FUNCIÓN

DEFINICIÓN

Una función $f$ es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento $x$ del conjunto llamado dominio, con un sólo elemento $f(x)$ de un segundo conjunto (con uno y sólo uno) llamado rango o contradominio de la función.

Una función consta de tres partes:

1. Un conjunto $A$ llamado dominio de la función. 
2. Un conjunto $B$ llamado contradominio de la función. 
3. Una regla de correspondencia $f$ que asocia a todo elemento de $A$, uno y sólo un elemento del conjunto $B$.

La regla debe tener las siguientes propiedades:

1. Ningún elemento del dominio puede quedar sin elemento asociado en el contradominio.

2. Ningún elemento del dominio puede tener más de un elemento asociado en el contradominio. Esto no excluye que varios elementos del dominio tengan al mismo elemento asociado en el contradominio.

Si tenemos los conjuntos $A$ y $B$ y la regla de correspondencia se cumple con las propiedades señaladas, entonces la terna $(A, B, f)$ es una función cuya notación es: $f : A → B$ Se lee $f$ va de $A$ hacia $B$

Otra forma es: $f (x)$ y se lee $f$ de $x$

Se emplean por lo regular las letras $f$, $g$ o $h$ para simbolizar una función.

Si $x$ es un elemento de $A$, entonces el elemento de $B$ asociado a $x$ por medio de la regla de correspondencia se expresa como $f(x)$ y se le llama la imagen de $x$ bajo $f$. La regla de correspondencia de una función puede estar dada por un diagrama, una ecuación, una tabla de valores y una gráfica. 

DIAGRAMA

El diagrama se construye formando dos óvalos y uniendo estos con una flecha que parte del primer óvalo hacia el segundo (dirección de izquierda a derecha). En el primer óvalo en su interior se anotan los valores de entrada de la función (dominio), en el segundo se anotan los valores de salida de la función (contradominio), se une con una flecha el valor de entrada con el valor de salida. 

Diagrama de la regla de correspondencia de una función. 

La imagen de 3 es 7

La imagen de 4 es 9

La imagen de 5 es 8

La imagen de 6 es 11

ECUACIÓN

En este caso se requiere plantear una ecuación con dos incógnitas como la que se muestra a continuación:

Como primer paso se despeja a la variable dependiente $(y)$,

A la expresión anterior la presentamos en forma de función $f(x)=3x^2+4$, en donde la función $( f )$ es el conjunto de todas las parejas ordenadas $(x, y)$ tales que x y y satisface a la ecuación $3x^2-y+4=0$ y se denota como:

En el dominio de la función están todos los posibles valores que toma la variable independiente $(x)$ también los valores extremos y en el contradominio de la función se encuentran todos los valores posibles que pueden asignarse por el dominio y regla de transformación a la variable dependiente $(y)$.

Ejemplo.

Sea la función $(f)$ cuya regla es $f(x)=3x^2+4$  

El dominio es: ${-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}$,

Los valores extremos son: $- 3$ y $3$

El contradominio es ${31, 16, 7, 4, 7, 16, 31}$ y está determinado por el dominio y la regla de transformación.

Una función que va de los reales a los reales se expresa con la notación:

$f : R → R$ 

Los valores extremos en este caso no están determinados (no existen) en el dominio, porque éste contiene a todos los números reales, el contradominio está formado por todos los números reales y la regla de correspondencia está dada por una ecuación. En los casos en que no se indica o se especifica el dominio de la función, entonces se debe de entender que el dominio incluye a todos los números reales (o también llamado dominio natural). 

Ejemplo de funciones.

1. Si

El dominio son todos los reales $f = {x ∈ R}$ y el contradominio también esta formado por todos los números reales.

Para este tipo de funciones polinomiales el dominio siempre será el conjunto de los números $R$.

2. Si

Solución.

El dominio son todos los reales excepto el 2, ya que la división entre cero no está determinada, $f = {x ∈ R/ x ≠2 }$ .

El contradominio está formado por todos los números reales positivos excepto el cero,

Para este tipo de funciones racionales el dominio siempre será el conjunto de los números reales excepto los que hacen cero el denominador de la función.

3. Si

Solución.

El subradical se expresa de la siguiente forma: $5x+2≥0$

El signo debe ser $≥$ , porque no existen raíces cuadradas de números negativos. Se despeja el valor de $x$ de la inecuación

El dominio de $F = {x ∈ R/ x ≥ − 5/2 }$ 

Para este tipo de función con radical y el índice par, el dominio siempre será formado por todos los números que hagan al subradical igual o mayor a cero. 

