FUNCIONES ESPECIALES

Las funciones que a continuación se presentan; son de uso frecuente, por ello es necesario recordar sus características. Entre estas funciones especiales se consideran las siguientes:

FUNCIÓN CONSTANTE

Si en la función: y = ax + b; a = 0; entonces las función resultante es: y = b; a esta función se le denomina función constante.
Son funciones constantes: y = 3; y = -5; y=$\frac{3}{5}$; k(x)=4; h(x) = -7; etc.
La función constante y = b nos dice que todos sus pares ordenados tienen como segunda componente al número b.

Ejemplo:

En a gráfica de: y = 3 ó k(x) = 3 es.

k(x) en $\mathbb{N}$
D(k) = $\mathbb{N}$
R(k) = {3}

k(x) en $\mathbb{Z}$
D(k) = $\mathbb{Z}$
R(k) = {3}

k(x) en $\mathbb{R}$
D(k) = $\mathbb{R}$
R(k) = {3}

Importante:

a) El dominio de una función constante es: $\mathbb{R}$ (conjunto de números Reales)
b) El rango es una función constante es {b}.
c) Su gráfica es una recta horizontal.

FUNCIÓN IDENTIDAD

Si en la función: y = ax + b; a = 1 y b = 0; entonces las función resultante es: y=x. A esta función se le denomina función identidad.
Son función identidad, y = x, nos dice que todos sus pares ordenados gozan de las características siguientes:
Su segunda componente, es igual a su primera componente.
La gráfica de y = x ó f(x) = x; es:

D(f) = $\mathbb{N}$
R(f) = $\mathbb{N}$

D(f) = $\mathbb{Z}$
R(f) = $\mathbb{Z}$

D(f) = $\mathbb{R}$
R(f) = $\mathbb{R}$

Importante:

a) El dominio de una función identidad es: $\mathbb{R}$ (conjunto de números Reales)
b) El rango es una función identidad es: $\mathbb{R}$ (conjunto de números Reales) 
c) Su gráfico es la bisectriz del primer y el tercer cuadrante.

FUNCIÓN LINEAL

Si en la función: y = ax ó f(x) = ax; es:

Pares ordenados
(-3 , -3a)
(-2 , -2a)
(-1 , -a)
(0 , 0)
(1 , a)
(2 , 2a)

D(f) = $\mathbb{R}$
R(f) = $\mathbb{R}$

Importante:

a) El dominio de una función lineal es: $\mathbb{R}$ (conjunto de números Reales)
b) El rango es una función lineal es: $\mathbb{R}$ (conjunto de números Reales) 
c) Su gráfico es una recta oblícua que pasa por el origen.

FUNCIÓN AFÍN

En la función de la forma: y = ax + b ó ; f(x) = ax + b donde a$\neq $0 y b$\neq$0
La gráfica de: y = 3x + 1; es:

Pares ordenados
(-3 , -8)
(-2 , -5)
(-1 , -2)
(0 , 1)
(1 , 4)
(2 , 7)

Importante:

a) El dominio de una función Afín es: $\mathbb{R}$ (conjunto de números Reales)
b) El rango es una función Afín es: $\mathbb{R}$ (conjunto de números Reales) 
c) Su gráfico es una recta oblícua que no pasa por el origen cuya ordenada en el  origen es b.

Ejemplo:

Graficar, hallar el dominio y el rango de la función: y = -3x + 2: $x\epsilon[-2,1]$

Resolución:

• De acuerdo al intervalo: [-2 , 1], nos indica que la variable independiente x sólo puede tomar valores reales mayores o igual que -2 pero menores o igual que 1. Es decir $-2\leq $x$\leq 1$  

• Si a x le damos sus valores extremos -2 y 1, obtenemos los puntos extremos del segmento.

        Cuando x = -2    y = -3(-2) + 2 = 8    (-2 , 8) 
        Cuando x = 1    y = -3(1) + 2 = 8    (1 , -1)    

• Los puntos hallados los ubicamos en el sistema de coordenadas 

Luego:
Dominio:[-2 , 1]
Rango:[-1 , 8]

• [-2 , 1] y [-1 , 8], son intervalos cerrados

• Los puntos [-2 , 1] y [-1 , 8] aparecen en la gráfica con bolitas rellenas (negras)

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto es una función real, definida por f(x) = |x| ó y = |x|, esta función puede expresarse de la siguiente manera:

Esta notación se interpreta como la unión de dos funciones.
y = x    ;    Si: x$\geq $0  $\cup$  y = -x    ;    Si: x < 0 

Luego:
Dominio = $\mathbb{R}$
Rango = [0 , +$\infty $)

Ejemplo.

Graficar, hallar el dominio y el rango de la función y = |x - 2| + 1

Resolución:

De la definición de valor absoluto

Obtenemos:

Luego:

ó

La última notación se puede interpretar como la unión de dos funciones:
y = x - 1    ;    Si: x$\geq $2  $\cup$  y = -x + 3    ;    Si: x < 2

Luego:
Dominio = $\mathbb{R}$ (todos los números reales)
Rango = [1 , $\infty $)

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Es la función definida por: f(x) = $\sqrt{x}$    ó    y = $\sqrt{x}$   ;  $x\geq 0$

Luego:
Dominio = [0 , +$\infty $)
Rango = [0 , +$\infty $)