EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Una expresión algebraica es racional, si tiene la forma de una fracción. Llamase fracción algebraica al cociente indicado de dos expresiones Algebraicas, donde el denominador debe tener al menos una letra o variable.

Ejemplos:

$$\frac{x+3y}{x^{2}}\, ;\, \frac{5x-8}{x^{3}}\, ;\, \frac{x^{3}+y^{3}-z^{3}}{x+y+z}\,;\,  \frac{6x}{y}$$

El dividendo el el Numerador de la fracción y el divisor es el denominador.

CLASIFICACIÓN

FRACCIONES PROPIAS

Cuando el numerador es de menor grado que el denominador

Ejemplos:

$$\frac{x+1}{x^{2}+1}\, ;\, \frac{xy-3}{xy^{2}+1}\, ;\, \frac{x^{2}+5x-2}{x^{3}-3x+1}$$

FRACCIONES IMPROPIAS

Cuando el numerador es de mayor grado que el denominador

Ejemplos:

$$\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}\, ;\, \frac{x^{5}+x^{2}-3}{x^{3}+x-2}\, ;\, \frac{x^{2}+1}{x}\, ;\frac{x^{6}+x^{4}+x^{2}-8}{x^{2}+3x-6}$$

FRACCIONES HOMOGÉNEAS

Son aquellas que tienen igual denominador.

Ejemplos:

$$\frac{x}{y^{3}+2}\, ;\, \frac{5x^{2}}{y^{3}+2}\, ;\, \frac{-3x^{4}}{y^{3}+2}\, ;\, \frac{2x^{6}}{y^{3}+2}$$

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico para los mismos valores otorgados a sus variables, a excepción de aquellos que hagan cero su denominador como por ejemplo:   

Son fracciones equivalentes para todo valor que tome "x" diferente de -1 y 2

La variable "x" no puede tomar los valores de -1 y 2 porque harían cero a los denominadores y la división de un número conocido entre cero no está definido o no existe.

FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS

Cuando tiene como numerador y/o denominador otras fracciones algebraicas.

Ejemplos:

$$\frac{\frac{x}{x+1}-1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x+1}}}$$
$$\frac{\frac{2}{x+1}+2}{2+\frac{2}{2+\frac{2}{x+1}}}$$

FRACCIONES IRREDUCTIBLES

Son todas aquellas en que sus numeradores y denominadores son expresiones primas entre si, es decir, no tienen factor común.

Ejemplos:

$\frac{x-2}{x-3}\, ;\, \frac{x^{2}+7}{x+4}\, ;\, \frac{x^{3}+1}{x-1}$
etc. son fracciones irreductibles

SIGNOS DE UNA FRACCIÓN 

Los signos de toda fracción son tres: el signo de la fracción, el signo del numerador y el signo del denominador.

 Ejemplo:

CAMBIOS DE UNA FRACCIÓN

Podemos a notar que:
$$\frac{x}{y}=-\frac{-x}{y}=-\frac{x}{-y}=\frac{-x}{-y}$$
e indicar que el resultado es el mismo si se cambian dos de los tres signos de la fracción.

Ejemplo: 

Dada la fracción: 
$$\frac{b-a}{y-x}$$
Cambiamos de signo a los términos del numerador y al denominador, obteniendo:
$$\frac{b-a}{y-x}=\frac{-b+a}{-y+x}=\frac{a-b}{x-y}$$    

Ejemplo: 

Dada la fracción:
$$\frac{5}{1-x^{2}}$$
Cambiamos de signo a los términos del numerador y al denominador, obteniendo:
$$\frac{5}{1-x^{2}}=-\frac{5}{-1+x^{2}}=-\frac{5}{x^{2}-1}$$

CAMBIOS DE SIGNOS A LOS FACTORES DEL NUMERADOR Y/O DENOMINADOR

1) CASO: Cuando se cambia de signo a un número par de factores, la fracción No cambia de signo.

Ejemplo:

$$\frac{x\cdot y}{z\cdot w}=\frac{x\cdot (-y)}{z\cdot(- w)}$$

Ejemplo:

$$\frac{x\cdot y}{z\cdot w}=\frac{(-x)\cdot (-y)}{(-z)\cdot(- w)}$$

2) CASO: Cuando se cambia de signo a un número impar de factores, la fracción Si cambia de signo.

Ejemplo:

$\frac{1}{x}=-\frac{1}{-x}$
$\frac{x}{yz}=-\frac{x}{(-y)z}$
$\frac{x}{yzw}=-\frac{x}{(-y)(-y)(-w)}$

PRINCIPIOS ACERCA DE LAS FRACCIONES

1) Al multiplicar el numerador de una fracción por un término cualquiera la fracción queda multiplicada por dicho término.

