En todo polígono hay por lo menos tres ángulos. esto justifica el nombre de polígono, pues etimológicamente la palabra está formada así:
poli = muchos; gonos = ángulo, es decir muchos ángulos
Son polígonos los que aparecen dibujados a continuación.
En los polígonos anteriores se observa que el 5 y 6 tienen una característica que los diferencia de los polígonos 1 al 4. Por esta razón, los polígonos se clasifican en dos clases: Convexos y cóncavos.
Los polígonos del 1 al 4 son Convexos y el 5 y 6 son Cóncavos.
DEFINICIÓN.
Dados en un plano tres o más puntos en un cierto orden, por ejemplo A, B, C, D, E, tales que tres consecutivos no estén alineados y que la recta determinada por dos consecutivos cualesquiera deje a los d e más en un mismo semiplano con respecto a ella, se llama polígono convexo ABCDE a la intersección de los ángulos $\widehat{ABC},\widehat{BCD},\widehat{CDE},\widehat{DEA}\, y\, \widehat{EAB}$
NOTACIÓN.
El polígono se designa por los puntos que lo determinan. Así:
El polígono determinado por los puntos M, N, P, Q, R, S se lee polígono M N P Q R S.
Cuando se trata de un polígono de un número n de lados se indica: políg. A B C D . . . M N.
Simbólicamente, de acuerdo con la definición:
$políg. ABCDE = \widehat{ABC}\cap \widehat{BCD}\cap \widehat{CDE}\cap \widehat{DEA}\cap \widehat{EAB}$
VÉRTICES. Los puntos que determinan el polígono, se llaman vértices.
Así, en el polígono ABCDE son vértices los puntos A, B, C, D y E.
LADOS. Los segmentos determinados por cada par de vértices consecutivos se llaman lado
Así, en el polígono ABCDE los lados son los segmentos $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE}\, y\, \overline{EA}$.
DIAGONALES. Los segmentos determinados por cada par de vértices no consecutivos se llaman diagonales.
Así, en el polígono ABCDE las diagonales son los segmentos $\overline{AC},\overline{AD},\overline{BD},\overline{BE}\, y\, \overline{CE}$.
ÁNGULOS INTERIORES. Cada uno de los ángulos que permiten definir el polígono como intersección de ellos se llama ángulo interior del mismo.
En la figura se destacan con 1, 2, 3, etc., arcos los ángulos interiores del polígono, que se leen directamente por la letra del vértice.
Así, en el polígono ABCDE los ángulos interiores son: $\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C},\widehat{D}\, y\, \widehat{E}$.
ÁNGULOS EXTERIORES. Los ángulos adyacentes cada uno de los ángulos interiores del polígono se llaman ángulos exteriores.
Así, en el polígono ABCDE los ángulos exteriores son: $\widehat{\alpha },\widehat{\beta },\widehat{\gamma },\widehat{\delta }\, y\, \widehat{\epsilon }$.
CONTORNO. La quebrada constituida por todos los lados del polígono se llama contorno del mismo.
Si se excluye el contorno, el polígono se dice polígono abierto.
Para nombrar un polígono, las letras de los vértices pueden leerse a partir de cualquiera de ellos y en uno de los dos sentidos en que se puede recorrer su contorno.
Así, el polígono ABCDE puede leerse: políg. BCDEA; políg. CDEAB; políg. DEABC; políg. EDCBA; políg. CBAED; etc.
NOMBRE QUE RECIBEN SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS
Los polígonos convexos reciben distintos nombres según el número de lados.
Así, al polígono de 3 lados se lo llama triángulo; al de 4 lados, cuadrilátero; al de 5 lados, pentágono; al de 6 lados, hexágono; al de 7 lados, heptágono; al de 8 lados, octógono; al de 9 lados, eneágono; al de 10 lados, decágono; al de 11 lados, undecágono y al de 12 lados, dodecágono.
Cuando el polígono tiene un número n de lados, mayor que 12, se llama polígono de n lados. Así, se dice polígono de 18 lados, de 23 lados, etc.
POLÍGONO REGULAR
Un polígono convexo se dice regular cuando tiene todos sus lados y sus ángulos respectivamente iguales.
Así son polígonos regulares los que aparecen dibujados a continuación.
