Un número racional es el formado por una fracción (cociente de dos números enteros) y todos sus equivalentes.
EL conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales tienen como elementos a todos los números que pueden ser expresados de la forma x/y siendo: x , y números enteros, además y $\neq $ 0.
Los números racionales $\mathbb{Q}$ engloban a:
- Enteros: (Fracciones que son cocientes exactos: $\frac{14}{7}$ =2)
- Fraccionarios: (Fracciones que no sean cocientes exactos:$\frac{12}{5}$=2,4 y que pueden expresarse en forma de número decimal).
Para representar los números racionales $\mathbb{Q}$ en una recta r que indica el mismo proceso que en $$, ya que en particular los enteros pertenecen a $\mathbb{Q}$.
Tendremos:
La representación de los números fraccionarios quedará vista una vez sepamos dividir un segmento cualquiera en n partes iguales (n $\in \mathbb{Z}$); pue una fracción $\frac{m}{n}$ indica la unidad que ha dividido en n partes iguales, de las cuales se ha cogido m.
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS RACIONALES
LA ADICIÓN, LA SUSTRACCIÓN, LA MULTIPLICACIÓN, LA DIVISIÓN Y LA POTENCIACIÓN: Son operaciones cerradas en $\mathbb{Q}$. Esto quiere decir:
LA ADICIÓN:
$\forall \left ( x,y \right )\in \mathbb{Q}\Rightarrow \left ( x+y \right )\in \mathbb{Q}$ ($\forall $ se lee: para todo)
Ejemplos:
2 y $\frac{1}{3}\in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow $ $\left ( 2+\frac{1}{3} \right )=\frac{7}{3}$ = 2$\widehat{3}$
Es un decimal periódico puro. Luego: 2,$\widehat{3}\in \mathbb{Q}$
Es un decimal periódico exacto. Luego: 0,9 $\in \mathbb{Q}$
LA SUSTRACCIÓN:
$\forall \left ( x,y \right )\in \mathbb{Q}\Rightarrow \left ( x-y \right )\in \mathbb{Q}$
Ejemplos:
2 y $\frac{1}{3}\in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow $ $\left ( 2-\frac{1}{3} \right )=\frac{5}{3}$ = 1,$\widehat{6}$
Es un decimal periódico puro. Luego: 1,$\widehat{6}\in \mathbb{Q}$
$\frac{1}{2} $ y $\frac{1}{5} \in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow $ $\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10}$ = 0,3
Es un decimal periódico exacto. Luego: 0,3 $\in \mathbb{Q}$
LA MULTIPLICACIÓN:
$\forall \left ( x,y \right )\in \mathbb{Q}\Rightarrow \left ( x\cdot y \right )\in \mathbb{Q}$
Ejemplos:
2 y $\frac{1}{3}\in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow $ $\left ( 2\cdot \frac{1}{3} \right )=\frac{2}{3}$ = 0,$\widehat{6}$
Es un decimal periódico puro. Luego: 0,$\widehat{6}\in \mathbb{Q}$
$\frac{2}{5} $ y $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow $ $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{10}$ = 0,2
Es un decimal periódico exacto. Luego: 0,2 $\in \mathbb{Q}$
LA DIVISIÓN:
$\forall \left ( x,y \right )\in \mathbb{Q}\Rightarrow \frac{x}{y}\in \mathbb{Q}\, ;\, y\neq 0 $
Ejemplos:
$\frac{1}{4} $ y 2 $ \in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow $ $\frac{\frac{1}{4}}{2}$ = $\frac{1}{8}$ = 0,125
Es un decimal periódico exacto. Luego: 0,125 $\in \mathbb{Q}$
6 y $\frac{1}{3} $ $ \in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow $ $\frac{6}{\frac{1}{3}}$ = 18 $\in \mathbb{Q}$
LA POTENCIACIÓN:
$\forall \left ( x,y \right )$ $\in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow $ $x^{y}\in \mathbb{Q}\, \, ;\, \, x\, \, e\, \, y\neq 0$
Ejemplos:
3 y 4 $ \in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow $ $4^{3}$ = 64 $\in \mathbb{Q}$
5 y (-2) $ \in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow 5^{-2}=\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{25} \in \mathbb{Q}$
El conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales es denso lo que quiere decir que cualquiera que sean los números racionales "x" e "y", existe siempre un w $\in \mathbb{Q}$, tal que:
x < w < y
Ejemplos:
Comprobar que en los números siguientes de $\mathbb{Q}$, existe otro.
$\frac{3}{4}$ y $\frac{4}{5}$
Resolución:
$\frac{\frac{3}{4}+\frac{4}{5}}{2}$; está entre$\frac{3}{4}$ y $\frac{4}{5}$
$\frac{\frac{31}{20}}{2}$ ; está entre $\frac{3}{4}$ y $\frac{4}{5}$
$\frac{31}{40}$ ; está entre $\frac{3}{4}$ y $\frac{4}{5}$
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