NÚMEROS REALES

INTRODUCCIÓN:

Desde la más remota antigüedad los hombres, manejaron los números:

• Para indicar el número de objetos de un conjunto (contar, ordenar). 
• Como resultado de una media (medir). Toda medida de una cantidad viene dada por un número y la unidad empleada. Por ejemplo:

Ya desde un principio los conceptos de medir (Geométrica) y de contar (Aritmética) han sido fuentes de desarrollo comunes y raíces sobre las que ha crecido toda la matemática.
Para medir la longitud de un objeto se aplica a éste una cierta unidad de longitud y se calcula cuantas veces contiene dicha longitud a la unidad tomada. Pero en este proceso de medida puede ocurrir:

1) Que la longitud a medir contenga un número exacto de veces a la unidad. Entonces el resultado viene expresado sólo por un número natural. Así, decimos que una calle mide 528 m, esta medida se dice que es conmensurable.

2) Si estando en un punto determinado nos dicen que nos traslademos 20 m surge la duda de ¿hacia donde debemos movernos? Duda que se resuelve al damos un sentido y una dirección (20 m hacia el Sur) y matemáticamente, los expresamos con el signo -20. Entendiendo que +20 significará caminar 20 m en dirección Norte. Así surgen los números enteros que son una primera ampliación de los números naturales. Las medidas cuyo resultado viene expresado por un número entero se dicen también conmensurables, ya que únicamente se ha introducido una dirección en la medida.

3) Generalmente en el proceso de medir ocurre que la unidad elegida no está contenida en un número entero de veces en la cantidad a medir. Surge la necesidad de fraccionar la unidad para poder expresar la medida con mayor exactitud. Así empleamos los números fraccionarios (números racionales). como una extensión del concepto de número entero. Decimos que una habitación tiene una longitud de 6 1/4 m. Estas medidas siguen siendo conmensurables, aunque en este caso no basta la unidad sino que deben tomarse partes de dicha unidad (fracciones).

4) Al medir una cantidad podemos encontramos con que su magnitud puede expresarse por:

• Un número entero a veces no dando exacto, si sobraba una pequeña parte se desechaba. Así surgen los conceptos de error absoluto y error relativo.
• Un número fraccionario (racional). También ocurre que al dividir se llegaba a partes muy pequeñas que se desechaban. No llegaban a una precisión total en la medida (error absoluto).
• En este estudio surgen medidas Inconmensurables, así la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, o sea el cociente de los dos no puede expresarse como fracción, o sea cociente de dos números enteros (no es un número racional). Surgen así unos nuevos números, a los que llamaremos irracionales y que sirven para expresar esas medidas Inconmensurables.

Al intentar expresar esas medidas inconmensurables por medio de números se obtiene una nueva generalización del concepto de número, surgen los números Irracionales. Y el nuevo conjunto que engloba a los racionales e irracionales lo llamaremos conjunto de los números reales, $\mathbb{R}$.

Nota:

• Conmensurable: Que puede medirse.
• Inconmensurable: Que no puede medirse.