Para expresar la medida de los ángulos se emplean los siguientes sistemas:
1) Sistema sexagesimal o sistema inglés.
2) Sistema centesimal o sistema francés.
3) Sistema radial o circular circular.
SISTEMA SEXAGESIMAL (S).
Llamado sistema inglés, es aquel sistema cuya unidad de medida angular es el "grado sexagesimal" (º) que es igual a la 360 ava parte de 1 vuelta (una circunferencia).
Grado sexagesimal 1º
Minuto sexagesimal 1'
Segundo sexagesimal 1''
Equivalencias:
1 circunferencia 360º 1 vuelta
1 circunferencia 4 cuadrantes
1 cuadrante 90º
1º 60'
1' 60''
1º 3600''
Nota: en este sistema la circunferencia se divide en 360 partes iguales.
Ejercicio 1:
Convertir 45º25'30'' a grados sexagesimales
Resolución:
En primer lugar los 30'' a grados:
30'': $30''\times \frac{1^{\circ}}{3600''}=0,0083^{\circ}$
30" = 0,0083º (I)
En segundo lugar los 25' lo pasamos a grados:
25': $25'\times \frac{1^{\circ}}{60'}=0,4167^{\circ}$
25' = 0,4167º (II)
Luego, la expresión 45º25'30'', se puede escribir así:
45º25'30'' = 45º + 25' + 30'' (III)
Remplazamos (I) y (II) en (III)
45º25'30'' = 45º + 0,4167º + 0,0083º
45º25'30'' = 45º + 0,425º
45º25'30'' = 45,425º
Ejercicio 2:
Convertir 16,2056º a grados, minutos y segundos sexagesimal.
Resolución:
La expresión: 16,2056º se puede escribir así: 16,2056º = 16º + 0,2056º
Pasamos la fracción de grado (0,2056º) a minutos:
0,2056º: $0,2056^{\circ}\times \frac{60'}{1^{\circ}}=12,336'$
0,2056º: 12,336' = 12' + 0,336'
0,2056º: 12' + 0,336'
Pasamos la fracción de minutos (0,336') a segundos:
0,336': $0,336' \times \frac{60''}{1'}=20,16''$
0,336' = 20''
16,2056º = 16º + 0,2056º
16,2056º = 16º + 12,336'
16,2056º = 16º + 12' + 0,336'
16,2056º = 16º + 12' + 20''
Nota: En el resultado 20,16, si la cifra siguiente a la "coma decimal" fuese mayor o igual a 5 se aproxima la parte entera a la unidad inmediata superior. En este caso 20,16 "quedaría como 20" ya que la cifra siguiente a la coma decimal es menor que 5, en caso que el resultado hubiese sido 20,53 "se aproximará a 21" por ser la cifra que lo sigue a la coma decimal la cifra 5. Por ejemplo:
40,6" 41"
30,2" 30"
26,9" 27"
SISTEMA CENTESIMAL (C)
Llamado también sistema francés, es aquel sistema que tiene como unidad de medida angular el grado centesimal (g), que es igual a la 400 ava parte del ángulo de una vuelta.
Notación:
Grado centesimal 1g ó $1^{g}$
Minuto centesimal 1m ó $1^{m}$
Segundo centesimal 1s ó $1^{s}$
Equivalencias:
1 circunferencia 400g 1 vuelta
1 circunferencia 4 cuadrantes
1 cuadrante 100 g
1 g 100 min
1 min 100 s
1 g 10000 s
Nota: En este sistema la circunferencia se divide en 400 partes iguales.
