OPERACIONES ENTRE MATRICES

 SUMA Y RESTA DE MATRICES

La suma, resta no esta definida para matrices de diferentes tamaños. 

Dos matrices del mismo orden se llaman conformes respecto de la suma algebraica. dos matrices de distinto orden no se pueden ni sumar ni restar. 

Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. 

Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño.

Ejemplo:

 

PROPIEDADES.

a) Conmutativa: A + B = B + A 

b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C 

c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente. 

d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

Por ejemplo: 

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.

PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL

Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño.

Por ejemplo.

k.A

PROPIEDADES. 

a) Distributiva respecto de la suma de matrices: 

k·(A + B) = k·A + k·B. 

b) Distributiva respecto de la suma de números: 

(k + d)·A= k·A + d·A. 

c) Asociativa: 

k·(d·A)=(k·d)·A 

d) Elemento neutro, el número 1: 

1·A=A

PRODUCTO DE DOS MATRICES 

No todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando cumplen:

1) Para dos matrices A y B, en este orden, A·B, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

Una matriz A de 2x3 y otro matriz B de 3x2 al realizar  la operación A.B se obtiene una matriz de 2x2.

2) Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente.

3) La multiplicación matricial NO ES CONMUTATIVA. A x B ≠ B x A

Para encontrar el elemento en el renglón i y en la columna j de AB, se multiplican entre sí los elementos correspondientes del renglón i de la matriz A y la columna j de la matriz B y luego se suman los productos resultantes.

Ejemplo

sea las matrices A y B realizar A.B

La matriz A tiene tamaño 2x3 (mxn) y la matriz B tiene tamaño 3x3 (nxp). el número de columnas de A es igual al número de filas de B (n=3), de modo que el producto A.B está definido y será una matriz de tamaño 2x3 (mxp).

PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS MATRICES.

Todos los productos y las sumas están definidos por las matrices indicadas A, B, C, I, O. Entonces:

PROPIEDAD DE LA SUMA

• Asociativa:                             (A+B)+C=A+(B+C)
• Conmutativa:                          A+B=B+A
• Identidad Aditiva:                    A+0=0+A=0
• Inverso aditivo:                       A+(-A)=(-A)+A=0 

PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN

• Propiedad Asociativa:               A(BC)=(AB)C
• Identidad Multiplicativa:            AI=IA=A
• Inversa Multiplicativa:
  

PROPIEDADES COMBINADAS

• Distributiva por la Izquierda:      A(B+C)=AB+AC
• Distributiva por la Derecha:        (B+C)A=BA+CA

IGUALDAD

• Suma:                                       Si A=B, entonces A+C=B+C 
• Multiplicación por la Izquierda:     Si A=B, entonces CA=CB
• Multiplicación por la Derecha:       Si A=B, entonces AC=BC