Ejemplo: 

Sea la fracción $\frac{5x}{7y}$
Multiplicar al numerador por "4z", obteniendo: $\frac{4z\cdot 5x}{7y}=\frac{20zx}{7y}$

2) Al dividir el numerador de una fracción por un término cualquiera, la fracción queda dividida entre dicho término.

Ejemplo: 

Sea la fracción: $\frac{16x^{3}}{3x}$ 
Dividir al numerador por "4x", obteniendo: $\frac{16x^{3}\div 4x}{3x}=\frac{4x^{2}}{3x}$

3) Al multiplicar el denominador de una fracción por un término cualquiera, la fracción queda multiplicada por dicho término.

Ejemplo: 

Sea la fracción: $\frac{4x}{9y^{2}}$
Multiplicar al numerador por "5z", obteniendo: $\frac{4x}{9y^{2}\cdot 5z}=\frac{4x}{45y^{2}z}$

4) Al dividir el denominador de una fracción por un término cualquiera, la fracción queda dividida entre dicho término.

Ejemplo: 

Sea la fracción: $\frac{6x}{8y^{3}}$
Dividir al denominador por "4y", obteniendo: $\frac{6x}{8y^{3}\div 4y}=\frac{6x}{2y^{2}}$

5) Al multiplicar los dos términos de una fracción por un mismo número, tendremos como resultado otra fracción otra fracción equivalente.

Ejemplo: 

Sea la fracción: $\frac{3x}{5y}$
Multiplicar los dos términos de la fracción por "2x", obteniendo: $\frac{3x\cdot 2x}{5y\cdot 2x}=\frac{6x^{2}}{10yx}$

6) Al dividir los dos términos de una fracción entre un mismo término, tendremos otra fracción otra fracción equivalente.

Ejemplo: 

Sea la fracción: $\frac{12xy}{15xz}$
Dividir los dos términos de la fracción entre "3x", obteniendo: $\frac{12xy\div 3x}{15xz\div 3x}=\frac{4y}{5z}$

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Simplificar una fracción algebraica es transformarla en otra equivalente e irreductible. Para simplificar una fracción se sugiere lo siguiente:
1) Factorizar el numerador y denominador de la fracción.
2) Se elimina los factores comunes (se cancelan).

Ejemplo: 

Simplificar: $\frac{6x^{3}-9x^{2}}{3ax^{2}}$

Resolución:

Factorizamos el numerador.
$\frac{6x^{3}-9x^{2}}{3ax^{2}}=\frac{3x^{2}\left ( 2x-3 \right )}{3ax^{2}}=\frac{2x-3}{a}$
$\frac{2x-3}{a}$ es la fracción irreducible equivalente $\frac{6x^{3}-9x^{2}}{3ax^{2}}$ para todo valor de "x" a $\frac{3}{2}$ y para todo valor de "a" diferente a 0.

i) $2x-3\neq 0\, \Rightarrow \, x\neq \frac{3}{2}$
ii) $a\neq 0$

Ejemplo: 

Simplificar: $\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+x-2}$

Resolución:

• Factorizamos el numerador.
• Factorizamos el denominador.

$\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+x-2}=\frac{\left ( x+2 \right )\left ( x+3 \right )}{\left ( x+2 \right )\left ( x-1 \right )}=\frac{x+3}{x-1}$
$\frac{x+3}{x-1}$ es la fracción irreducible equivalente a $\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+x-2}$
Para todo valor de "x" diferente a 1 y -3 estos valores resultan de igualar al numerador y denominador de la fracción $\frac{x+3}{x-1}$ a cero, veamos:

i)  x+3=0 $\, \Rightarrow \,$ x=-3
ii) x-1=0 $\, \Rightarrow \,$ x=1

Ahora decimos que el valor de "x" es diferente a 1 y -3; porque si "x" toma estos valores la fracción  $\frac{x+3}{x-1}$ seria de la forma  $\frac{0}{0}$; siendo esta una forma indeterminada.

Ejemplo: 

Simplificar: $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab}{a^{2}+c^{2}-b^{2}+2ac}$

Resolución:   

Ordenamos términos tanto en el numerador como en el denominador, obteniendo  

$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab}{a^{2}+c^{2}-b^{2}+2ac}=\frac{\left (a^{2}+b^{2}+2ab  \right )-c^{2}}{\left ( a^{2}+2ab+c^{2} \right )-b^{2}}=\frac{\left ( a+b \right )^{2}-c^{2}}{\left ( a+c \right )^{2}-b^{2}}=\frac{\left [ \left ( a+b \right )+c \right ]\left [ \left ( a+b \right )-c \right ]}{\left [ \left ( a+c \right )+b \right ]\left [ \left (a+c  \right )-b \right ]}$

$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab}{a^{2}+c^{2}-b^{2}+2ac}=\frac{a+b-c}{a+c-b}=\frac{a+b-c}{a-b+c}$