Ejercicio:
Convertir 50 g 25 min 45 s a grados centesimales:
Resolución:
45: $45s\times \frac{1g}{10000s} =0,0045g$
45 s = 0,0045g (I)
En segundo lugar pasamos los 25 min. a grados centesimales:
25: $25\times \frac{1\, g}{100\, min}=0,25\, g$
25 min = 0,25 g (II)
Luego, la expresión 50 g 25 min 45 s, se puede escribir así:
50 g 25 min 45 s = 50 g + 25 min + 45 s (III)
Remplazamos (I), (II) en (III)
50 g 25 min 45 s = 50 g + 0,25 g+ 0,0045 g
50 g 25 min 45 s = 50 g + 0,2545 g
50 g 25 min 45 s = 50,2545 g
Ejercicio:
Convertir 20,3465 g. a grados, minutos y segundos centesimales:
Resolución:
La expresión 20,3465 g se puede escribir así:
20,3465 g = 20 g + 0,3465 g
Pasamos la fracción de grados (0,3465 g) a minutos
0,3465 g: $0,3465\, g\times \frac{100\, m}{1\, g}=34,65\, m$
0,3465 g = 34,65 m
0,3465 g = 34 m + 0,65 m
Pasamos la fracción de minutos (0,65 m) a segundos
0,65 m: $0,65\, m\times \frac{100\, s}{1\, m}=65\, s$
0,65 m = 65 s
Luego: 20,3465 g = 20 g 34 m 65 s
REGLA PRÁCTICA: En el sistema centesimal, para hallar los minutos y los segundos, a partir de la coma decimal hacia la derecha se separan en grupos de 2, los minutos y los segundos grupo de 2, los segundos:
Nota: Esta regla solo se cumple para el sistema centesimal.
SISTEMA RADIAL (R)
Llamado también sistema circular es aquel sistema que tiene por unidad de medida el (Radian), que es el ángulo en el centro de la circunferencia cuya longitud de arco es igual a la longitud de radio de la circunferencia.
Si: $L = r$ $\Rightarrow $ $\theta = 1 \, \, rad$
Nota:
1) Para los cálculos se puede considerar los valores de r como:
$\pi$ = 3,141592654 = 3,1416
$\pi=\frac{22}{7}$ ; $\pi=\frac{355}{113}$ ; $\pi=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
Estos valores sólo se utilizan cuando el ejercicio (problema) lo da como dato.
2) Definida la unidad de Radian se puede calcular la longitud de un arco de circunferencia de la siguiente manera:
Fórmula importante:
Generalizado: Ángulo en Radianes = $\frac{Longitud\, de\, Arco}{Longitud\, de\, radio}$
Así por ejemplo:
$Angulo\, de\, 1\, vuelta\, (rad)=\frac{Longitud\, de \, la \, circunferencia}{Longitud\, de \, radio}$
$Angulo\, de\, 1\, vuelta\, (rad)=\frac{2\pi r}{r}$
Para este sistema, emplearemos las siguientes equivalencias.
EQUIVALENCIAS
1 circunferencia = 2$\pi$ rad
1 circunferencia = 4 cuadrantes
1 cuadrante = $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ rad
2 cuadrantes = $\frac{2\pi}{2}=\pi$ rad
3 cuadrantes = $\frac{3\pi}{2}$ rad
RELACIÓN ENTRE EL RADIÁN Y EL GRADO SEXAGESIMAL
Para establecer dicha relación se debe recordar lo siguiente:
a) Longitud de la circunferencia $\Rightarrow$ Lc=$2\pi r$
b) Longitud de la circunferencia expresada en radianes $\Rightarrow $ Lc=$2\pi$ rad
c) Longitud de la circunferencia en el sistema sexagesimal $\Rightarrow $ Lc=360º
Por consiguiente de (c) y (b), obtenemos
360º = 2$\pi$ rad (sacamos la mitad a cada miembro)
180º = $\pi$ rad
De donde: 180º = 180 x 1º <>rad
1º <> = $\frac{\pi\, rad}{180}$ (pero: $\pi$ = 3,1416)
1º <> = $\frac{3,146}{180}$ (efectuando la división tenemos)
1º <> = 0,017453 rad
De la expresión: 180º <> $\pi$ radianes $\Rightarrow $ 180º <> $\pi$ (1 radián)
De donde: 1 radián: $\frac{180^{\circ}}{\pi}$ <> 1 radián ; pero $\pi$ = 3,1416
$\frac{180^{\circ}}{3,1416}$ <> 1 radián ; efectuando la división obtenemos
57,2957º <> 1 radián
57º17'45'' <> 1 radián
57,2957º = 57º17'45'' aproximadamente <> 1 radián
Ejercicio:
Convertir: 144º a radianes
Resolución:
144º: 144 x 1º
Pero 1º = $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ rad
144º: 144 x $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ rad
144º = $\frac{4\pi}{5}$ rad (Se lee: 144º es igual a 4 pi sobre 5 radianes)
Nota: Para convertir los grados sexagesimales a radianes nos basta multiplicar el número de grados por $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ rad.
