NÚMEROS DECIMALES

INTRODUCCIÓN:

Sean los números racionales: $\frac{276}{4}\, ;\, \frac{25}{4}\, ; \, \frac{8}{3}\, ;\, \frac{7}{22}$ (Cociente de dos enteros).
Hallar dichas divisiones:

Si la división no es exacta podemos sacar cifras decimales, separando las cifras enteras de las decimales mediante una coma:

Al continuar la división vemos que son posibles dos casos:

a) Que se llegue a un resto ó residuo 0; obtenemos un número decimal exacto (4,8) en la división $24\div 5$

b) Que se acabe la división, pues nunca se llega a obtener resto Cero. En este caso obtenemos un número decimal (pero desde un lugar de la división en adelante hay un grupo de cifras que se repiten indefinitivamente y al que llamaremos período).
Por lo tanto, tenemos un número decimal periódico, que lo denotaremos abreviadamente por:

Un número decimal periódico se llama puro si el período empieza inmediatamente después de la coma decimal y mixto si tiene alguna cifra (anteperíodo) después de la coma decimal y antes del período.
Generalizando tendremos que todos los números racionales podemos clasificarlos según el siguiente esquema:

Donde:

1) Las fracciones cuyo cociente es exacto corresponden a los números enteros.

2) Las fracciones cuyo cociente dan un número decimal exacto corresponden a las fracciones decimales (aquellas cuya fracción irreducible sólo contiene en el denominados potencias de 2 y de 5)

3) Las fracciones cuyo cociente da un número decimal periódico corresponden a la fracciones no decimales.
A) Los números enteros como decimales, al añadirles una coma y todos los ceros que deseamos a la derecha de la coma (los ceros a la derecha de un número decimal dejan invariable dicho número), los convertimos en números decimales periódicos puros del período cero:

Ejemplos:

3 = 3,0000.... = 3,$\widehat{0}$
8 = 8,0000.... = 8,$\widehat{0}$

B) Los números exactos como números decimales periódicos al añadirles los ceros que deseamos a la derecha de la última cifra decimal. Así lo convertimos en números decimales periódicos mixtos de período 0 y de anteperíodo los números que tuvieran como decimal exacto.

Ejemplos:

6,25 = 6,25000..... =6,$\widehat{25}$
2,38 = 2,38000..... =2,3$\widehat{80}$

EQUIVALENCIA DE NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS

Con el convenio anterior podemos enunciar el siguiente teorema:
Todo número racional puede ponerse como número decimal con infinitas cifras decimales que se repiten en período y viceversa.
Todo número racional (al hallar la división que viene indicada por la fracción que la representa), nos da las siguientes posibilidades:

1) Número Entero $\Rightarrow $ convenio A) $\Rightarrow $ Número decimal periódico puro de período 0.

Ejemplo:

$\frac{16}{8}$ = 2 = 2,000..... = 2,$\widehat{0}$

2) Número Decimal exacto $\Rightarrow $ convenio B) $\Rightarrow $ Número decimal periódico mixto de período 0.

Ejemplo:

$\frac{25}{4}$ = 6,25 = 6,25000..... = 6,2$\widehat{50}$

3) Número Decimal periódico puro: $\frac{8}{3}$ = 2,666..... = 2,$\widehat{6}$

4) Número Decimal periódico mixto: $\frac{7}{22}$  = 0,31818..... = 0,3$\widehat{18}$
Comprobar que todo número decimal con infinitas cifras decimales que se repiten en periodo puede ponerse como un número racional equivale a hallar la fracción generatriz de dichos números decimales.

1) Número Decimal periódico puro de periodo 0.

6,$\widehat{0}$ = 6,000..... = 6 (Número entero)

2) Número Decimal Exacto (Número decimal periódico mixto de periodo 0) 
La fracción generatriz de un número decimal exacto tiene:

• Por numerador: El mismo decimal, sin la coma.
• Por denominador: La unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Así tenemos los números decimales exactos: 0,475; 10,05; 0,0027.
Obtenemos las fracciones generatrices de dichos números que son:

3) Expresión Decimal Pura:   
a) Si la parte entera es nula:

La fracción generatriz de un número decimal periódico puro, cuya parte entera es nula tiene:

• Por numerador: El período

• Por denominador: Un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período.

