FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Para calcular al trabajar con un triángulo rectángulo cualquiera, es conveniente designar los vértices de los ángulos como A, B, C, los ángulos de los triángulos como A, B, C =  90º y los lados opuestos a los ángulos, a, b, c, respectivamente. Con relación al ángulo A, el lado a recibe el nombre de cateto opuesto y b el de cateto adyacente; con relación al ángulo B, el cateto adyacente es a, y el cateto opuesto es b. Al lado e se llama siempre hipotenusa.

Si ahora se coloca el triángulo en un sistema de coordenadas de tal manera que el ángulo A quede en posición normal, las coordenadas del punto B, en el lado terminal del ángulo A, son (b, a) y su distancia es $$. En estas condiciones, las funciones trigonométricas del ángulo A, pueden definirse en términos de los lados del triángulo rectángulo, como sigue:

sen A = $\frac{a}{c}$ = $\frac{cateto\,  opuesto}{hipotenusa}$    cot A = $\frac{b}{a}$ = $\frac{cateto\,  adyacente}{cateto\,  opuesto}$

cos A = $\frac{b}{c}$ = $\frac{cateto\,  adyacente}{hipotenusa}$    sec A = $\frac{c}{b}$ = $\frac{hipotenusa}{cateto\,  adyacente}$

tan A = $\frac{a}{b}$ = $\frac{cateto\,  opuesto}{cateto\,  adyacente}$    csc A = $\frac{c}{a}$ = $\frac{hipotenusa}{cateto\,  opuesto}$

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Los ángulos agudos A y B del triángulo rectángulo ABC son complementarios, es decir, A + B = 90º. Se tiene:

sen B = $\frac{b}{c}$ = cos A        cot B = $\frac{a}{b}$ = tan A
cos B = $\frac{a}{c}$ = sen A        sec B = $\frac{c}{a}$ = csc A
tan B = $\frac{a}{b}$ = cot A        csc B = $\frac{c}{b}$ = sec A

Estas relaciones asocian las funciones en pares seno y coseno, tangente y cotangente, secante y cosecante, de modo de cada una de las funciones de un par es la cofunción de la otra. Así, cualquier función de un ángulo es igual a la correspondiente cofunción de un ángulo complementario. 

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE:

30º , 45º Y 60º.

Ejemplo:

Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC, datos b = 24 y c = 25

Resolución:

Puesto que: $a^{2}=c^{2}-b^{2}$
$a^{2}=(25)^{2}-(24)^{2}$
$a^{2}=625-576$
$a^{2}=49$
a = 7

sen A = $\frac{cateto\,  opuesto}{hipotenusa}$ =$\frac{7}{25}$    cot A = $\frac{cateto\,  adyacente}{cateto\,  opuesto}$ = $\frac{24}{7}$

cos A = $\frac{cateto\,  adyacente}{hipotenusa}$ = $\frac{24}{25}$    sec A = $\frac{hipotenusa}{cateto\,  adyacente}$ = $\frac{25}{24}$

tan A = $\frac{cateto\,  opuesto}{cateto\,  adyacente}$ = $\frac{7}{24}$    csc A = $\frac{hipotenusa}{cateto\,  opuesto}$ = $\frac{25}{7}$

sen B = $\frac{cateto\,  opuesto}{hipotenusa}$ =$\frac{24}{25}$    cot B = $\frac{cateto\,  adyacente}{cateto\,  opuesto}$ = $\frac{7}{24}$

cos B = $\frac{cateto\,  adyacente}{hipotenusa}$ = $\frac{7}{25}$    sec B = $\frac{hipotenusa}{cateto\,  adyacente}$ = $\frac{25}{7}$

tan B = $\frac{cateto\,  opuesto}{cateto\,  adyacente}$ = $\frac{24}{7}$    csc B = $\frac{hipotenusa}{cateto\,  opuesto}$ = $\frac{25}{24}$

Ejemplo:

Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC, dados a = 2, c = 2$\sqrt{5}$

Resolución:

Puesto que: $b^{2}=c^{2}-a^{2}$
$b^{2}=\left ( 2\sqrt{5} \right )^{2}-2^{2}$
$b^{2}=4\left ( 5 \right )-4$
$b^{2}$ = 20 - 4
$b^{2}$ = 16
b = 4

sen A = $\frac{2}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{2}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{2\left ( 5 \right )}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ = cos B

cos A = $\frac{4}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ = sen B

tan A = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ = cot B
cot A = $\frac{4}{2}$ = 2 = tan B
sec A = $\frac{2\sqrt{5}}{4}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ = csc B
csc A = $\frac{2\sqrt{5}}{2}$ = $\sqrt{5}$ = sec B