En cada pueblo y en cada época los números naturales se nombraron de muy distintas maneras y se representaron con diferentes símbolos.
En un principio, cuando el hombre necesitaba contar pocos objetos podía representar cada número con un símbolo distinto.
Pero a medida que se fueron multiplicando los objetos que lo rodeaban tuvo que ingeniarse para agrupar los elementos y poder contar en forma más simple.
Algunos formaron grupos de diez elementos otros formaron grupos de cinco y cada uno de esos grupos constituía una unidad de orden superior.
Por otra parte aprendieron a combinar símbolos para formar otros números.
SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN:
El sistema de numeración que utilizamos actualmente usa diez símbolos.
0,1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8,9 (Que se llaman cifras).
Estos números formados por una sola cifra se llaman dígitos.
Combinándolos de acuerdo con ciertas reglas se pueden representar todos los números naturales.
El conjunto de símbolos y de reglas constituyen el sistema de numeración.
El sistema de numeración decimal usa diez símbolos y agrupa las unidades de diez en diez.
Por esa razón se llama Sistema Decimal ó Sistema de base diez.
En el Sistema Decimal
Cada símbolo tiene un valor relativo que depende del lugar que ocupa.
En consecuencia, el Sistema decimal de numeración es un sistema posicional.
En los sistemas posicionales se usa el cero que se escribe en el lugar correspondiente cuando no figuran unidades de un determinado orden.
En el Sistema Romano
El Sistema Romano de numeración no es posicional. Por eso no usa el cero.
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO:
El valor relativo de cada unidad se obtiene multiplicando por 10 el valor de la unidad anterior.
De esta manera puede descomponerse un número en las unidades de los distintos órdenes.
Otros ejemplos:
a) 58 475 = 5x10000 + 8x1000 + 4x100 + 7x10 + 5
b) 632 593 = 6x100000 + 3x10000 + 2x1000 + 5x100 + 9x10 + 3
c) 752 = 7x100 + 5x10 + 2
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA:
Teniendo en cuenta que:
$$10^{1}=10$$
$$10^{2}=100$$
$$10^{3}=1000$$
$$10^{4}=10000$$
$$10^{5}=100000$$
$$10^{6}=1000000$$
$7 529 = 7\times 10^{3}+5\times 10^{2}+2\times 10+9$
$376 482 = 3\times 10^{5}+7\times 10^{4}+6\times 10^{3}+4\times 10^{2}+8\times 10+2$
Esta forma se llama descomposición polinómica de un número.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN OTRAS BASES
Ya has visto que la forma de agrupar los elementos es de fundamental importancia en un sistema de numeración.
En el sistema de base 10 se usan diez símbolos y se agrupan los elementos de 10 en 10.
Pero si agrupamos de 8 en 8 tendremos un sistema de base 8 que sólo necesita 8 símbolos: 0 ,1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7.
Nota: A pesar de que tenemos siempre el mismo conjunto, su numeral depende de la forma de agrupación.
En consecuencia:
$$22_{(10)}=26_{(8)}=34_{(6)}=42_{(5)}=112_{(4)}=211_{(3)}$$
Observa como se descomponen los números en la suma de valores relativos según las distintas bases.
$$22_{(10)}=2\times 10+2=22$$
$$26_{(8)}=2\times 8+6=16+6=22$$
$$34_{(6)}=3\times 6+4=18+4=22$$
$$42_{(5)}=4\times 5+2=20+2=22$$
$$112_{(4)}=1\times 4^{2}+1\times 4^{1}+2=16+4+2=22$$
$$211_{(3)}=2\times 3^{2}+1\times 3^{1}+1=18+3+1=22$$
De esta manera se puede pasar de un numeral en cualquier base al numeral correspondiente en base 10 (sistema decimal).
Aclaración:No es correcto escribir:
$111_{(2)}$ porque el símbolo 2 no existe en este sistema.
$201_{(3)}$ porque el símbolo 3 no existe en este sistema.Debe escribirse:
$111_{(dos)}$
$201_{(tres)}$Sin embargo en la práctica suelen usarse estos símbolos, que corresponden al sistema decimal, para escribir las bases.
SISTEMA BINARIO DE NUMERACIÓN:
En el sistema binario se usan dos símbolos 0 y 1.
Los elementos se agrupan de dos en dos; dos unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.
Supongamos un conjunto de 13 elementos.
El numeral 13 escrito en base dos es :1101
Prácticamente se obtienen realizando las sucesivas divisiones por 2.
veamos:
$1101_{(2)}=1\times 2\times 2\times 2+1\times 2\times 2+0\times 2+1$
$1101_{(2)}=1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+1$ (Descomposición Polinómica)
$1101_{(2)}=1\times 8+1\times 4+1=8+4+1=13_{(10)}$
Consideremos ahora un conjunto de 19 elementos.
El numeral 19 escrito en base 2 es: 10011
$10011_{(2)}=1\times 2\times 2\times 2\times 2+0\times 2\times 2\times 2+0\times 2\times 2+1\times 2+1$
$10011_{(2)}=1\times 2^{4}+0\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^{1}+1$ (Descomposición Polinómica)
$10011_{(2)}=1\times 16+0\times 8+0\times 4+1\times 2+1=19_{(10)}$
SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANA
La numeración romana es el sistema que usaban los romanos, actualmente se emplea en fechas, capítulos, etc.
El sistema de numeración romana expresa los números por medio de siete letras del alfabeto latino, que son: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 y M = 1.000.
Estos valores quedan multiplicados por mil al superponer una raya sobre la correspondiente letra, y por un millón, si se colocan dos rayas.
$\overline{M}=1000000$
Las letras V, L y D no pueden duplicarse, porque el doble de éstas son: X, C y M.
Si se coloca una cifra a la derecha de otra siendo su valor menor o igual que ésta sus valores se suman.
VII = 5 + 2 = 7 XX = 10 + 10 = 20 CLXVIII = 100 + 60 + 8 = 168
Si se coloca una cifra menor a la izquierda de otra, los valores de ambas se restan.
Solamente pueden restarse los tres símbolos siguientes: I , X y C
- I se resta solamente de los dos que le siguen; V y X:
- X se resta solamente de los dos que le siguen; L y C
X L = 50 - 10 = 40 ; XC = 100 - 10 = 90
- C se resta solamente de los dos que le siguen, D y M
CD = 500 - 100 = 400 ; CM = 1000 - 100 = 900
Los símbolos I, X, C y M no pueden repetirse más de tres veces seguida: compara:
Para números mayores que MMM se coloca una raya horizontal sobre el numeral.
Cada raya equivale a multiplicar por mil (agregar tres ceros).
FORMA PRÁCTICA DE ESCRIBIR UN NUMERAL ROMANO
Leer el número dado, descompuesto en las unidades de los distintos órdenes.
Ejemplos:
$$4672=\overline{IV}DCLXXII$$
Al leer mil se escribe una raya.
Al leer millón se escribe dos rayas.
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