PROPIEDADES ALGEBRAICAS

Las propiedades algebraicas que se enlistan a continuación caracterizan a un sistema matemático que se conoce como álgebra de conjuntos.

1) Idempotencia

2) Conmutativa

3) Asociativa

4) Distributiva

4) Ley de Morgan

5) Complementación

6) Identidad

1. Si A ⊂ B entonces para cualquier A y cualquier B se cumple:

   

APLICACIONES

CARDINAL DE UN CONJUNTO.

Si A es un conjunto finito, la cardinalidad de A es el número de elementos de A, y se simboliza n(A), por ejemplo:

a) Si A = {x / x es una letra del abecedario castellano} entonces n(A) = 29

b) Si B = {x / x son las vocales} entonces n(B) = 5

CONJUNTO ORDENADO

El orden es una relación entre los elementos de un conjunto y el orden surge de la propia naturaleza de los elementos que lo forman, por ejemplo:

a) Los alumnos que forman el cuadro de honor. 

b) La sucesión de presidentes constitucionales de un país

Otras veces el orden no surge en forma natural, sino que se origina a partir de un criterio convencionalmente aceptado, por ejemplo: 

a) Las letras del abecedario, en el orden alfabético convencional. 

b) El orden de los caracteres en el registro civil de personas, según sus apellidos y fechas de nacimiento.

PARES ORDENADOS

Son las parejas o los pares o conjunto de elementos tales como: {a, b}, {0, 1}, {x, y}, {interno, externo}, para indicar que uno de estos pares está ordenado se utilizan los paréntesis o en otra forma se escribe como (a, b) y es el conjunto ordenado formado por dos elementos en donde a es el primero y b el segundo.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS

Sean los conjuntos:

P={a, b} y Q={c, d}, por la definición de igualdad de conjuntos P=Q, si a=c, b=d o a=d, b=c.

En cambio si los pares ordenados son:

P=(a, b) y Q=(c, d), entonces P≠Q, cuando P=Q, es necesario, que a=c y b=d

Conclusión: Dos pares ordenados son iguales, si sólo si, el primero y segundo elementos de un par son iguales respectivamente, al primero y segundo elemento del otro par.

CONJUNTO DE PARES ORDENADOS

Conjunto A = {(a, b), (c, d), (e, f)} está formado por tres elementos y cada uno de los cuales es un par ordenado. 

Ternas ordenadas. Conjunto B = {(a, b, c), (d, e, f), (g, h, i)} está formado por tres elementos y cada uno de los cuales es una triada ordenada. 

PRODUCTO CARTESIANO

Se define como P x Q = {(x, y) / x ∈ P y y ∈ Q} y se lee P cartesiano Q es el conjunto formado por los pares ordenados (x, y), tales que x es un elemento de P y es un elemento de Q. 

Ejemplo:

1. Sean: 

M = {x / x es un número natural} 

N = {y / y es una letra del abecedario} 

M x N = { (x, y) / x es un número natural, y es una letra del abecedario}

2. Sean: 

M = {2, 6, 0} 

N = {3, 7} 

M x N = { (2, 3), (2, 7), (6, 3), (6, 7), (0, 3), (0, 7)}

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO

1. El producto cartesiano de conjuntos no es conmutativo 

A x B ≠ B x A a menos que A = B 

2. A x A se simboliza como: A x A = {(x, y) / x ∈ A, y ∈ A} 

Si A = {a}, entonces: A x A = {a, a}

NÙMERO DE ELEMENTO DEL PRODUCTO CARTESIANO

De donde:

Ejemplo.

Sea 

P = {a, b, c} n(P) = 3

Q = {r, s, t, u} n(Q) = 4

n(P x Q) = 3 x 4 = 12

n(Q x P) = 4 x 3 = 12

P x Q = {(a, r), (a, s), (a, t), (a, u), (b, r), (b, s), (b, t), (b, u), (c, r), (c, s), (c, t), (c, u)}