POLÍGONO CÓNCAVO
Si un lado (o más) del polígono es tal que la recta a la que pertenece deja algunos de los demás vértices en distintos semiplanos respecto de esa recta, el polígono se dice cóncavo. Así, por ejemplo', son cóncavos los dos polígonos que figuran a continuación:
En general, cuando se dice polígono, se hace referencia a un polígono convexo.
SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO
Para determinar a qué es igual la suma de los ángulos interiores de un polígono de cualquier número de lados.
Para ello se observa que si en un pentágono se trazan todas las diagonales que tienen por extremo uno de los vértices, por ejemplo el de la figura, el pentágono queda dividido en tres triángulos.
Se observa que la suma de los ángulos interiores del pentágono es igual a la suma de los ángulos interiores de estos tres triángulos. Como la suma de los ángulos de cada triángulo es igual a 2 rectos, para obtener la suma de los ángulos interiores del pentágono hay que multiplicar 2 rectos por el número 3 de triángulos que quedan determinados. Es decir:
Suma áng. int. pentágono = 2 rectos x 3
Si se procede en igual forma con un hexágono, éste queda dividido en 4 triángulos
La suma de sus ángulos interiores es igual a 2 rectos por el número 4 de triángulos que quedan determinados. Luego:
Suma áng. int. hexágono = 2 rectos x 4
Si se hace lo mismo con un heptágono, éste queda dividido en 5 triángulos.
En consecuencia, la sum a de los ángulos interiores de un heptágono es igual a 2 rectos por el número 5 de triángulos que quedan determinados, es decir:
Suma áng. int. heptágono = 2 rectos x 5
En cada caso se observa el número por el cual hay que multiplicar 2 rectos es igual al número de lados del polígono distribuido en 2.
en efecto:
En general, si se trata de n lados, el polígono queda dividido en n - 2 triángulos, y por lo tanto:
Esta conclusión se enuncia en el siguiente:
TEOREMA. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 2 rectos por el número de lados menos dos.
Ejemplo:
Calcular la suma de los ángulos interiores de un octógono. Como en este caso n = 8, se tiene:
Suma áng. int. octógono = 2 rectos (8 - 2) = 2 rectos x 6 = 12 rectos.
Como 1 recto = 90°, es:
suma de ángulos interiores del octógono = 12 x 90° = 1 080°
SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN POLÍGONO
En el cuadrilátero ABCD de la figura, los ángulos exteriores: $\widehat{\alpha },\widehat{\beta },\widehat{\gamma },\widehat{\delta }$, son, respectivamente, de:
$$\widehat{\alpha }=84^{0}$$
$$\widehat{\beta }=101^{0}$$
$$\widehat{\gamma }=112^{0}$$
$$\widehat{\delta }=63^{0}$$
Obsérvese que la suma: $\widehat{\alpha }+\widehat{\beta }+\widehat{\gamma }+\widehat{\delta }$ es igual a 360°, o sea 4 rectos.
En el pentágono ABCDE,
los ángulos exteriores $\widehat{\alpha },\widehat{\beta },\widehat{\gamma },\widehat{\delta },\widehat{\epsilon }$, son, respectivamente de:
$$\widehat{\alpha }=71^{0}$$
$$\widehat{\beta }=98^{0}$$
$$\widehat{\gamma }=44^{0}$$
$$\widehat{\delta }=65^{0}$$
$$\widehat{\epsilon }=82^{0}$$
También en este caso se observa que la suma de los ángulos exteriores:
$\widehat{\alpha }+\widehat{\beta }+\widehat{\gamma }+\widehat{\delta }+\widehat{\epsilon }$ =360º, o sea 4 rectos.
Igual verificación puede hacerse en un polígono de cualquier número de lados, es decir, en todos los casos la suma de los ángulos exteriores del polígono es igual a 4 rectos.
Esta propiedad se demuestra en el siguiente:
TEOREMA: En todo polígono la suma de los ángulos exteriores es igual a 4 rectos.
H) Polig. A B C D . . . N.
T) Sum a de los ángulos exteriores = 4 rectos.
DEMOSTRACIÓN: En cada vértice, el ángulo exterior y el interior correspondiente son adyacentes; luego, la suma de ambos es igual a 2 rectos.
