RADICACIÓN ALGEBRAICA

Así como la potencia es el producto de varios factores iguales, de igual manera la radicación tiene por objeto encontrar los factores conociendo si producto, de aquí la potencia y la radicación son dos operaciones correspondientes entre si, osea:

$$(3x^{2})=(3x)(3x)=9x^{2}$$

$$\sqrt{9x^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}}=3x$$

El cuadrado de 3x es igual a 9$x^{2}$; (3x$\cdot$3x=9$x^{2}$) y la raíz cuadrada de 9$x^{2}$ es igual a 3x; ($\sqrt{9x^{2}}$ = 3x).

Así mismo el cubo de 5z es igual 125$z^{3}$ y la raíz cubica de 125$z^{3}$ es igual a 5z y así análogamente.

Sabemos que la raíz n-ésima de x; de notado por $\sqrt[n]{x}$ es el número "r" si se cumple que : $r^{n}$ = x

$$\sqrt[n]{x}=r\, \, \Rightarrow r^{n}=x$$

Se dice que:

                $\sqrt[n]{x}$: Es el radical, x: cantidad subradical o radicando

                n: Es el índice; r: es la raíz.  

• Radical es la raíz indicada de un número
• Signo radical es el símbolo mediante el cual se indica la operación:
• Radicando o cantidad subradical es el número cuya raíz se quiere hallar.
• Índice de la raíz es igual al exponente a que hay que elevar la raíz para obtener el radicando.

RADICAL. Es la raíz indicada de un número en general de una expresión algebraica como por ejemplo:

$$\sqrt{x}\, \, ;\, \, \sqrt[3]{6z}\, \, ;\, \, \sqrt[4]{y^{6}}$$

En la expresión: $\sqrt[n]{x}$

Si: n=2, es la raíz cuadrada, se omite el índice, Así:

$$\sqrt[n]{x}=\sqrt[2]{36}=\sqrt{36}$$

Si: n=3, es la raíz cúbica, Así:

$$\sqrt[n]{x}=\sqrt[3]{27}$$

Si: n=4, es la raíz cuarta y así sucesivamente, Así:

$$\sqrt[n]{x}=\sqrt[4]{16}$$

CLASIFICACIÓN DE LOS RADICALES

A) Considerando la naturaleza de los radicales éstos pueden ser:

a) RACIONALES: Son aquellos, de cuyos subradicales se extraen raíces exactas.

Por ejemplo:

$$\sqrt{9x^{2}}=3x\, \, ;\, \, \sqrt[3]{8x^{3}}=2x$$

b) IRRACIONALES: Son aquellos, de cuyos subradicales no se extraen raíces exactas.

Por ejemplo:

$$\sqrt{7ab}\, \, ;\, \, \sqrt[3]{9x^{2}}$$

c) REALES: Son aquellos, de cuyos subradicales son positivos y cuyos índices son números pares.

Por ejemplo:

$$\sqrt{33}\, \, ;\, \, \sqrt[4]{14x^{2}}$$

d) IMAGINARIOS: Son aquellos cuyos índices son números son números pares cuyos subradicales son negativos.

Por ejemplo:

$$\sqrt{-4x^{2}}\, \, ;\, \, \sqrt[4]{-9x^{4}}$$

B) Con respecto a su especie los radicales pueden ser:

a) HOMOGENEOS: Son aquellos radicales que tienen el mismo índice.

Por ejemplo:

$$3\sqrt{5x}\, \, y\, \, 7\sqrt{8z}$$

$$9a\sqrt[3]{x^{2}y}\, \, y\, \, 2b\sqrt[3]{z}$$

b) HETEROGÉNEAS: Son dos o más radicales con distintos índices.

Por ejemplo:

$$3x\sqrt{8a}\, \, ;\, \, 5z\sqrt[3]{2x^{2}}\, \, ;\, \, \sqrt[5]{2y^{3}}$$

c) SEMEJANTES: Son dos o más radicales que tienen iguales índices y la misma parte subradical; sólo se diferencian por los coeficientes.

