Para calcular al trabajar con un triángulo rectángulo cualquiera, es conveniente designar los vértices de los ángulos como A, B, C, los ángulos de los triángulos como A, B, C = 90º y los lados opuestos a los ángulos, a, b, c, respectivamente. Con relación al ángulo A, el lado a recibe el nombre de cateto opuesto y b el de cateto adyacente; con relación al ángulo B, el cateto adyacente es a, y el cateto opuesto es b. Al lado e se llama siempre hipotenusa.
Si ahora se coloca el triángulo en un sistema de coordenadas de tal manera que el ángulo A quede en posición normal, las coordenadas del punto B, en el lado terminal del ángulo A, son (b, a) y su distancia es $$. En estas condiciones, las funciones trigonométricas del ángulo A, pueden definirse en términos de los lados del triángulo rectángulo, como sigue:
sen A = \frac{a}{c} = \frac{cateto\, opuesto}{hipotenusa} cot A = \frac{b}{a} = \frac{cateto\, adyacente}{cateto\, opuesto}
cos A = \frac{b}{c} = \frac{cateto\, adyacente}{hipotenusa} sec A = \frac{c}{b} = \frac{hipotenusa}{cateto\, adyacente}
tan A = \frac{a}{b} = \frac{cateto\, opuesto}{cateto\, adyacente} csc A = \frac{c}{a} = \frac{hipotenusa}{cateto\, opuesto}
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Los ángulos agudos A y B del triángulo rectángulo ABC son complementarios, es decir, A + B = 90º. Se tiene:
sen B = \frac{b}{c} = cos A cot B = \frac{a}{b} = tan A
cos B = \frac{a}{c} = sen A sec B = \frac{c}{a} = csc A
tan B = \frac{a}{b} = cot A csc B = \frac{c}{b} = sec A
Estas relaciones asocian las funciones en pares seno y coseno, tangente y cotangente, secante y cosecante, de modo de cada una de las funciones de un par es la cofunción de la otra. Así, cualquier función de un ángulo es igual a la correspondiente cofunción de un ángulo complementario.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE:
30º , 45º Y 60º.
Ejemplo:
Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC, datos b = 24 y c = 25
Resolución:
Puesto que: a^{2}=c^{2}-b^{2}
a^{2}=(25)^{2}-(24)^{2}
a^{2}=625-576
a^{2}=49
a = 7
sen A = \frac{cateto\, opuesto}{hipotenusa} =\frac{7}{25} cot A = \frac{cateto\, adyacente}{cateto\, opuesto} = \frac{24}{7}
cos A = \frac{cateto\, adyacente}{hipotenusa} = \frac{24}{25} sec A = \frac{hipotenusa}{cateto\, adyacente} = \frac{25}{24}
tan A = \frac{cateto\, opuesto}{cateto\, adyacente} = \frac{7}{24} csc A = \frac{hipotenusa}{cateto\, opuesto} = \frac{25}{7}
sen B = \frac{cateto\, opuesto}{hipotenusa} =\frac{24}{25} cot B = \frac{cateto\, adyacente}{cateto\, opuesto} = \frac{7}{24}
cos B = \frac{cateto\, adyacente}{hipotenusa} = \frac{7}{25} sec B = \frac{hipotenusa}{cateto\, adyacente} = \frac{25}{7}
tan B = \frac{cateto\, opuesto}{cateto\, adyacente} = \frac{24}{7} csc B = \frac{hipotenusa}{cateto\, opuesto} = \frac{25}{24}
Ejemplo:
Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC, dados a = 2, c = 2\sqrt{5}
Resolución:
Puesto que: b^{2}=c^{2}-a^{2}
b^{2}=\left ( 2\sqrt{5} \right )^{2}-2^{2}
b^{2}=4\left ( 5 \right )-4
b^{2} = 20 - 4
b^{2} = 16
b = 4
sen A = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{2\left ( 5 \right )}=\frac{\sqrt{5}}{5} = cos B
cos A = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5} = sen B
tan A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = cot B
cot A = \frac{4}{2} = 2 = tan B
sec A = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2} = csc B
csc A = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} = sec B
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