DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS

DIVISIBILIDAD

Llamamos divisibilidad a la parte de la aritmética que nos dice, cuando un número es divisible por otro.
¿Habrá posibilidad de conocer cuando un número es divisible por otro esto es, que su división es exacta, sin necesidad de hacer la división?
¿Verdad que sería estupendo saber si una división es exacta o no, antes de efectuar la división?

Fíjate bien: Saber si un número cualquiera dividido por 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, da división exacta, es saber los múltiplos de 2, 3, 4, 5, etc.
A pesar de que los múltiplos de un número es infinito es posible saber si su división por un número cualquiera es división exacta o no.
Se vera como: los múltiplos de 2 son:

2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
..............
..............
..............

No es necesario continuar, porque se observa que todos los múltiplos de 2 terminan en 0 ó cifra par.
Pues bien todos los números que terminan en 0 ó en cifra par son múltiplos de 2; y por tanto, divisibles por 2.
Los múltiplos de 5 son:

5 x 0 = 0
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
5 x 6 = 30
5 x 7 = 35
..............
..............
..............

Tampoco es necesario continuar pues se obser­va que los múltiplos de 5 terminan en 0 ó en 5. Por tanto, los números que terminan en 0 ó en 5 son divisibles por 5.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA DIVISIBILIDAD

1) Representación generalizada de la divisibilidad. Para representar con letras que un número a es múltiplo de b; escribiremos a = m • b, lo cuál se lee: a es m veces b.

Ejemplo:

30 = 5 x 6; significa que: 30 es 5 veces 6

2) Sumas y Diferencias de múltiplos
“La suma de varios múltiplos de un número es también múltiplo del mismo número”.

Ejemplo 1:

Los números: 20, 30, 40, 60, son múltiplos de 10. La suma: 20 + 30 + 40 + 60 = 150 es también múltiplo de 10.

Ejemplo 2:

Los números: 18 y 12 son múltiplos de 3. La diferencia 18 - 12 = 6; es también múltiplo de 3

CARACTERES O CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

1) Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, cuando termina en 0 ó en cifra par.

Ejemplos: 

a) 14 es divisible por 2; porque termina en cifra par.
Veamos: $14\div 2=7$; la división es exacta.
b) 20 es divisible por 2; porque termina en 0.
Veamos: $20\div 2=10$, la división es exacta.

2) Divisibilidad por 3

Un número es Divisible por 3; cuando la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

Ejemplos:

a) 72 es divisible por 3; porque: 7 + 2 = 9, siendo 9 un múltiplo de 3.
Veamos: $9\div 3=3$; La división es exacta.
También: $72\div 3=24$; La división es exacta.
b) 201 es divisible por 3; porque: 2 + 0 + 1 = 3; siendo la suma de sus cifras igual a 3.
c) 948 es divisible por 3; porque: 9 + 4 + 8 = 21; siendo 21 un múltiplo de 3.
Veamos: $21\div 3=7$; la división es exacta.
También: $948\div 3=316$; la división es exacta.

3) Divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 si termina en 2 ceros o sus 2 últimas cifras forman un número divisible por 4.

Ejemplos:

a) 8 200 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son dos ceros.
Veamos: $8200\div 4=2050$
b) 412 es divisible por 4; porque sus dos últimas cifras (12) forman un múltiplo de 4.

4) Divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, cuando termina en 0 ó en 5.

Ejemplos: 

a) 35 es divisible por 5; porque termina en 5.
Veamos: $35\div 5=7$; la división es exacta.
b) 70 es divisible por 5; porque termina en 0.
Veamos: $70\div 5=14$; la división es exacta.

5) Divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, cuando, al mismo tiempo, lo es por 2 y por 3.

Ejemplos: 

a) 462 es divisible por 6; porque dicho número es divisible por 2 y por 3.
Veamos: $462\div 2=231$; la división es exacta.
También: $462\div 3=154$; la división es exacta.
b) 138 es divisible por 6, porque dicho número es divisible por 2 y por 3.
Veamos: $138\div 2=69$; la división es exacta.
$138\div 3=46$; la división es exacta.

6) Divisibilidad por 7

“Dado un número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda, el doble de la cifra que se ha separado y así sucesivamente; si el resultado que queda es múltiplo de 7, entonces el número es múltiplo de 7”.

Ejemplo: 5418

5418 es múltiplo de 7

Ejemplo: 2987642

Otra forma de hallar la Divisibilidad por 7

Divisibilidad por 7: Un número será divisible por 7 si cumple con la siguiente regla:
Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes factores:

Sumamos los números enteros obtenidos. Si el resultado final es cero o múltiplo de 7 el número dado será entonces divisible por 7.