Por ejemplo:

1) $3ab\sqrt[3]{2x}\, \, ;\, \, -5m\sqrt[3]{2x}\, \, ;\, \, 2p\sqrt[3]{2x}$

Parte subradical: 2x

Índices: 3

Coeficientes: 3ab ; -5m ; 2p

2) $x^{2}\sqrt{4b^{2}}\, \, ;\, \, 2x\sqrt{4b^{2}}\, \, ;\, \, -\frac{1}{3}z\sqrt{4b^{2}}$

Parte subradical: 4$b^{2}$

Índices: 2

Coeficientes: $x^{2}$ ; 2x ; - $\frac{1}{3}$z

PROPIEDADES DE LOS RADICALES:

1) No cambia de valor el radical al multiplicar el exponente o exponentes del subradical y el índice del radical por una misma cantidad.

Ejemplos:

a) $\sqrt[3]{x^{4}}=\sqrt[3\cdot 2]{x^{4\cdot 2}}=\sqrt[6]{x^{8}}$

b) $\sqrt{z}=\sqrt[2\cdot 5]{z^{1\cdot 5}}=\sqrt[10]{z^{5}}$

c) $\sqrt[5]{a^{3}}=^{\sqrt[5\cdot 4]{a^{3\cdot 4}}}=\sqrt[20]{a^{12}}$

2) No cambia de valor el radical al dividir el exponente o exponentes del subradical y el índice del radical por una misma cantidad.

a) $\sqrt[6]{x^{4}}=\sqrt[6\div 2]{x^{4\div 2}}=\sqrt[3]{x^{2}}$

b) $\sqrt[18]{x^{6}y^{9}}=\sqrt[18\div 3]{x^{6\div 3}y^{9\div 3}}=\sqrt[6]{x^{2}y^{3}}$

3) Cuando el exponente del subradical y el índice del radical son números primos entre si, se dice que el radical ha quedado reducido a su mínima expresión. (Los exponentes de los subradicales deben ser menores que el índice).

a) $\sqrt[7]{x^{3}}$

b) $\sqrt[5]{(xy)^{2}}$

c) $\sqrt[3]{5x^{2}y}$

SIGNO DE LOS RADICALES

Con respecto a los signos en los radicales hay que tener presente que:

A) Las raíces extraídas de cantidades positivas, siendo el índice impar son siempre positivas.

$$\sqrt[n]{x}=r\, \, \Rightarrow \, \, x=r^{n}$$

Ejemplo:

$\sqrt[3]{64x^{3}}=+4x\, \, ; \, \, porque:\, 64x^{3}=(+4x)^{3}$

$$\sqrt[m]{A^{p}}=A^{\frac{p}{m}}$$

Ejemplo:

$\sqrt[5]{32y^{10}}=+2y^{2}\,\,  ;\, \, porque:32y^{10} =(+2y^{2})^{5}$

B) Las raíces extraídas de cantidades negativas, siendo el índice impar son siempre negativas.

Ejemplo:

$\sqrt[3]{-8x^{3}}=-2x\, \, ;\, \, porque:-8x^{3}=(-2x)^{3}$

$\sqrt[5]{-32x^{15}}=-2x^{3}\, \, ;\, \, porque:-32x^{15}=(-2x^{3})^{5}$

C) Las raíces extraídas de cantidades positivas, siendo el índice par pueden ser o positivas o negativas.

Ejemplo:

$\sqrt{49x^{2}}=\pm 7x\, \, ;porque:49x^{2}=(\pm 7x)^{2}$

Donde: 

$$(7x)(7x)=49x^{2}$$
$$(-7x)(-7x)=49x^{2}$$

Ejemplo:

$\sqrt[4]{16x^{8}}=\pm 2x^{2}\, \, ;porque:16x^{8}=(\pm 2x)^{4}$

Donde: 

$$(+2x^{2})(+2x^{2})(+2x^{2})(+2x^{2})=16x^{8}$$
$$(-2x^{2})(-2x^{2})(-2x^{2})(-2x^{2})=16x^{8}$$

D) Las raíces extraídas de cantidades negativas, siendo el índice par son imaginarias, quiere decir que no son ni positivas ni negativas.

Ejemplos:

a) $\sqrt{-4x^{2}}=\sqrt{4x^{2}(-1)}=\sqrt{4x^{2}}\sqrt{-1}=2x\sqrt{-1}=\pm 2xi$

b) $\sqrt{-9x^{4}}=\sqrt{9x^{4}(-1)}=\sqrt{9x^{4}}\sqrt{-1}=3x^{2}\sqrt{-1}=\pm 3x^{2}i$