Así como dados dos segmentos ¡guales, al transportar el uno sobre el otro, coinciden los extremos; dados dos ángulos iguales, al transportar uno sobre otro, pueden hacerse coincidir los vértices y los lados; así también, dados dos triángulos, son iguales si al transportar el uno sobre el otro puede hacerse coincidir cada vértice del primero con cada vértice del segundo. Pero al coincidir los vértices de los dos triángulos, coinciden también, respectivamente, los lados y los ángulos.Estas condiciones que deben cumplir los lados y los ángulos de dos triángulos iguales, llevan a la siguiente:
Se dice que un triángulo es igual a otro, o congruente con otro, si tiene todos sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados y ángulos del otro.
En símbolos:
La igualdad de triángulos goza de los caracteres de toda igualdad, es decir:
Carácter idéntico o reflejo
En símbolos:
$\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A'B'C'$
Carácter recíproco o simétrico
En símbolos:
$\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A'B'C'\Rightarrow \bigtriangleup A'B'C'=\bigtriangleup ABC$
Carácter transitivo
En símbolos:
NOTA:
Dos lados pertenecientes a triángulos iguales, se dicen homólogo cuando se oponen a ángulos iguales, y recíprocamente.
Así, por ejemplo, en los dos triángulos iguales anteriores $\bigtriangleup ABC$ y $\bigtriangleup A'B'C'$, los lados $\overline{AB}$ y $\overline{A'B'}$ son homólogos, por oponerse a los ángulos iguales $\widehat{C}$ y $\widehat{C'}$.
Criterios de igualdad de triángulos
Según se acaba de ver, por definición, dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos respectivamente iguales; pero en realidad, no es necesario conocer !a igualdad de todos sus elementos, pues basta que se cumpla la igualdad de algunos de ellos para que, como consecuencia, los demás resulten también iguales.
El conjunto de elementos que deben ser ¡guales para que como consecuencia sean ¡guales los restantes elementos y por lo tanto los triángulos sean iguales, da origen, en cada caso, a un criterio de igualdad de triángulos.
A continuación se resuelve un problema que conducirá al enunciado del primer criterio.
Ejercicio.
Dado un triángulo, construir otro que tenga con él dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales.
Es decir: dado el $\bigtriangleup ABC$, construir otro $\bigtriangleup A'B'C'$ tal que:
Condiciones:
$\overline{A'B'}=\overline{AB}$
$\overline{A'C'}=\overline{AC}$
$\widehat{A'}=\widehat{A}$
Construcción.
Se construye el ángulo $\widehat{A'}=\widehat{A}$; sobre uno de los lados del ángulo $\widehat{A'}$ se determina $\overline{A'C'}=\overline{AC}$ sobre el otro lado del ángulo $\widehat{A'}$ se determina $\overline{A'B'}=\overline{AB}$. Uniendo B' con C', se obtiene el $\bigtriangleup A'B'C'$ pedido.
Si se transporta el $\bigtriangleup A'B'C'$ sobre el $\bigtriangleup ABC$, de modo que el $\widehat{A'}$ coincida con el $\widehat{A}$, por ser $\overline{A'B'}=\overline{AB}$ y $\overline{A'C'}=\overline{AC}$, el vértice B' coincide con B, el C' con C y, por consiguiente, el lado $\overline{B'C'}$, con $\overline{BC}$. Luego al coincidir los tres lados, coinciden también los tres ángulos, y resulta:
$$\bigtriangleup A'B'C'=\bigtriangleup ABC$$
Es decir que, en este caso, por la sola condición de tener dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, todos los otros elementos resultan iguales y en consecuencia los triángulos son iguales.
Esta observación es general para todos los problemas de este tipo, y permite enunciar el siguiente criterio de igualdad de triángulos, que se admite como postulado.
PRIMER CRITERIO.
Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido, respectivamente ¡guales, son iguales.
Relaciones que vinculan los lados con los ángulos de un triángulo
Propiedad de los lados del triángulo isósceles.
Sean un triángulo isósceles, el $\bigtriangleup MNP$ por ejemplo, en el que el lado $\overline{MN}$ es igual al lado $\overline{NP}$.
Se observa a simple vista que los ángulos $\widehat{M}$ y $\widehat{P}$ que se oponen a los lados iguales, son iguales.
La igualdad de estos ángulos puede verificarse también midiéndolos con un transportador.
Esta observación que se verifica en todos los triángulos isósceles, se generaliza en el siguiente:
TEOREMA: En todo triángulo isósceles a los lados iguales se oponer ángulos ¡guales.
H) $\bigtriangleup ABC$ isósceles
$\overline{BC}=\overline{AB}$
T) $\widehat{A}=\widehat{C}$
Demostración: Se traza la bisectriz de:
$\widehat{B}$ que corta al lado $\overline{AC}$ en el punto M.
