La Adición es la más sencilla de las cuatro reglas u operaciones elementales con los números.
Sabemos ya que Conjuntos Disjuntos son los conjuntos que no tienen elementos comunes, o que su intersección es un conjunto vacío.
Así por ejemplo:
M={a, b, c, d} y N={p, q}
Son conjuntos disjuntos porque: $M\cap N=\varnothing$
Ahora efectuamos la operación Reunión de estos conjuntos disjuntos, así:
$$M\cup N=\left \{ a,b,c,d,p,q \right \}$$
En el conjunto "M" su cardinal es igual a 4, en el conjunto "N“ su cardinal es igual a 2 y el cardinal del conjunto $M\cup N$ es igual a 6, al cardinal 6 se llama SUMA y los cardinales 4 y 2 se les llama SUMANDOS de modo que podemos escribirlo así:
La Adición : Es la operación por la cual a cada par ordenado de cardinales de dos conjuntos disjuntos se le asigna o se le hace corresponder el cardinal de su reunión.
Importante:
La adición es una operación interna en IN (conjunto de Números Naturales), porque dos números cualesquiera siempre se puede sumar.
Ejemplo: 5 + 3 = 8 (8 Es natural)
Nota: No hay que confundir Unión de Conjuntos con Adición de números, los conjuntos se reúnen no se suman; solamente pueden sumarse los números naturales así:
Es Incorrecto decir: Sumar 3 duraznos y 5 manzanas.
Observaciones:
- Los Cardinales o Números que se adicionan se llaman SUMANDOS y el resultado de la Adición es un número llamado SUMA.
- Nótese que la suma es un número, mientras la Adición es una operación.
EJERCICIO DE COMPRENSIÓN
Nombrar los conjuntos y los números que Intervienen en el siguiente problema: Dos equipos rivales Técnico Universitario (A) y Macará (B), se enfrentan en un partido de fútbol. Los hinchas de Técnico Universitario que se encuentran en el estadio son 5000 y los del Macará son 4500.
¿Cuántos hinchas de estos equipos hay en el estadio?
Resolución:
a) Los conjuntos son:
A = {hinchas de Técnico Universitario}
B = {hinchas de Macará}
$A\cup B$ = {hinchas de estos dos equipos que se encuentran en el estadio}
b) Los cardinales son:
Card. ( A ) = n ( A ) = 5000
Card. ( B ) = n ( B ) = 4500
Card $(A\cup B)$ = n $(A\cup B)$ = 5000 + 4500 = 9500
TABLAS DE ADICIÓN
En el siguiente cuadro o tabla de doble entrada podemos hallar la suma de algunos pares de números:
EL MANEJO DE LA TABLA ES FÁCIL.
Ejemplo:
Si se quieres sumar 3 + 5, busca dichos Sumandos: uno en la línea de las Filas; y el otro en la de las Columnas. Se sigue la Fila de uno y la Columna de otro y, donde se encuentran, está la suma. De la tabla podemos observar que al par (3,5) le corresponde el número 8, es decir: 3 + 5 = 8.
Al par ( 6 , 7 ) le corresponde el número 13, es decir: 6 + 7 = 13
Al par ( 8 , 9 ) le corresponde el número 17, es decir: 8 + 9 = 17
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Has realizado la adición de números naturales uniendo conjuntos. Así pues, las propiedades de la unión de conjuntos serán también las propiedades de la adición.
PROPIEDAD CONMUTATIVA:
Sea los conjuntos:
A = {Domingo , Lunes , Martes , Miércoles} Card (A) = n (A) = 4
B = {Jueves , Viernes , Sábado} Card (B) = n (B) = 3
Luego:
$A\cup B$ = {Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado}
$A\cup B$ = {días de la semana}
Esto quiere decir que tiene los mismos elementos que $A\cup B$
De donde: $A\cup B$ = $B\cup A$
o También:
Es decir: La suma no se altera cuando se cambia el orden de los sumandos. La adición tiene la propiedad conmutativa.
a + b =b + a
PROPIEDAD ASOCIATIVA:
Veamos la Unión Adición de tres conjuntos:
Recuerda que: n (A): Se lee: "número de elementos del conjunto A"
Podemos efectuar la Unión o Reunión de tres maneras:
Los tres conjuntos a la vez.
Card $\left ( A\cup B \right )\cup C$ = 15
Efectuando primero la unión de A y B, formamos el conjunto A u B y después unimos este con el con junto C, obteniendo:
$\left ( A\cup B \right )\cup C$ = 15
Efectuando primero la unión de B y C, formamos el conjunto B u C y después, unimos éste con el con junto A, obteniendo:
Card $\left ( A\cup B \right )\cup C$ = 15
Se comprueba que:
$\left ( A\cup B \right )\cup C=\left ( B\cup C \right )\cup A=15$ ó $\left ( A\cup B \right )\cup C=A\cup\left ( B\cup C \right )=15$
Es decir, la Adición es Asociativa y se enuncia así:
En la Adición de números naturales la suma total no se altera si se reemplazan ose asocian varios de los sumandos por sus sumas efectuadas o sea:
(a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
Efectuar: 6 + 8 + 5
Usando paréntesis para Agrupar o Asociar los Sumandos, tenemos que:
(6 + 8) + 5 = 6 + (8 + 5)
14 + 5 = 6 + 13
19 = 19
PROPIEDAD DE IDENTIDAD ADITIVA O ELEMENTO NEUTRO
El empleo del Cero como sumando es una propiedad especial, teniendo en cuenta que Cero sí es un numero Natural.