Por lo tanto, como el polígono tiene n vértices, la su m a de todos los ángulos interiores m á s la su m a de todos los ángulos exteriores, es igual a n veces 2 rectos. Es decir, en todo polígono de n lados:
pero, por el teorema anterior:
suma áng. int. = 2 rectos (n - 2) (2)
Restando m . a m . de la igualdad (1), la igualdad (2):
Sum a áng. ext. + suma áng. int. — suma áng. int. = 2r n — 2r (n — 2)
Reduciendo en el primer miembro la suma de ángulos interiores que aparece con signo , m á s y con signo m e n os y efectuando en el segundo miembro la multiplicación indicada por el paréntesis, se tiene:
Suma áng. ext. = 2r n — 2r n + 4 r.
Reduciendo en el 2º miembro 2r n, que figura con signo más y con signo- menos, resulta:
o sea:
Suma de los ángulos exteriores = 4 rectos
que es lo que se quería demostrar.
OBSERVACIÓN
Es conveniente observar que la suma de los ángulos interiores de un polígono depende del número de lados del mismo, mientras que la suma de los ángulos exteriores tiene siempre el mismo valor, 4 rectos, para cualquier polígono.
RELACIÓN ENTRE UN LADO DE UN POLÍGONO Y LA SUMA DE LOS DEMÁS
Para el caso particular en que el polígono es un triángulo, se ha demostrado que un lado del triángulo es menor que la suma de los otros dos.
Esta propiedad es válida para un polígono de un número cualquiera de lados, y se enuncia en el siguiente
TEOREMA: En todo polígono, un lado es menor que la suma de los demás.
Simbólicamente, en el polígono A B C D . . . MN, se verifica:
En particular, en el pentágono ABCDE es:
IGUALDAD DE POLÍGONOS
DEFINICIÓN. Se dice que un polígono es igual a otro cuando tiene todos sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados y ángulos del otro.
Simbólicamente
NOTA: Obsérvese que en la misma definición está incluido que: dos polígonos para ser iguales, deben tener Igual número de lados.
CARACTERES DE LA IGUALDAD DE POLÍGONOS. La igualdad de polígonos goza, como toda relación de equivalencia, de los tres caracteres funda mentales: idéntico o reflejo; recíproco o simétrico, y transitivo.
Así como para verificar que dos triángulos son iguales no es necesario comprobar la igualdad de todos sus elementos, sino de algunos de ellos, según lo establecen los criterios de igualdad de triángulos, así también para los polígonos de cualquier número de lados no es necesario comprobar la igualdad de todos sus elementos para asegurar que los polígonos son ¡guales, pues basta que se cumpla la igualdad de algunos de ellos para que, como consecuencia, los demás también resulten iguales.
El conjunto de elementos de dos polígonos de igual número de lados que deben ser iguales para que los dos polígonos también lo sean, constituye el criterio de igualdad de polígonos.
La siguiente construcción conduce al enunciado de dicho criterio.
Dado el polígono ABCDE construir otro polígono igual a él.
Un procedimiento a seguir es el siguiente:
1) Se construye el ángulo $\widehat{A'}=\widehat{A}$; sobre cada uno de los lados de este ángulo se determina, respectivamente, $\overline{A'B'}=\overline{AB}\, y\, \overline{A'E'}=\overline{AE}$. Así se obtienen tres vértices: A', B', E' del nuevo polígono.
2) Con vértice B', lado $\overline{B'A'}$, y en el semiplano respecto de este lado que contiene a E' se construye el $\widehat{B'}=\widehat{B}$, y sobre el segundo lado de este ángulo se determina $\overline{B'C'}=\overline{BC}$. Se obtiene entonces un cuarto vértice C' del nuevo polígono.
3) Con vértice C', lado $\overline{C'B'}$, y en el semiplano respecto de $\overline{C'B'}$ que contiene a E' se construye el $\widehat{C'}=\widehat{C}$, y sobre el segundo lado de este ángulo se determina $\overline{C'D'}=\overline{CD}$. Se obtiene así el quinto y último vértice D' del nuevo polígono.
4) Determinados los cinco vértices del nuevo pentágono, al unir D' con E' se obtiene el nuevo polígono igual al dado.
