NÚMERO ENTERO

Surge como respuesta al intentar dar medidas negativas y es una ampliación de los números naturales que hacen posible la sustracción en todos los casos.
Los números enteros, salvo el cero, se representan mediante los números naturales precedido de un signo.

+ Entero Positivo    - Entero Negativo

$\mathbb{Z}$ = {.........., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,..........}
Para representar los números enteros basta tomar una recta r y un punto O como origen que represente el número entre cero.

a) Elegimos un segmento $\overline{OU}$ como unidad de longitudes y llevémoslo sucesivamente sucesivamente a la derecha. Los puntos de división representan los enteros positivos, por lo tanto, el conjunto de los enteros engloba a los números naturales.

b) Llevémoslo también hacia la izquierda. Los puntos de división representan los enteros negativos y junto con los enteros positivos representa todos los números enteros . Por tanto:

Esto equivale a establecer una aplicación en el conjunto $\mathbb{Z}$ de los enteros (Abscisas de los puntos) y los puntos de una recta r. Esta aplicación sigue siendo inyectiva, ya que a cada número le corresponde un punto y sólo uno, pero existen infinitos puntos que no tienen su preimagen en $\mathbb{Z}$.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

A) LA ADICIÓN: Es una operación cerrada en $\mathbb{Z}$. Pues quiere decir  "La suma de dos números enteros es un número entero".

Ejemplos:

9 + 5 = 14 ; si: 9 $\in \mathbb{Z}$ ; 5 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    14 $\in \mathbb{Z}$

(-4) + (-9) = -13 ; si: -4 $\in \mathbb{Z}$ ; -9 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    -13 $\in \mathbb{Z}$

B) LA SUSTRACCIÓN: Es una operación cerrada en $\mathbb{Z}$. Pues quiere decir  "La diferencia de dos números enteros es un número entero".

Ejemplos:

8 - 3 = 5; si: 8 $\in \mathbb{Z}$ ; 3 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    5 $\in \mathbb{Z}$

(-6) - 2 = -8 ; si: -6 $\in \mathbb{Z}$ ; 2 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    -8 $\in \mathbb{Z}$

(-6) - (-8) = 2 ; si: -6 $\in \mathbb{Z}$ ; -8 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    2 $\in \mathbb{Z}$

C) LA MULTIPLICACIÓN: Es una operación cerrada en $\mathbb{Z}$; pues quiere decir que "El producto de dos números enteros es un número entero". 

Ejemplos: 

6 x 3 = 18 ; si: 6 $\in \mathbb{Z}$  ; 3 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    18 $\in \mathbb{Z}$

(-4) x (-9) = 36 ; si: -4 $\in \mathbb{Z}$ ; -9 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    36 $\in \mathbb{Z}$

D) LA DIVISIÓN: No es una operación cerrada en $\mathbb{Z}$; pues quiere decir: "Que el cociente de dos números enteros, no siempre es un número entero". 

Ejemplos:

4 $\div $ 5 = 0,8  ; si:  4 $\in \mathbb{Z}$ ; 5 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    $0,8\notin \mathbb{Z}$ 

3 $\div $ 4 = 0,75  ; si:  3 $\in \mathbb{Z}$ ; 4 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    $0,75\notin \mathbb{Z}$ 

E) LA POTENCIACIÓN: No es una operación cerrada en $\mathbb{Z}$; pues quiere decir: "Un número entero, elevado a un exponente entero, no siempre es un número entero".  

Ejemplos:

$3^{-3}=\frac{1}{\left ( 3 \right )^{3}}=\frac{1}{27}$ ; si: -3 $\in \mathbb{Z}$ ; 3 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    $\frac{1}{27}\notin \mathbb{Z}$ 

$(-4)^{-2}=\frac{1}{\left ( -4 \right )^{2}}=\frac{1}{16}$ ; si: -4 $\in \mathbb{Z}$ ; -2 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    $\frac{1}{16}\notin \mathbb{Z}$ 

F) LA RADICACIÓN: No es una operación cerrada en $\mathbb{Z}$; pues quiere decir: "Que la raíz de un número entero, no siempre es un número entero". 

Ejemplos:

$\sqrt{7}=\sqrt[2]{7}=2,64575131....$; si: 2 $\in \mathbb{Z}$ ; 7 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    $2,64575131....\notin \mathbb{Z}$ 

$\sqrt{11}=\sqrt[2]{11}=3,31662479....$; si: 2 $\in \mathbb{Z}$ ; 11 $\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow $    $3,31662479....\notin \mathbb{Z}$ 

PROPIEDADES DE $\mathbb{Z}$

1) El conjunto de números enteros es infinito 

2) No tiene ni primero ni último elemento.

3) Todo número entero tiene un sucesor. Un número entero y su sucesor se dicen consecutivos.

Ejemplo:

-3 es sucesor de -4 $\Rightarrow $ -3 y -4 son consecutivos.

4) Todo número entero tiene un antecesor.
                                         -1 es el antecesor de cero
                                         -7 es el antecesor de -6

5) Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Por eso decimos que el conjunto de números enteros es discreto.

Por ejemplo:

Entre -11 y -4 hay 6 números enteros (-4 > -11).

Entre 9 y 21 hay 11 números enteros (21 > 9).