LOS INICIOS DEL ÁLGEBRA
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.
Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Porqué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del álgebra.
Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos.
Por ejemplo la ecuación:
$$x^{2}+x+5=0$$
no posee soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de −19. Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles.
Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas, como veremos más adelante.
Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardó considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos!
Con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplia, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e imaginación donde las ecuaciones y fórmulas serán el semillero de las grandes ideas que darán impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarán libres de sus equivalentes geométricos.
La palabra álgebra se deriva del vocablo árabe al-jabr que quiere decir restaurar. ¿Qué tiene esto que ver con la matemática? Cuando se tiene una ecuación, como por ejemplo
$$2x+3=5$$
Entonces quitamos y ponemos símbolos a los lados para resolverla. Esta es la forma de operar del algebrista. Pero no solo los algebristas operan: también los doctores lo hacen. En la medicina antigua el término álgebra se usaba para designar las operaciones de los huesos. Así pues, un algebrista era un matemático o bien un doctor que colocaba los huesos partidos en su sitio. Algebra es el arte de restituir a su lugar los huesos dislocados, según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española.
Dejemos los huesos por el momento y volvamos a la médula del problema.
¿Quiénes descubrieron el álgebra? Se puede considerar al matemático árabe Al-Khwarizmi como el padre de esta disciplina. El fue el autor de un libro, llamado al-jabr, publicado en en el año 830 d.c., primer libro de álgebra, de gran influencia en toda Europa, donde se recogían todas las técnicas conocidas hasta entonces sobre la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Dichas técnicas habían sido expuestas con anterioridad, en una obra del matemático hindú Brahmagupta en el 628 d.c. Como se sabe, los matemáticos árabes se encargaron de difundir las matemáticas de los griegos, mesopotamios e hindúes en toda Europa, a través de España.
GIROLAMO CARDANO
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| Girolamo Cardano 24/Septiembre/1501 - 21/septiembre/1576 |
La vida del matemático italiano Girolamo Cardano está llena de historias, situaciones y aventuras tan interesantes que bien pueden servir de guion para una película o novela. Fue un destacado matemático, así como también médico, filósofo, astrónomo y teólogo. Su padre, Fazio Cardano, fue un abogado que trabajaba en la ciudad de Milán y se dedicaba a las matemáticas en sus horas libres. Tuvo cierta destreza en la ciencia de los números pues enseñó geometría en la Universidad de Pavia y Milán. Fazio fue asesor del célebre pintor Leonardo da Vinci en cuestiones de geometría. Cuando Cardano estaba a punto de nacer, una epidemia de peste azotó a Milín y sus padres se trasladaron a Pavia. Allí nació Girolamo el 24 de Septiembre de 1501, como hijo ilegítimo de Fazio y Chiara Micheria.
Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, en contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado. Más tarde se cambia a la Universidad de Padua, donde se gradúa de Médico. Después de recibir el título de Doctor en Medicina se dedica a ejercer su profesión, pero también al juego de cartas, dados y ajedrez. Cardano fue un jugador empedernido durante toda su vida. Su afición por el juego lo llevó a estudiar y desarrollar muchas técnicas de la teoría de las probabilidades y las aplicó en forma bastante exitosa logrando hacer una fortuna como jugador. El lado oscuro de esta realidad feliz, es que su vida fue muy atormentada por las vicisitudes del juego, que lo llevó por los senderos más bajos y ruines de la vida. En una ocasión alguien le hizo trampas y entonces sacó una navaja y le cortó la cara a su oponente.
Su fama de buen médico, por otra parte, fue creciendo como la espuma, debido a sus curaciones casi milagrosas y su profundo conocimiento en la diagnosis de las enfermedades. Sin embargo el Colegio de Médicos de Milán no quería recibirlo en su seno, debido a su carácter arisco y pendenciero y además por ser un hijo natural. Después de varios intentos de ingreso, por parte de Cardano, finalmente fue aceptado en 1537. Una vez estabilizada su posición, le quedaba tiempo libre para dedicarse seriamente a las matemáticas.
En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. Tartaglia era un matemático de reconocida fama y prestigio, entre otras cosas, por haber ganado concursos sobre la resolución de ecuaciones, usando métodos secretos. Aparte de poseer estas habilidades, Tartaglia fue un experto en el estudio de las trayectorias de los proyectiles. El descubrió que la máxima trayectoria se obtiene cuando el ángulo de disparo es igual a 45º. También se debe a Tartaglia la primera traducción de los Elementos de Euclides al italiano.