De acuerdo con la construcción, para que el nuevo pentágono resultara igual al dado, bastó determinar 4 lados y los 3 ángulos comprendidos entre esos 4 lados, respectivamente ¡guales.
Análogamente, si se quiere construir un hexágono igual a otro dado, como en este caso el polígono tiene 6 lados bastará con determinar 5 lados y los 4 ángulos comprendidos entre esos 5 lados, respectivamente iguales.
Esta observación se generaliza en el siguiente criterio de igualdad de polígonos:
Si dos polígonos de n lados tienen (n — 1) lados consecutivos y los (n — 2) ángulos comprendidos por cada dos de esos lados, respectivamente iguales, son iguales.
CUADRILÁTEROS
DEFINICIÓN. Todo polígono de 4 lados se llama cuadriláteros.
Así, son cuadriláteros los que aparecen dibujados a continuación:
PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS DEDUCIDAS DE LAS DE LOS POLÍGONOS EN GENERAL
De acuerdo con la definición, los cuadriláteros son un caso particular de polígonos en que el número de lados es 4. Por lo tanto, teniendo en cuenta las propiedades estudiadas para los polígonos en general, se deducen las correspondientes para los cuadriláteros.
1) Dado que la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 2 rectos por el número de lados menos 2, como en el caso de los cuadriláteros n = 4, se tiene:
$$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=2\, rectos\, \left ( 4-2 \right )$$
o sea:
$$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=2\, rectos\, \times 2$$
es decir:
$$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=4\, rectos$$
Luego:
En todo cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es igual a 4 rectos.
Como todo en un polígono convexo, la suma de los ángulos exteriores es igual a cuatro rectos.
Es decir, que los cuadriláteros son los únicos polígonos para los cuales la suma de los ángulos exteriores es igual a la suma de los ángulos interiores.
2) Como en todo polígono un lado es menor que la suma de los demás, se tiene que:
En todo cuadrilátero un lado es menor que la suma de los otros tres.
3) Como se sabe, dos polígonos son iguales cuando tienen (n - 1) lados consecutivos iguales y los dos (n - 2) ángulos comprendidos iguales.
Luego:
Dos cuadriláteros son iguales cuando tienen tres lados y los dos ángulos comprendidos respectivamente iguales:
Además de estas propiedades generales, los cuadriláteros tienen una propiedad característica de sus diagonales.
$$\overline{AC}\cap \overline{BD}=0$$
O int. ABCD
$$\overline{MP}\cap \overline{NQ}=0$$
O int. MNPQ
$$\overline{RT}\cap \overline{SV}=0$$
O int. RSTV
Si se consideran los cuadriláteros de la figura anterior, se observa que al trazar en cada uno de ellos las diagonales, se cortan en un punto interior.
Esta observación es general y se enuncia en el siguiente:
TEOREMA: En todo cuadrilátero, las diagonales se cortan en un punto interior.
H) Cuadrilátero ABCD, $\overline{AC}\, y\, \overline{BD}$ diagonales.
T) $\overline{AC}\cap \overline{BD}$ =0/0 es un punto interior de ABCD
DEMOSTRACIÓN: La diagonal $\overline{AC}$ es un segmento que tiene sus extremos A y C sobre los lados del ángulo $\widehat{B}$. Como D es un punto interior al $\widehat{B}$, la $\overline{BD}$ es una semirrecta interior a ese mismo ángulo; luego, corta al segmento $\overline{AC}$ en un punto O, por el postulado que dice: si un segmento tiene sus extremos sobre los lados de un ángulo, es cortado en un punto interior por toda semirrecta interior al mismo.
Como el punto O es interior a la diagonal $\overline{AC}$, es interior al cuadrilátero; pero para que este punto O pertenezca a la $\overline{BD}$ y sea interior al cuadrilátero debe pertenecer a la diagonal $\overline{BD}$; por consiguiente el punto O es el punto interior en que se cortan las dos diagonales.
Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos paralelos, se llama paralelogramo; en caso contrario, se llama no paralelogramo.
Es decir, en el conjunto de los cuadriláteros se hace una partición en: paralelogramos y no paralelogramos.
Gráficamente
Cuadriláteros = {no paralelogramos ; paralelogramos }
o sea: paralelogramos $\cup $ no paralelogramos = cuadriláteros
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