CASOS EN EL QUE UNA EXPRESIÓN NO CUMPLE EN SER UNA FUNCIÓN.

a) La expresión $y > x$ no define una función puesto que hay muchos valores de $y$ para cada valor de $x$.

b) La expresión $x=y^2$ no define una función puesto que hay dos valores de $y$ para cada valor positivo de $x$.

c) $x^2+y^2=9$ no define una función, porque para cada valor positivo de $x$ hay dos de $y$.

TABLA DE VALORES

Se selecciona primero la expresión que se va analizar, posteriormente se construye una tabla la cual debe incluir a la variable independiente $(x)$ y la variable dependiente $(y)$  Dentro de esta tabla se anotan los valores que va a tomar la variable independiente (valores de entrada) y se registran todos los valores que toma la variable dependiente (valores de salida).

Ejemplo.

Sea la función $f(x)=x+2$

Solución:

Utilizando la tabulación, se registran los valores que toma $x$ para encontrar los valores de $y$ (también se registran en la tabla). Los puntos extremos del dominio son $–2$ y $4$

Tabulación de la función $f(x)=x+2$

GRÁFICA

Para trazar la gráfica de una función es necesario tomar un conjunto de pares ordenados $(x,y)$ de números reales (puntos), y estos puntos se trazan en el plano cartesiano dando como resultado una gráfica de puntos, al unir todos los puntos con una línea recta representa la gráfica de la función en estudio. Es importante aclarar que se pueden unir los puntos con una línea recta si la variable es continua.

Gráfica de la función $f(x)=x+2$

Valor funcional de una función

El valor funcional de una función se refiere a asignar valores a la variable $x$ o que la variable tome valores, para determinar el valor de $f(x)$.

Ejemplo: 

Sea $f(x)=x^2-2x$ encontrar el valor funcional para los siguientes casos:

si $x = 4$

si $x = 4 + h$

Si $g(x)\left ( x-3 \right )^3+4$ encontrar el valor funcional para los siguientes casos:

si $g(4)$

si $g(-1)$

si $g(c)$

Clasificación de las funciones

Para clasificar las funciones tomaremos como referencia el contradominio, y son tres tipos las Inyectiva (unívoca), Sobreyectiva (suprayectiva), Biyectiva (biunívoca).

a) Función inyectiva, cuando a cada elemento del contradominio le corresponde sólo un elemento del dominio, sin importar que sobren en el contradominio. 

Ejemplo: $f : A → B$

A = { 1, 2 , 3 }

B = { 1, 6, 7, 8, 9 }

$f(x) = x + 5$

Es una función inyectiva

b) Función sobreyectiva, cuando a todo elemento del contradominio le corresponde uno o más elementos del dominio, no deben sobrar elementos en el contradominio, no importa que algunos elementos del contradominio sean imágenes de más de un elemento del dominio. 

Ejemplo: 

$f : A → B$  

A = { 1, 2, –2, 3 } 

 B = { 2, 5, 10 } 

 

Es una función sobreyectiva

c) Función biyectiva, de todo elemento del contradominio es imagen de uno y solamente un elemento del dominio. Es una combinación de los otros tipos de funciones, No sobran elementos y ningún elemento es imagen de más de un elemento del dominio.

$g : C → D$

C = { 1, 2, 3 }

D = { 1, 8, 27 }

Es una función biyectiva

Tipos de funciones

Las funciones se clasifican en algebraicas y trascendentes

1. Funciones algebraicas

• Función constante: 

$f(x) = k$

Donde $k$ es una constante (número real).

Su gráfica es una línea horizontal, con pendiente $m = 0$

• Función identidad: 

$f(x) = x$ 

Su gráfica es una recta que pasa por el origen de los ejes coordenadas, con pendiente $m =1$.

A partir de éstas funciones simples se pueden construir muchas de las funciones importantes en cálculo.

• Función polinomial

cualquier función que pueda obtenerse a partir de la función constante y de la función identidad mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación se llama función polinomial, es decir f es de la forma:

En donde los valores de $a_n,a_{n-1},\cdots a_0$ son constantes (números reales) y $a_n\neq 0$.

$n$ es un entero no negativo y también indica el grado de la función polinomial.  

a) Función lineal de la forma:

$Ax + By + C = 0$

con $A ≠ 0$ y $B ≠ 0$, $(A, B, C {son\ constantes})$

Es la ecuación general de la línea recta y su representación gráfica es una línea recta.

En particular $f(x) = ax + b$ es una función de primer grado o función lineal. Cuando se expresa en la forma $y = mx + b$ se le llama a la ecuación pendiente-ordenada al origen. 

$m$ representa la pendiente, $b$ es el punto donde corta al eje de las ordenadas $(y)$. 

