma la misma unidad de medida en ambos ejes.
En un sistema de esta clase, la posición de un punto cualquiera P en el plano queda determinado por sus distancias dirigidas, llamadas coordenadas, a los ejes, La coordenada x o abscisa de un punto P es la distancia dirigida BP OA y la coordenada y u ordenada es la distancia dirigida AP OB. Un punto P, de abscisa x y ordenada y, se denota P(x, y).
Los ejes dividen el plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes, que se numeran I, II, III, IV. se muestran los cuadrantes numerados y los signos correspondientes a las coordenadas de un punto en cada uno de los cuadrantes.
La distancia no dirigida r de un punto P(x, y) al origen, llamada distancia de P o radio vector de P, está dada por $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Un ángulo está en posición normal, respecto a un sistema de coordenadas rectangulares, cuando su vértice coincide con el origen y su lado inicial con el semi-eje positivo de las x.
Un ángulo pertenece al primer cuadrante o es un ángulo del primer cuadrante cuando, colocado en posición normal, su lado terminal cae en dicho cuadrante. Definiciones semejantes se aplican a los otros cuadrantes. Por ejemplo, los ángulos 30°, 59°, y -330° son ángulos del primer cuadrante; 119° es un ángulo del segundo cuadrante; -119° es un ángulo del tercer cuadrante; -10° y 710° son ángulos del cuarto cuadrante.
Son ángulos coterminales los que, colocados en posición normal, tienen lados terminales coincidentes. Por ejemplo, 30° y -330°, 10° y 710° son pares de ángulos coterminales. Dado un ángulo cualquiera, existe un conjunto infinito de ángulos coterminales con él.
Los ángulos 0°, 90°, 180°, 270°, y todos sus ángulos coterminales reciben el nombre de ángulos cuadrangulares.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
Sea $\theta$ un ángulo, (no cuadrangular) colocado en posición normal, y sea P(x, y) un punto cualquiera, distinto del origen, perteneciente al lado terminal del ángulo. Las seis funciones trigonométricas de 6 se definen, en términos de la abscisa, la ordenada y la distancia la orden de P como sigue:
Como consecuencia inmediata de estas definiciones se obtiene las llamadas relaciones inversas.
sen $\theta$ = $\frac{1}{csc\, \, \theta}$ cos $\theta$ = $\frac{1}{sec\, \, \theta}$
tan $\theta$ = $\frac{1}{cot\, \, \theta}$ cot $\theta$ = $\frac{1}{tan\, \, \theta}$
sec $\theta$ = $\frac{1}{cos\, \, \theta}$ csc $\theta$ = $\frac{1}{sen\, \, \theta}$
Al observar las figuras se hace evidente que los valores de las funciones trigonométricas de $\theta$ varían cuando $\theta$ varía.
SIGNOS ALGEBRAICOS DE LAS FUNCIONES.
Como r es siempre positiva, los signos de las funciones en los distintos cuadrantes dependen de los signos de x y de y. Para determinar estos signos se puede colocar (mentalmente) el ángulo en posición normal, o se puede utilizar algún otro recurso, como el que aparece en la figura adjunta donde únicamente se han registrado las funciones cuyo signo es positivo.
Las funciones de un ángulo dado están definidas unívocamente. Sin embargo, cuando se conoce el valor de la función de un ángulo, el ángulo no queda definido unívocamente. Por ejemplo, si seno $\theta=\frac{1}{2}$ entonces $\theta$ = 30º, 150º, 390º, 510º,.... En general existen dos posiciones posibles del lado terminal; por ejemplo, los lados terminales de 30º y 150º del ejemplo anterior. Las excepciones a esta regla ocurren cuando el ángulo es cuadrangular.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS CUADRANGULARES
El lado terminal de un ángulo cuadrangular coincide con uno de los ejes. Un punto P (distinto del origen) del lado terminal tiene por coordenadas x = 0, y $\neq $ 0 ó x $\neq $ 0, y = 0. En ambos casos sucede que dos de las seis funciones no están definidas. Por ejemplo, el lado terminal del ángulo 0º coincide con el semi-eje positivo de las x, y la ordenada de P es 0. Como el denominador de las relaciones que definen la cotangente y la cosecante es la ordenada, estas funciones no están definidas. Para indicar estas conclusiones algunos autores utilizan la notación cot 0º = $\infty $ y otros utilizan cot 0º = $\pm \, \infty $.
