MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) DE NÚMEROS NATURALES

MÉTODOS DE CÁLCULO

DIVISORES COMUNES

Consideremos los divisores de 30 y 45.

Los divisores de 30 son: 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 1 0 , 1 5 , 30
$$D_{30}=\left \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \right \}$$
Los divisores de 45 son: 1 , 3 , 5 , 9 , 15 , 45
$$D_{45}=\left \{ 1, 2, 3, 5, 9, 15, 45 \right \}$$

Los divisores (1, 2, 3, 5, 15) dividen simultáneamente a 30 y a 45 y son por consiguiente los divisores comunes a los números 30 y a 45.

Llámese Divisor Común de varios números, al número que lo divide exactamente a todos.

Ahora, hallamos la Intersección de los dos conjuntos de números siendo dicha intersec­ción los números: 1, 3, 5 y 15

$$D_{30}\cap D_{45}=\left \{ 1, 3, 5, 15 \right \}$$

Mayor divisor común: 15 

Al mayor de los divisores comunes se denomina Máximo Común Divisor. Así 15 es el máximo común divisor que se simboliza (M.C.D) de los números 30 y 45, esto es:

M.C.D (30 y 45 ) = 15

MÉTODOS PARA HALLAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMERO

1) Por Factorización en sus Factores Primos.

Se factoriza cada número en sus factores o divisores primos. El M.C.D. es el producto de los divisores comunes tomados con su Menor exponente.

Ejemplos:

1) Hallar el M.C.D. de 16 y 20

Resolución:

Se factoriza cada número dado en sus factores primos así:

$$16=2^{4}$$

$$20=2^{2}\times 5$$
De donde: $16=2^{4}$
                $20=2^{2}\times 5$

El término común con menor exponente $\left ( 2^{2} \right )$ es el M.C.D.

$$M.C.D.\left ( 16 \, y \, 20 \right )=2^{2}=4$$

2) Hallar el M.C.D. de 60 y 90.

Resolución:

Factorizamos cada número dado en sus factores primos así:

$$60=2^{2}\times 3\times 5$$

$$90=2\times 3^{2}\times 5$$
De donde: $60=2^{2}\times 3\times 5$
                $90=2\times 3^{2}\times 5$

Los factores comunes con su menor exponente son: 2 ; 3 y 5

M. C. D ( 60 y 90 ) = 2 x 3 x 5 = 30

3) Hallar el M.C.D. de: 30, 150 y 180.

Resolución:

Factorizamos cada número, en sus factores primos, Así:

$$30=2\times 3\times 5$$

$$150=2\times 3\times 5^{2}$$

$$180=2^{2}\times 3^{2}\times 5$$
De donde: $30=2\times 3\times 5$
                $150=2\times 3\times 5^{2}$
                $180=2^{2}\times 3^{2}\times 5$

Los factores comunes con su menor exponente son: 2 ; 3 y 5

M.C.D. (30, 150 Y 180) = 2 X 3 X 5 = 30 

2) Método Abreviado Para Hallar el M. C.D.

Para hallar el M.C.D. de varios números, puede emplearse el método abreviado, que consiste en dividir todos los números por el menor factor primo hasta que los cocientes sean primos entre sí. El Producto de los diversos factores primos empleados será el M.C.D.

Ejemplos:

1) Hallar el M.C.D. de 60 y 90.

Resolución:

Como los cocientes 2 y 3 son primos entre sí, el M.C.D. de 60 y 90 es: 2 x 3 x 5 =30

M.C.D. (60 y 90) = 30

2) Hallar el M.C.D. de 12, 30 y 42.

Resolución:

Como 2 , 5 y 7 son primos entre sí, el M.C.D. de 12 , 30 y 42. Es: 2 x 3 = 6

3) Determinación del M.C.D. de dos Números por Divisiones Sucesivas

Este procedimiento práctico conviene emplearlo cuando los números no se pueden factorizar fácilmente en sus factores primos.

Ejemplo 1: Halla el M.C.D. de 615 y 225.

Resolución:

Divido: 615 por 225 y hallo 2 de cociente y 165 de residuo.

Divido: 225 por 165 y hallo 1 de cociente y 60 de residuo.

Divido: 165 por 60 y hallo 2 de cociente y 45 de residuo.

Divido: 60 por 45 y hallo 1 de cociente y 15 de residuo.

Divido: 45 por 15 y hallo 3 de cociente y cero de residuo.

Divido: 45 por 15 y hallo 3 de cociente y cero de residuo.

Luego: El M.C.D. de 615 y 225 es 15

La disposición de las operaciones sería:

Regla: Para hallar el M.C.D. de dos números ("A" mayor y “B" menor) mediante divisiones sucesivas se divide el mayor (A) entre el menor (B). Si el residuo es cero, el menor B es el M.C.D.

Ejemplo: 

Hallar el M. C. D. de 6 y 18.

Resolución:

Divido el número mayor (18) entre el menor (6).

Como el residuo es cero, el número menor (6), es el M.C.D.

Pero si hay residuo se divide el número menor (B) por el residuo y después este primer residuo por el segundo residuo sucesivamente hasta que la división sea exacta por ejemplo:

Hallar el M. C.D. de 30 y 20.

M.C.D (30 y 20)= 10

Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 560 y 320.

Resolución:

Por divisiones sucesivas tenemos:

M.C.D. de 560 y 320 es 80

MÁXIMO COMÚM DIVISOR ( M.C.D ) DE VARIOS NÚMEROS

Para hallar el M.C.D. de tres o más números mediante divisiones sucesivas, se halla el M.C.D. de dos de ellos y con el número encontrado se busca el M.C.D. combinando con el tercero y así sucesivamente.

Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 615, 195

Resolución:

Empleando el procedimiento explicado, hallamos que:

El M.C.D. de: 615 y 195 es:

M.C.D de: 615 y 195 es 15

Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 640, 480 y 360.

Resolución:

Primero, hallamos el M.C.D. de dos de ellos; siendo estos 640 y 480. Veamos:

M.C.D. de: 640 y 480 es 160

Ahora, hallamos el M.C.D. de 360 y 160

Luego: M.C.D de 360 y 160 es 40

Respuesta: El M.C.D. de 640, 480 y 360 es 40