Quedan así formados los triángulos:
Luego, de estos dos triángulos tienen 2 lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales: por lo tanto, satisfacen al primer criterio de igualdad de triángulos, y en consecuencia, es decir:
$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup BMC$
Pero si dos triángulos son iguales, todos sus elementos homólogos también lo son; entre ellos:
$\widehat{A}$ (opuesto al $\overline{BM}$ en $\bigtriangleup AMB$) = $\widehat{C}$ (opuesto al $\overline{BM}$ en $\bigtriangleup BMC$), que es la igualdad de la tesis: $\widehat{A}=\widehat{C}$.
NOTA: En un triángulo isósceles, el lado desigual se llama base. Así en el triángulo anterior la base es el lado $\overline{AC}$; con esta denominación el teorema anterior puede también enunciarse: los ángulos de la base de un triángulo isósceles son ¡guales.
Ejemplo.
En el $\bigtriangleup ABC$ isósceles es $\overline{AB}=\overline{BC}$; $\widehat{B}$=40º. Calcular los ángulos $\widehat{A}$ y $\widehat{C}$. Como la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180º es:
$\widehat{A}+\widehat{C}$ +40º = 180º
o sea $\widehat{A}+\widehat{C}$ = 180º-40º
$\widehat{A}+\widehat{C}$ = 140º
y como $\widehat{A}= \widehat{C}$ es: $\widehat{A}= \widehat{C}=\frac{140^{0}}{2}$
o sea: $\widehat{A}= \widehat{C}$=70º
Si se considera un triángulo, por ejemplo el $\bigtriangleup PQR$, en que 2 lados son desiguales en este caso el lado $\overline{PQ}$ es mayor que el lado $\overline{QR}$, se observa que el ángulo $\widehat{R}$, que se opone al lado mayor $\overline{PQ}$, es mayor que el ángulo $\widehat{P}$, que se opone al lado menor $\overline{QR}$.
Esta observación es general y se enuncia en el siguiente:
TEOREMA: Si en un triángulo dos lados son desiguales, al mayor lado se opone mayor ángulo.
H) $\bigtriangleup ABC$;
$\overline{AC}> \overline{BC}$
T) $\widehat{B}> \widehat{A}$
Demostración: Sobre el lado $\overline{CA}$ se determina, a partir de C, el $\overline{CM}= \overline{BC}$. Como por hipótesis, $\overline{AC}> \overline{BC}$, el punto M es interior al $\overline{CA}$, es decir: $\overline{CM}\subset \overline{CA}$.
Uniendo B con M, resulta el triángulo $\bigtriangleup BCM$, que es isósceles, dado que $\overline{BC}= \overline{CM}$ por construcción.
Luego, por el teorema anterior, a los lados iguales se oponen ángulos iguales, es decir:
$\widehat{\alpha }=\widehat{\beta }$ (1)
Por pertenecer el punto M al segmento $\overline{AC}$, es M interior al ángulo $\widehat{B}$; luego la semirrecta $\overline{BM}$ es también interior a dicho ángulo.
Por lo tanto: $\widehat{B}> \widehat{\alpha }$
y como $\widehat{\alpha }= \widehat{\beta}$ por (1)
Resulta: $\widehat{B }> \widehat{\beta}$ (2)
Además, como $\widehat{\beta }$ es exterior al $\bigtriangleup AMB$, es mayor que cada ángulo interior no adyacente, por lo tanto:
$\widehat{\beta }> \widehat{A }$ (3)
Aplicando el carácter transitivo de la relación de mayor a las expresiones (2) y (3), resulta:
$\widehat{B }> \widehat{A }$
que es la tesis.
Teoremas recíprocos de los anteriores
El $\bigtriangleup ABC$ se ha construido con dos ángulos iguales; se observa que los lados $\overline{BC}$ y $\overline{AB}$ que se oponen respectivamente a ellos, son también iguales.
Esta propiedad es general y se enuncia:
Teorema recíproco. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, los lados que se oponen a ellos también son iguales.
El $\bigtriangleup ABC$ se ha construido con dos ángulos desiguales: $\widehat{B }> \widehat{A}$; se puede comprobar que el lado $\overline{AC}$ que se opone al lado mayor $\widehat{B }$, es mayor que el lado $\overline{BC}$ que se opone al ángulo menor $\widehat{A}$.
Teorema recíproco. Si en un triángulo dos ángulos son desiguales, al mayor ángulo se le opone mayor lado.
Estos dos teoremas recíprocos se pueden demostrar por reducción al absurdo.
Relaciones entre los lados de un triángulo
Si se toman varillas de distinta longitud y se quieren construir triángulos que tengan por lados tres de esas varillas, puede ocurrir que con alguna de ellas no se pueda construir un triángulo; por ejemplo, si se toma una varilla de 40 cm, una de 12 cm y otra de 26 cm, se pueden comprobar que es imposible. construir un triángulo que tenga estas tres varillas por lados.
De mismo modo, si las varillas tienen las longitudes indicadas en la figura, no se puede construir un triángulo.