Ejercicio:
Convertir: 150º a radianes
Resolución:
150º: 150 x $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ rad
150º = $\frac{5\pi}{6}$ rad
Ejercicio:
Convertir: 42º36' a radianes
Resolución:
1) Pasamos los 36' a grados sexagesimales
36': 36' x 1
Pero 1= $\frac{1^{\circ}}{60'}$
36': 36' x $\frac{1^{\circ}}{60'}=\frac{6^{\circ}}{10}=0,6^{\circ}$
36' = 0,6º
Luego: 42,36º = 42,6º (El número de grados que hemos hallado lo pasamos a radianes)
Esta ultima expresión se puede escribir así:
42,36º = (42,6) x 1º
Pero: 1º = 0,017453 rad
42,36º = (42,6) x 0,017453 rad = 0,7434978 rad
42,36º = 0,7434978 rad
Ejercicio:
Convertir: 38º19'15'' a radianes
Resolución:
1) Pasamos los 15'' a grados sexagesimales
15'': 15'' x $\frac{1^{\circ}}{3600''}$ = 0,00416º
15'' = 0,00416º (I)
2) Pasamos los 19' a grados sexagesimales
19': 19' x $\frac{1^{\circ}}{60'}$ = 0,31666º
19' = 0,31666º (II)
La expresión 38º19'15'' se puede escribir así:
38º19'15'' = 38º + 19' + 15'' (III)
Remplazamos (I) y (II) en (III)
38º19'15'' = 38º + 0,31666º + 0,00416º
38º19'15'' = 38,32082º (El número de grados hallados los pasamos a radianes)
38º19'15'' = 38,32082º x 1º
Pero: 1º = 0,017453 rad
38º19'15'' = 38,32082º x 0,017453 rad
38º19'15'' = 0,6688132 rad
CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES
Ejercicio:
Convertir $\frac{2\pi}{3}$ radianes, a grados sexagesimales
Resolución:
$\frac{2\pi}{3}$ rad: $\frac{2\pi}{3}$ x 1 rad
Pero: 1 rad =$\frac{180^{\circ}}{\pi}$
$\frac{2\pi}{3}$ rad: $\frac{2\pi}{3}$ x $\frac{180^{\circ}}{\pi}$
$\frac{2\pi}{3}$ rad = 120º
Nota: Para convertir radianes a grados sexagesimales, basta multiplicar el número de radianes por $\frac{180^{\circ}}{\pi}$.
Ejercicio:
Convertir $\frac{5\pi}{6}$ radianes, a grados sexagesimales
Resolución:
$\frac{5\pi}{6}$ rad: $\frac{5\pi}{6}$ x $\frac{180^{\circ}}{\pi}$
$\frac{5\pi}{6}$ rad = 150º
Ejercicio:
Expresar 8,36 rad en unidades de sistema sexagesimal
Resolución:
La expresión 8,36 rad se puede escribir así:
8,36 rad: 8,36 x 1 rad
Pero 1 rad = 57,2957º
8,36 rad: 8,36 x 57,2957º = 478,99205º
8,36 rad = 478º + 0,99205º
(0,99205º) convertir a minutos
8,36 rad = 478º + 0,99205º x $\frac{60'}{1^{\circ}}$
8,36 rad = 478º + 59,523'
8,36 rad = 478º + 59' + 0,523'
(0,523') convertir a segundos
8,36 rad = 478º + 59' + 0,523' x $\frac{60''}{1'}$
8,36 rad = 478º + 59' + 31,38''
8,36 rad = 478º + 59' + 31''
8,36 rad = 478º59'31''
Nota: Para expresar un número entero de radianes, basta multiplicar el número de radianes por 57,2957º y luego reducir la parte decimal a minutos y segundos.
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