Ejemplo:
Localizar los siguientes puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y encontrar el valor de r correspondientes a cada uno de ellos:
A(1 , 2) ; B(-3 , 4) ; C(4 , -5)
Resolución:
A: r = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
r = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}$
r = $\sqrt{1+4}$
r = $\sqrt{5}$
B: r = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
r = $\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}$
r = $\sqrt{9+16}$
r = $\sqrt{25}$
r = 5
C: r = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
r = $\sqrt{4^{2}+(-5)^{2}}$
r = $\sqrt{16+25}$
r = $\sqrt{41}$
Ejemplo:
En cada uno de los siguientes puntos P encontrar la coordenada que falta:
a) x = 2 ; r = 3; P en el primer cuadrante.
b) x = -3 ; r = 5; P en el segundo cuadrante.
c) y = -1 ; r = 3; P en el tercer cuadrante.
d) x = 2 ; r = $\sqrt{5}$ ; P en el cuarto cuadrante.
Resolución:
a) La relación:$x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Se obtiene: $2^{2}+y^{2}=3^{2}$
$4+y^{2}=9$
$y^{2}$= 9 - 4
$y^{2}$= 5
y = $\pm \, \sqrt{5}$
Puesto que P está en el primer cuadrante, la coordenada que falta es:
y $= \sqrt{5}$
b) La relación:$x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Se obtiene: $3^{2}+y^{2}=5^{2}$
$9+y^{2}=25$
$y^{2}$= 25 - 9
$y^{2}$= 16
y = $\pm$ 4
Puesto que P está en el segundo cuadrante, la coordenada que falta es:
y = 4
c) La relación:$x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Se obtiene: $x^{2}+(-1)^{2}=3^{2}$
$x^{2}+1=9$
$x^{2}$= 9 - 1
$x^{2}$= 8
y = $\pm \, 2\sqrt{2}$
Puesto que P está en el tercer cuadrante, la coordenada que falta es:
y = -$2\sqrt{2}$
d) La relación:$x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Se obtiene: $2^{2}+y^{2}=\left ( \sqrt{5} \right )^{2}$
$4+y^{2}=5$
$y^{2}$= 5 - 4
$y^{2}$= 1
y = $\pm $ 1
Puesto que P está en el cuarto cuadrante, la coordenada que falta es:
y = -1
Ejemplo:
Determinar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo $\theta$ (el menor de los ángulos positivos en posición normal) si P es un punto del lado terminal de $\theta$ y las coordenadas de P son:
a) P(3 , 4) ; b) P(-3 , 4)
Resolución:
a) r = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
r = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$
r = $\sqrt{9+16}$
r = $\sqrt{25}$
r = 5
sen $\theta$ = $\frac{y}{r}$ = $\frac{4}{5}$
cos $\theta$ = $\frac{x}{r}$ = $\frac{3}{5}$
tan $\theta$ = $\frac{y}{x}$ = $\frac{4}{3}$
cot $\theta$ = $\frac{x}{y}$ = $\frac{3}{4}$
sec $\theta$ = $\frac{r}{x}$ = $\frac{5}{3}$
csc $\theta$ = $\frac{r}{y}$ = $\frac{5}{4}$
b) r = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
r = $\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}$
r = $\sqrt{9+16}$
r = $\sqrt{25}$
r = 5
sen $\theta$ = $\frac{y}{r}$ = $\frac{4}{5}$
cos $\theta$ = $\frac{x}{r}$ = $\frac{-3}{5}$
tan $\theta$ = $\frac{y}{x}$ = $\frac{4}{-3}$ = $\frac{-4}{3}$
cot $\theta$ = $\frac{x}{y}$ = $\frac{-3}{4}$
sec $\theta$ = $\frac{r}{x}$ = $\frac{5}{-3}$ = $\frac{-5}{3}$
csc $\theta$ = $\frac{r}{y}$ = $\frac{5}{4}$
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