Tartaglia le enseñó a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones, no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. Tartaglia monta en cólera y acusa a Cardano de traidor y deshonesto, por haber faltado a su juramento. Sin embargo, un joven matemático de apenas 18 de edad, Lodovico Ferrari , quien a la sazón era sirviente de Cardano, sale en defensa de su protector diciendo que él estuvo presente la noche de la reunión entre los dos matemáticos y no hubo ningún juramento.
En realidad, la fórmula para resolver la ecuación cúbica, había sido descubierta mucho antes por el matemático Scipione del Ferro, quien publicó un pequeño libro, que en alguna oportunidad fue consultado por Cardano. Luego Cardano quedaba libre de toda culpa.
En su Ars Magna, Cardano reconoce a Al-Khwarizmi como el padre del álgebra. El libro, que vio a la luz varias ediciones, fue un clásico de la matemática y contribuyó de manera decisiva al desarrollo del ´algebra. En aquella obra aparecen muchos resultados originales, como el método para eliminar la $x^{2}$ en una ecuación cúbica, conocido como el método de Cardano. También desarrolló un método para resolver ecuaciones diferenciales, llamado método de las proporcionales.
Cardano hizo uso por vez primera de las raíces cuadradas de números negativos y consideró la posibilidad de usar los números imaginarios aunque con mucha cautela. En una nueva edición de su libro, en 1570, Cardano se adentra un poco más en el misterio de estos números y da algunas reglas para manipularlos. Por ejemplo, la expresión:
$$\left ( 5+\sqrt{-15} \right )\left ( 5-\sqrt{-15} \right )=25-\left ( -15 \right )=40$$
Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dio el nacimiento de los números complejos, como algo digno de ser estudiado por los matemáticos. En particular, para la ecuación
$$x^{3}=3px+2q$$
Cardano nos da la fórmula:
$$x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^{2}-p^{3}}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^{2}-p^{3}}}$$
Conocida como Fórmula de Scipione del Ferro-Tartaglia-Cardano.
RAFAEL BOMBELLI
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| Rafael Bombelli 20/enero/1526 - 1572 |
La matemática ha evolucionado en el transcurso del tiempo de la forma más inesperada. De repente alguien hace una pequeña observación sobre un detalle, inadvertido para la gran mayoría, en alguna fórmula o relación muy conocida, y esto puede tener consecuencias imprevisibles, planteando nuevas situaciones, generando un mar de preguntas sin respuestas e inclusive, abriendo nuevas áreas de estudio. Tal es el caso de las dudas de Rafael Bombelli, sobre la ecuación cúbica.
Por ejemplo, la ecuación:
$$x^{3}=6x+6$$
se resuelve usando la fórmula: $x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^{2}-p^{3}}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^{2}-p^{3}}}$
$$x=\sqrt[3]{6+\sqrt{-180}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{-180}}$$
$$x=\sqrt[3]{6+\sqrt{36\left ( -5 \right )}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{36\left ( -5 \right )}}$$
$$x=\sqrt[3]{6+6\sqrt{5}i}+\sqrt[3]{6-6\sqrt{5 }i}$$
La solución parece un poco compleja, sin embargo, se sabe por métodos de cálculo que la ecuación tiene una raíz real entre 2 y 3, la cual es, aproximadamente $x\cong 2,8473$. Nos preguntamos entonces ¿Cómo es posible que una expresión de números complejos nos dé un resultado real? ¿Quién era Bombelli? ¿Hasta cuando iría a durar la prolongada infancia de los números complejos en las manos de los algebristas italianos?
Rafael Bombelli nace en enero de 1526 en Bolonia, siendo su padre Antonio Mazzoli, un comerciante en lanas. Bombelli no recibió una educación formal como Cardano, pero desde muy joven sintió una atracción muy especial hacia las matemáticas. Recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi, un arquitecto e ingeniero. Por esta razón, Bombelli se dedica a la ingeniería, siguiendo a su maestro en las obras de ingeniería hidráulica que realizaba por toda Italia, secando pantanos y reparando puentes.
Bombelli conocía bien los trabajos sobre ecuaciones cúbicas de Cardano, pues había leído el Ars Magna. Consideraba aquel libro como el más interesante de todos los escritos sobre álgebra, hasta el momento. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podían hacer mucho más comprensibles para el gran público.