Sabemos que 0 es la propiedad numérica del conjunto vacío $\left ( \varnothing \right ) $ y como la unión de un conjunto cualquiera A con $\varnothing $ es igual al mismo conjunto A.
Donde: n (A) + n $\left ( \varnothing \right ) $ = n ( A)
Es decir: a + 0 = a
Cero es elemento neutro, que enunciamos así:
La Adición de un Número cualquiera "a" con Cero da el mismo Número "a". Al Cero se llama Neutro o Elemento Identidad de la Adición.
PROPIEDAD DE CLAUSURA:
Si "a "y "b" son dos números naturales cualesquiera su Suma es también otro número natural.
Ejemplo:
6 + 9 = 15 ; 6 $\in $ N; 9 $\in $ IN ; Entonces: 15 $\in $ IN
32 + 17 = 49 ; 32 $\in $ N; 17 $\in $ IN ; Entonces: 49 $\in $ IN
PROPIEDAD DE MONOTOMÍA:
Si a los dos miembros de una igualdad de números naturales le sumamos un mismo número natural se obtiene otra igualdad.
a + b = c; Entonces; a + b + d = c + d
Ejemplo:
Sí: 7 + 4 = 11 Entonces: (7 + 4 )+ 5 = 11 + 5 $\rightarrow $ 16 = 16
PROPIEDAD DE CANCELACIÓN:
Si a los miembros de una igualdad de números naturales se le suprime un mismo número, la igualdad no varía.
Ejemplo:
Sí:
TÉCNICAS OPERATIVAS DE LA ADICIÓN
Son las formas de como hallar la suma de dos o más números naturales.
- Por Descomposición Según el Valor de Posición (Descomposición Polinómica).
Ejemplo:
Efectuar : 435 + 257
Descomponiendo obtenemos:
Efectuar. 1265 + 483
Descomponiendo obtenemos:
- Por Adición Directa según el valor de Posición:
Ejemplo.
Efectuar: 3475 + 832 + 2386 +167 + 25 Disposición:
- Formando Grupos de Sumandos en base a la Propiedad Asociativa, sumando luego los resultados parciales.
Ejemplos : Efectuar: 2 347 + 524 + 1 473 + 278 + 36 Disposición:
Tomando los dos primeros sumandos:
Tomamos los tres últimos sumandos:
Luego sumamos los dos resultados parciales hallados así:
SUMA DE NUMEROS EN BASE 2.
Tabla de Sumar. Teniendo en cuenta que en el sistema binario los números de una cifra son 0 y 1, la tabla de sumar correspondiente a ellos es la siguiente:
Donde el número $10_{2}$ (que es el número 2 en numeración decimal) es la suma 1 + 1 de los números que encabezan la fila y columna a las que aquél pertenece.
Procedimiento Práctico: Análogamente a como se procede en la suma de dos números en base 10, cuando se trata de sumar dos o más números de varias cifras en numeración binaria, es cómodo disponerlos uno debajo de otro.
Cuando en una columna el resultado supera a 1, hay que llevar la cifra correspondiente a la columna de la izquierda, como se hace en la numeración decimal.
Ejemplo: Para sumar: $101_{2}$ + $112_{2}$; se dispone así:
En la columna de la derecha, como 1 + 1 es igual a $10_{2}$, se escribe la cifra 0 y se suma una unidad a la segunda columna; entonces, como en esta segunda columna queda 1 + 1 igual a $10_{2}$, se escribe la cifra 0 y se lleva una unidad; en la tercera columna 1 que se lleva más 1 es igual a $10_{2}$. En definitiva, el resultado de esta suma es: $1000_{2}$.
Verificación: Se puede verificar el resultado efectuando la operación con numeración decimal.
Así; el número $101_{2}$ expresado en el sistema de numeración decimal es el número $5\left ( 101_{2} =1\times 2^{2}+0\times 2+1=5\right )$, el número $112_{2}$ expresado en el sistema de numeración decimal es el número $3\left ( 11_{2}=1\times 2+1=3 \right )$; la suma 5 + 3 = 8 y el resultado $1000_{2}$ de la suma en numeración binaria, expresado en numeración decimal es el número 8 $\left ( 1000_{2}=1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+0\times 2+0=8 \right )$
Prácticamente, se dispone así:
TABLA DE SUMAR EN EL SISTEMA BINARIO CON NÚMEROS DE MÁS DE UNA CIFRA
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