Así, los número decimales siguientes: 0,$\widehat{723}$; 0,$\widehat{92}$; 0,$\widehat{7}$ tiene como fracciones operaciones generatrices respectivamente:

$$\frac{723}{999}\, ;\, \frac{92}{99}\, ;\, \frac{7}{9}$$

b) Si la parte entera no es nula:

La fracción generatriz se compondrá de la parte entera más la fracción equivalente a la parte decimal (según la parte a)

Así para la expresión decimal periódica pura:   entera es nula tiene: f = 5,$\widehat{42}$ tiene como fraccion generatriz:

5,2121......... = 5$\frac{21}{99}$

4) Expresión Decimal Periódica Mixta:
a) Si la parte entera es nula:

La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto, cuya parte entera es nula, tiene:

• Por numerador: La diferencia entre el número formado por el anteperíodo seguido del período y el número tomado por el anteperíodo.

• Por el denominador: Un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como cifras tiene el anteperíodo.

Sea la expresión decimal periódica mixta: 0,024$\widehat{37}$; su fracción generatriz es: 

f = $\frac{2437-24}{99000}$ = $\frac{2413}{99000}$ 

Recuerda que:

Sea la expresión decimal periódica mixta: 0,31$\widehat{4}$; su fracción generatriz es: 
f = $\frac{314-31}{900}$ = $\frac{283}{900}$ 

b) Si la parte entera no es nula:

La fracción generatriz se compondrá de la parte entera más la fracción equivalente a la parte decimal (según a).
Así la expresión periódica mixta:   2,3$\widehat{46}$ ; su fracción generatriz es:

2,3$\widehat{46}$ = 2$\frac{346-34}{900}$ =2$\frac{312}{900}$

Así la expresión periódica mixta: 5,21$\widehat{35}$; su fracción generatriz es:

5,21$\widehat{35}$ = 5$\frac{2135-21}{9900}$ = 5$\frac{2114}{9900}$

Aproximaciones Decimales de los números racionales.

Después de convenir en que los números enteros y los números decimales exactos podemos ponerlos como números decimales de periodo cero, hemos visto que los números decimales periódicos coinciden con los números racionales.
La representación de los enteros es inmediata, pero para la representación de los decimales exactos con varias cifras decimales o de los periódicos se acude a aproximaciones por exceso o por defecto, así:

1) Si queremos medir una longitud que exija hasta milésimas de mm y disponemos de un metro dividido en mm, la medida sólo podrá ser aproximada.

2) Si queremos dar una medida que viene expresada por un número decimal periódico podemos hacerlo como sigue. Sea el número decimal periódico.
2,$\widehat{3}$ = 2$\frac{3}{9}$ = 2$\frac{1}{3}$ = $\frac{7}{3}$
Podemos ponerlo como:

2,$\widehat{3}$ = $\frac{7}{3}$ = 2,333..... = 2 + $\frac{3}{10}$ + $\frac{3}{100}$ + $\frac{3}{1000}$ + ......

Entonces cuando mayor sea el número de cifras decimales que demos, la aproximación al valor de 7/3 será mayor.
A la diferencia entre el valor exacto y la aproximación decimal tomada se llama error absoluto.

Así, si tomamos $\frac{7}{3}$ = 2,33; tendremos que el error absoluto es:
2,333..... = 2,33 = 0,00333...... (Es decir, el error es menor que una centésima)

Ejemplo:

a) Hallar las aproximaciones decimales, b) Hallar  el error absoluto de dichas aproximaciones.
De tercer orden de los números racionales: $\frac{4}{3}\, \, ;\, \, \frac{8}{15}$ 

Resolución:

a) $\frac{4}{3}$ = 1,333 ; a) $\frac{8}{15}$ = 0,5333

b) Error absoluto = $\frac{4}{3}$ - 1,333 = 1,3333..... - 1,333 = 0,00033....
Error absoluto = $\frac{8}{15}$ - 0,533 = 0,533..... - 0,533 = 0,00033....