UNA LINEA RECTA. Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.
Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA:
a) PUNTO-PENDIENTE. La ecuación de la recta pasa por el punto
y cuya pendiente sea m es
b) PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN. La ecuación de la recta de la pendiente m y que corta al eje y en el punto (0,b). Siendo b la ordenada en el origen, es.
c) CARTESIANA. La ecuación de la recta que pasa por los puntos
es.
d) REDUCIDA O ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGEN. La ecuación de la recta que corta en los ejes coordenados x e y en el punto (a,0), siendo la abscisa en el origen , y (0,b) siendo b la ordenada en el origen, respectivamente, es.
(imagen)
e) GENERAL. Una ecuación lineal o de primer grado en las variables x e y es de la forma Ax + By + C = 0, en donde A, B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita en esta forma es
y su ordenada en el origen
.
f) NORMAL. Una recta también queda determinada si se conocen la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0,=) y el ancho que dicha perpendicular forma con el eje x.
Sea AB la recta y ON la perpendicular desde el origen O a AB.
La distancia p (parámetro) de O a AB se considera siempre positiva cualquiera que sea la posición de AB, es decir, para todos los valores del ángulo w que la perpendicular forma con el semieje x positivo desde 0 a 360°.
Sean
las coordenadas del punto C.
En esta condiciones,
y pendiente de
Llamando (x,y) otro punto cualquiera de AB,
o bien,
simplificando,
que es la ecuación de la recta en forma normal.
REDUCCIÓN DE LA FORMA GENERAL A NORMAL. Sean Ax + By + C = 0 y
las ecuaciones de una misma recta escritas en sus formas generales y normales respectivamente; los coeficientes de ambas ecuaciones han de ser iguales o proporcionales. Por tanto,
siendo k la constante de proporcionalidad.
En estas condiciones,
elevando al cuadrado y sumando las dos primeras,
o sea,
de donde
Teniendo en cuenta ese valor de k.
por consiguiente, la forma normal de Ax + By + C = 0 es:
En la que se debe considerar el signo del radical opuesto al de C. Si C = 0, el signo del radical se considerará igual al de B.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Para hallar la distancia d de un punto
a una recta L, se traza la recta
paralela a L y que pase por el punto
.
La ecuación de L es
y la ecuación de 
es
ya que ambas rectas son paralelas.
Las coordenadas de
satisfacen la ecuación de Despejando la distancia d,
En el caso de quey el origen estén a distinto lado de la recta L, la distancia d es positiva; si estuvieran al mismo lado de L, d sería negativa.
Ejercicios.
Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3, respectivamente.
Resolución
Aplicando
Se tiene la ecuación
o bien
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,-3) y (4,2)
Resolución
Aplicando
resulta
o sea
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA:
a) PUNTO-PENDIENTE. La ecuación de la recta pasa por el punto
y cuya pendiente sea m es
y = mx + b
c) CARTESIANA. La ecuación de la recta que pasa por los puntos
es.
(imagen)
e) GENERAL. Una ecuación lineal o de primer grado en las variables x e y es de la forma Ax + By + C = 0, en donde A, B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita en esta forma es
y su ordenada en el origen
.f) NORMAL. Una recta también queda determinada si se conocen la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0,=) y el ancho que dicha perpendicular forma con el eje x.
La distancia p (parámetro) de O a AB se considera siempre positiva cualquiera que sea la posición de AB, es decir, para todos los valores del ángulo w que la perpendicular forma con el semieje x positivo desde 0 a 360°.
Sean
las coordenadas del punto C.En esta condiciones,
y pendiente de 
Llamando (x,y) otro punto cualquiera de AB,
o bien, 
simplificando,
que es la ecuación de la recta en forma normal.REDUCCIÓN DE LA FORMA GENERAL A NORMAL. Sean Ax + By + C = 0 y
las ecuaciones de una misma recta escritas en sus formas generales y normales respectivamente; los coeficientes de ambas ecuaciones han de ser iguales o proporcionales. Por tanto,
siendo k la constante de proporcionalidad.En estas condiciones,
elevando al cuadrado y sumando las dos primeras, 
Teniendo en cuenta ese valor de k.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Para hallar la distancia d de un punto
a una recta L, se traza la rectaparalela a L y que pase por el punto.La ecuación de L es
y la ecuación de es
ya que ambas rectas son paralelas.Las coordenadas de
satisfacen la ecuación de Despejando la distancia d, 
En el caso de que
y el origen estén a distinto lado de la recta L, la distancia d es positiva; si estuvieran al mismo lado de L, d sería negativa. 
Ejercicios.
Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3, respectivamente.
Resolución
Aplicando
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,-3) y (4,2)
Resolución
Aplicando
Hallar la pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta 2y + 3x = 7.
Resolución
Escribiendo la ecuación en la forma y = mx + b,
Luego su pendiente es: -3/2 y la ordenada en el origen: 7/2
Si se escribe en la forma Ax + By + C = 0
Es decir 3x + 2y - 7 = 0
La pendiente es
y la ordenada en el origen
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