Ejemplo:

¿Es 32 718 divisible por 7?

Resolución:

Sumando los números enteros hallados, se tiene:
(-9) + (-2) + (+14) + (+3) + (8) = 7, siendo 14 divisible por 7.  
Luego: 32 718 es divisible por 7. 

Ejemplo:

¿Es 835 674 divisible por 7?

Resolución:

Sumando los números enteros hallados, se tiene:
(-16) + (-9) + (-5) + (+12) + (21) + (4) = 7  
Luego: 835 674 es divisible por 7. 

Ejemplo:

¿Es 3 621 574 divisible por 7?

Resolución:

Sumando los números enteros hallados, se tiene:
(3) + (-12) + (-6) + (-1) + (10) + (21) + (4) = 19, como 19 no es divisible por 7, entonces, 3621574 tampoco será múltiplo de 7.  

7) Divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8, cuándo sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8.

Ejemplos:

a) 35 000 es divisible por 8 porque: termina en tres ceros.
b) 1 984 es divisible por 8 porque: sus 3 últimas cifras (984) forman un múltiplo de 8 veamos: $984\div 8=123$.

8) Divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9; cuando la suma de sus cifras es 9 ó forman un múltiplo de 9.

Ejemplos:

a) 225 es divisible por 9; porque: 2 + 2 + 5 = 9
b) 31 194 es divisible por 9; porque: 3 + 1 +1 + 9 + 4 = 18; (18 es múltiplo de 9).
c) 75 438 es divisible por 9; porque: 7 + 5 + 4 + 3 + 8 = 27;(27 es múltiplo de 9).

9) Divisibilidad por 10; 100; 1000; etc.

Un número es divisible por 10, 100, 1 000, etc. cuando termina en un cero, dos, tres,...., ceros, respectivamente.

Ejemplos:

a) El número 24 000 es divisible por 1 000, por 100 y por 10.
b) El número 3 400 es divisible por 100 y por 10.
c) El número 80 es divisible por 10.

10) Divisibilidad por 11

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan el lugar Impar y la suma de las cifras que ocupan el lugar par da ce­ro ó múltiplo de 11.

Ejemplo 1

Luego: 17 - 6 = 11; siendo este múltiplo de 11.
8096 es múltiplo de 11.

Ejemplo 2

Luego: 10 - 10 = 0
19316 es múltiplo de 11.

11) Divisibilidad por 12

Un número es divisible por 12, cuando al mismo tiempo, lo es por 3 y por 4.

Ejemplo:

822624 $\Rightarrow $ $\sum $ cifras: 8 + 2 + 2 + 6 + 2 + 4 = 24; (24 es múltiplo de 3) 

822624 es múltiplo de 12.

Ejemplo:

2495100 $\Rightarrow $ $\sum $ cifras: 2 + 4 + 9 + 5 + 1 + 0 + 0 = 21; (21 es múltiplo de 3) 

2495100 es divisible para 12.

12) Divisibilidad por 13

Dado el número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que que­da a la izquierda 9 veces de la cifra que se ha separado y así sucesivamente, si el resultado que queda al final es cero o múltiplo de 13 entonces “El núme­ro es múltiplo de 13”.

Ejemplo:

47502 es múltiplo de 13

Ejemplo:

193816 no es múltiplo de 13

13) Divisibilidad por 14

Un número es divisible por 14, cuando al mismo tiempo, lo es por 2 y por 7.

14) Divisibilidad por 15

Un número es divisible por 15, cuando al mismo tiempo, lo es por 3 y por 5.

15) Divisibilidad por 16

Un número es divisible por 16, cuando al mismo tiempo, lo es por 2 y por 8.

16) Divisibilidad por 17

Dado un número se separa la primera cifra de la derecha y se resta aloque que­da a la izquierda, 5 veces de la cifra que se ha separado y así sucesivamente, si el resultado final es cero o múltiplo de 17, entonces el número es múltiplo de 17".

Ejemplo:

8347 es divisible por 17

Ejemplo:

457368 es divisible por 17

17) Divisibilidad por 25

“Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son Ceros o forman un múltiplo de 25”

Ejemplos:

a) El número 2 600 es divisible por 25; porque sus dos últimas cifras son dos ceros.
b) El número 125 es divisible por 25; porque sus dos últimas cifras (25) Forman un múltiplo de 25.

18) Divisibilidad por 125

“Un número es divisible por 125, cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125”.

Ejemplos:

a) El número 35 000 es divisible por 125; porque termina en tres ceros.
b) El número 3 250 es divisible por 125; porque sus tres últimas cifras (250) forman un múltiplo de 125.