Esto nos dice que los segmentos, para ser lados de un triángulo, deben satisfacer alguna condición especial. En efecto, es así:
Dado un triángulo cualquiera, el $\bigtriangleup MNP$, por ejemplo, si se efectúa la suma de los lados $\overline{MP}$ y $\overline{NP}$, por ejemplo, se obtiene $\overline{QR}$.
Puede comprobarse que el lado $\overline{MN}$ es menor que el $\overline{QR}$, suma de los otros dos lados, es decir: $\overline{MN}<\overline{MP}+\overline{PN}$.
Si al lado $\overline{MP}$ se le resta el lado $\overline{NP}$, se obtiene el segmento $\overline{ST}$.
A simple vista resulta el lado $\overline{MN}$ mayor que el segmento $\overline{ST}$, que es la diferencia de los otros dos lados, es decir $\overline{MN}> \overline{MP}-\overline{PN}$.
Esta observación se generaliza en el siguiente:
TEOREMA: En todo triángulo un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
$$H) \bigtriangleup ABC$$
Demostración: 1º Para que queden establecidas las relaciones con respecto a la suma, que figuran en el primer grupo de la tesis, basta demostrar una de ellas, porque para las otras, el procedimiento es análogo.
Si se supone que el lado $\overline{AB}$ es el mayor, bastará demostrar la desigualdad que corresponde a ese lado, es decir que:
$$\overline{AB}<\overline{AC}+\overline{BC}$$
Se traza la semirrecta opuesta a $\overrightarrow{CA}$, y sobre ella se construye el segmento $\overline{CM}=\overline{BC}$. Al unir B con M, resulta el $\bigtriangleup BCM$ isósceles, puesto que $\overline{BC}=\overline{CM}$, por construcción, luego los ángulos que se oponen a los lados iguales son iguales, es decir:
$\widehat{M}=\widehat{\alpha }$ (1)
y como, por ser $\overrightarrow{BC}$ interior a $\widehat{\gamma }$
$\widehat{\alpha }<\widehat{\gamma }$ (2)
de (1) y (2) resulta:
$\widehat{M }<\widehat{\gamma }$
y como, en todo triángulo, a menor ángulo se opone menor lado, en el $\bigtriangleup ABM$ es:
$$\overline{AB}<\overline{AM}$$
pero
$$\overline{AM}=\overline{AC}+\overline{CM}$$
reemplazando en la desigualdad anterior $\overline{AM}$, por su valor se tiene:
$$\overline{AB}<\overline{AC}+\overline{CM}$$
y, reemplazando $\overline{CM}$ por su igual $\overline{BC}$, resulta:
$$\overline{AB}<\overline{AC}+\overline{BC}$$
que es la relación de la tesis que se quería demostrar.
2º Análogamente, para demostrar la segunda parte bastará demostrar la validez de una de esas relaciones; por ejemplo la primera, es decir:
$$\overline{AB}>\overline{AC}-\overline{BC}$$
Como $\overline{AC}$ es el minuendo en la desigualdad que se quiere demostrar, e aplica a dicho lado $\overline{AC}$, la primera parte del teorema.
Así $\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC}$
que es la relación de la segunda parte de la tesis que se quería demostrar. Análogamente se demuestran las otras dos.
Relaciones que vinculan los lados y los ángulos de los triángulos.
Ejercicio.
Dado un triángulo, construir otro que tenga con el primero dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido desigual.
Es decir: dado el $\bigtriangleup ABC$ construir el $\bigtriangleup MNP$, tal que :
$\overline{MN}=\overline{AB}$;
$\overline{NP}=\overline{BC}$;
$\widehat{N}\neq \widehat{B}$ (por ejemplo: $\widehat{N}< \widehat{B}$)
Condiciones
$\overline{MN}=\overline{AB}$
$\overline{NP}=\overline{BC}$
$\widehat{N}= \widehat{B}$
Construcción
Se construye el ángulo $\widehat{XNY}$. Sobre $\overrightarrow{NX}$ se determina el segmento $\overline{NM}=\overline{AB}$ y sobre la semirecta $\overrightarrow{NY}$ se determina el segmento $\overline{NP}=\overline{BC}$. Uniendo P con M se obtiene el $\bigtriangleup MNP$ que es el triángulo pedido y que tiene con respecto al $\bigtriangleup ABC$:
$$\overline{MN}=\overline{AB}\, \, ;\, \, \overline{NP}=\overline{BC}\, \, y\, \, \widehat{N}<\widehat{B}$$
Comparando los lados que se oponen a los ángulos desiguales, es decir $\overline{MP}$ y $\overline{AC}$; se observa que $\overline{MP}<\overline{AC}$. Luego al triángulo le corresponde un lado opuesto mayor.
Esta observación es general y se enuncia diciendo:
Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido desigual, al triángulo que tiene mayor ángulo le corresponde un lado opuesto mayor.
Recíprocamente:
Si dos triángulos tienen dos lados iguales y el tercero desigual, al mayor lado se le opone el mayor ángulo. Así sean los $\bigtriangleup ABC$ y $\bigtriangleup MNP$, tales que:
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