Estando en la región de Val de Chiana, haciendo un trabajo de agrimensuría, debió pasar muchos ratos de ocio, pues las obras fueron suspendidas debido a una reclamación. Para utilizar este tiempo libre, Bombelli comienza a escribir un libro de álgebra en 1557. La idea era bastante ambiciosa: publicar una obra monumental en cinco volúmenes en donde se trataran tópicos de aritmética, resolución de ecuaciones, problemas de aplicaciones y los números complejos. Lamentablemente, sólo pudo completar tres volúmenes de L’Algebra, publicados en 1572, unos meses antes de su muerte.
Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que desarrolló el algebra formal para trabajar con las expresiones de la forma $a+b\sqrt{-1}$. Hemos visto en la fórmula de del Ferro-Tartaglia-Cardano, aparecen dos sumandos del tipo
$$\sqrt[3]{q+\sqrt{q^{2}-q^{3}}}$$
la idea de Bombelli, es reducir dicho número a uno del tipo $a+b\sqrt{-1}$, para lo cual debe resolver el problema de como sumar y multiplicar dichas expresiones. El número debe ser elevado al cubo, para obtener una expresión del tipo $\sqrt[3]{c+d\sqrt{-1}}$. Usando ahora los números complejos, se pueden obtener soluciones reales de la ecuación cúbica.
En el libro L’Algebra, aparecen por vez primera el cálculo con los números negativos, así como también las reglas para sumar y multiplicar dichos números. El gran aporte de Bombelli al álgebra, fue el de aceptar sin reserva la existencia de $\sqrt{-1}$, como un número. A manera de ejemplo, Bombelli nos da las siguientes reglas:
$$\sqrt{-n}\cdot \sqrt{-n}=-n$$
$$\sqrt{-n}\cdot -\sqrt{-n}=n$$
siendo $n$ un número natural.
NÚMEROS COMPLEJOS
A pesar de los brillantes trabajos de Bombelli, sobre el empleo de los números complejos en la resolución de la cúbica, los matemáticos de entonces se negaban a aceptarlos. Ellos eran considerados aún como fantasmas de otro mundo, por carecer de representación real, y fueron llamados números imposibles o Imaginarios. Durante el siglo XVII, debido quizás a la aparición del cálculo infinitesimal y la geometría analítica, los números complejos fueron relegados al olvido por los matemáticos. Algunos genios como Newton, Leibniz y Descartes nunca los comprendieron.
En 1673 el matemático inglés J. Wallis dio la primera interpretación geométrica de los complejos. Su modelo sigue los siguientes pasos:
1) En la ecuación cuadrática
$$x^{2}+2bx+c^{2}=0$$
las raíces son
$$x=-b\pm \sqrt{b^{2}-c^{2}}$$
2) Si $b\geq c$, las raíces son reales y pueden ser representadas por un par de puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ sobre los números reales, de acuerdo a la construcción siguiente:
3) Si $b<c$, entonces las soluciones son números complejos. ¿Cómo razonaba Wallis en este caso? Pues bien, siguiendo el mismo plan, los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ se hallan en el extremo de el segmento b, y como éste es más corto que c, los extremos no pueden tocar la recta real. Por lo tanto se ha llegado a una gran idea: los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ están por encima de la recta real.
Como vemos, la representación de Wallis no es igual a la representación moderna, pero fue una buena aproximación, sin duda alguna. La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo $z = a + bi$ en el Plano Cartesiano, fue descubierta por dos matemáticos aficionados, en forma independiente: el danés C. Wessel y posteriormente el suizo J. Argand, en una obra publicada en 1806. A partir de entonces dicha representación se conoce con el nombre de Diagrama de Argand.
Con esta representación a la mano, los números complejos dejaron de ser algo misterioso e imposible, pero por razones de tipo histórico, se les sigue llamando imaginarios. En 1831 el matemático alemán Carl F. Gauss publica un trabajo en donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma $a + bi$, llamados ahora Números de Gauss, y la representación geométrica de los mismos. Gracias a la autoridad indiscutible de Gauss, entraron por la puerta grande del templo de las matemáticas y ya nadie los podrá sacar del lugar preponderante que ocupan dentro del álgebra. Desde ese momento se inicia un desarrollo sostenido de la teoría de las funciones complejas, de la mano de grandes matemáticos como Hamilton y Cayley, quienes crearon los sistemas hipercomplejos, Cauchy, quien sienta las bases del cálculo diferencial e integral de las funciones complejas y finalmente el matemático alemán B. Riemann, quien demostró todo el poder que encierran los números complejos en el estudio de la geometría y amplió los horizontes de la matemática, creando una nueva ciencia llamada la topología.
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