La pendiente se puede calcular si se conocen dos puntos por donde pase la recta

Entonces

Conociendo la pendiente y un punto se puede encontrar la ecuación de la línea recta con la ecuación punto-pendiente: 

b) Función cuadrática de la forma:

con $A ≠ 0$ y $C ≠ 0$

Es la ecuación general de segundo grado su representación grafica es una parábola. 

La ecuación de una parábola es:

Para realizar la gráfica son necesarios tres pasos:

1) Para determinar hacia dónde abre la parábola, es necesario conocer cuál es el signo del coeficiente de $x^2$

    1.1) Si es positivo la parábola abre hacia arriba, $a > 0$. 

    1.2) Si el signo es negativo la parábola abre hacia abajo, $a < 0$. 

2) El vértice de la parábola, es el punto máximo o mínimo de la parábola, se encuentra utilizando las siguientes expresiones: 

3) La parábola siempre corta el eje de las ordenadas, para determinar en donde lo corta se realizan los siguientes pasos:  

     3.1) Hacer $x = 0$

    3.2) Sustituir éste en la ecuación:

            Entonces la parábola corta el eje de las ordenadas en el punto $(0,c)$. 

Ejemplo.

La parábola abre hacia arriba porque $a = 3 > 0$. 

El vértice se encuentra en el punto $(-2, -12)$. 

La parábola corta los ejes en los puntos $(0, 0)$ y $(-4, 0)$. 

c) Función racional: 

Los cocientes de funciones polinomiales se llaman funciones racionales, por lo tanto, $f$ es una función racional si tiene la forma:

Ejemplo.

Cuando los valores son grandes de $x$, positivos o negativos, los valores de $y$ son pequeños. Para valores de $x$ cercanos a 4, los valores de $y$ son muy grandes, positivos o negativos. Cuando $x$ toma el valor de cuatro no existe valor de salida (valor funcional) para $y$.

Función valor absoluto

La función valor absoluto se simboliza como $|x|$ y se define de la siguiente forma: 

Lo que significa que $|x|$ trasforma cualquier valor de $x$ en su “idéntico” positivo.

Tabla de valores:

Gráfica de la función $y = |x|$

Función Raíz 

Una función raíz cuadrada de $x$, se representa como: 

esta función tiene como dominio todos los números positivos $x ≥ 0$ 

Tabla de valores 

Gráfica de la función $y=\sqrt{x}$ 

Función inversa

La inversa de una función $f$ se define como una nueva función $g$ , cuya regla regresa cada valor del contradominio de $f$ a su valor original. A la función $g$ se le llama función inversa de $f$ y se representa como:

Para que una función $f$ tenga inversa es necesario que ésta sea creciente o decreciente. 

Cuando la función es estrictamente creciente debe de cumplir con: 

Para todo par de puntos en su dominio

Cuando la función es estrictamente decreciente debe de cumplir con: 

Para todo par de puntos en su dominio

Ejemplo.

1. Encuentre la función inversa

Se intercambia la $x$ con la $y$, obteniendo: 

Se despeja $y$, teniendo como resultado:

La función es decreciente por lo tanto tiene función inversa 

2. Encuentre la función inversa de

La función no tiene inversa, porque no es totalmente creciente ni totalmente decreciente, esta función es una parábola. 

Función por partes

Las funciones por partes (o por trozos) tienen su dominio definido por varios intervalos, para cada uno de éstos existe una regla que permite encontrar su contradominio. Para su análisis es necesario tomar cada parte como una función independiente.

Ejemplo.

Sea la función

Gráfica de la función por partes

2. Funciones trascendentes

Función exponencial:

La función exponencial se expresa como:

en donde: 

$b$ es la base de una función exponencial 

$x$ es el exponente de la función exponencial 

El dominio está formado por todos los números reales $Df ={R}$

Ejemplo.

1. 

2. 

Propiedades de la función exponencial 

Si $a > 0$, $b > 0$ y $x$, y elementos de los reales $(R)$ entonces:

Teorema 1

Teorema 2 

Las leyes de los exponentes facilitan los cálculos de estas funciones. 

También dentro de esta función se define la función exponencial natural que tiene como base el número e y es de la forma:$y=e^x$

Función logarítmica

La función logarítmica:

Si $b > 0$ y $b ≠ 0$ , entonces:

si y sólo si

con el dominio de la función $D_f=\left \{{R^+}  \right \}$ 

Los cálculos en funciones logarítmicas se facilitan con las leyes de los logaritmos. Dentro de esta función se define la función logaritmo natural que tiene como base al número e y es de la forma: $y = ln x$ 

Propiedades de los logaritmos 

Logaritmos comunes o de base 10 (briggs), se denotan como $log x$, la $base 10$ no se escribe. El logaritmo natural (neperiano) de base $e$ (e = 2.718281828) se denota como: $ln x$.