Relaciones
Muchos hechos cotidianos involucran dos cantidades apareadas o acopladas unas con otras mediante algunas reglas de correspondencia. El término matemático para tal correspondencia es relación.
Definición de una relación
Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados. El conjunto de las primeras componentes en los pares ordenados es el dominio de la relación, y el de las segundas componentes es el contradominio de la relación. Llamado también codominio, imagen o rango.
Ejemplo
Encuentre el dominio y el contradominio de
Solución
El dominio es el conjunto de todas las primeras componentes de la relación, el contradominio, el de todas las segundas componentes.
Funciones
Para modelar funciones de la vida real, usted trabajara con un tipo especial de relación llamado función. Una función es una relación en la cual no hay dos pares ordenados que tengan la misma primera componente y diferentes segundas componentes.
Por ejemplo, (2,3) y (2,4) no pueden ser pares de una función.
Definición de una función
Una función f que va de un conjunto A a un conjunto B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x del conjunto A exactamente un elemento y del conjunto B.
El conjunto A se denomina dominio (o conjunto de entradas) de la función f, y el conjunto B contiene al contradominio (o conjunto de salidas) de la función.
La regla de correspondencia para una función establece un conjunto de “entradas-salidas” de pares ordenados de la forma (x,y), donde x es una entrada e y es la correspondiente salida. En algunos casos, la regla sólo puede generar un conjunto finito de pares ordenados; en otros, puede generar un conjunto infinito.
Ejemplo
Entrada-salida de pares ordenados para funciones
a) Para la función que
relaciona los enteros positivos menores que 7 con sus cuadrados, cada par
ordenado se expresa como (n,$n^{2}$).
b) Para la función
dada por y= x -2, cada par ordenado se expresa como (x,y) {Todos
los puntos de la gráfica de y = x -2}
c) Para la función que
relaciona cada número real con su cuadrado, cada par ordenado se expresa de la
forma (x,$x^{2}$).
{Todos
los puntos (x,$x^{2}$), donde
x es un numero real}
Nota: en el ejemplo, los conjuntos del inciso (a) tiene un
número finito de par ordenado; el de los incisos (b) y (c) es un número
infinito.
Características de una función
1. A cada elemento del dominio A debe corresponder un elemento del contradominio, el cual está contenido en el conjunto B.
2. Algunos elementos del conjunto B pueden no tener correspondencia con algún elemento del dominio A.
3. A dos o más elementos del dominio pueden corresponderles el mismo elemento en el contradominio.
4. No hay elementos
del dominio que tengan correspondencia con dos diferentes elementos en el
contradominio.
Ejemplo
Prueba de funciones representadas por pares ordenados.
Sea
A = {a,b,c} y B = {1,2,3,4,5,}. Cuales representan una función de A a B?
a)
{(a,2),(b,3),
(c,4)}
b)
{(a,4), (b,5)}
Solución
a) Este conjunto de pares ordenados representa una función de A a B. cada elemento de A esta relacionado exactamente con un elemento de B.
b) Este conjunto de
pares ordenados no representa una función de A a B. No todos los elementos de A
están relacionados con un elemento de B.
c) Este diagrama representa una función de A a B.
no importa que cada elemento de A este relacionado con el mismo elemento de B.
d) Este diagrama no
representa una función de A a B. El elemento a en A esta relacionado con dos
elementos, 1 y 2, en B. esto también es cierto para el elemento b.
El
representar funciones con conjuntos de pares ordenados es una práctica común en
el estudio de las matemáticas discretas, las cuales tratan, principalmente, con
conjuntos finitos de datos o con subconjuntos finitos del conjunto de números
reales. Sin embargo, en álgebra es más común representar funciones con
ecuaciones o formulas con dos variables. Por ejemplo la ecuación.
Representa a la variable y con una función de la variable x. la variable x es la variable independiente, y la variable y es la variable dependiente. En este contexto, el dominio de la función es el conjunto de todos los valores reales permitidos para la variable independiente, x, y el contradominio es el conjunto resultante de todos los valores para la variable dependiente, y.
Ejemplo
¿Cuál de estas ecuaciones representa a y como una función de x?
a) y = $x^{2}$ + 1
b) x – $y^{2}$ = 2
c) -2x + 3y = 4
Solución
a) de la ecuación y = $x^{2}$ + 1
Usted puede ver que cada valor de x le corresponde un valor de y. por ejemplo, cuando x = 1, el valor de $1^{2}$ +1 = 2, por tanto, y es una función de x.
b) Al escribir la
ecuación x – $y^{2}$ = 2 en la forma $y^{2}$ = x – 2
Usted
puede ver que a algunos valores de x
le corresponde dos valores de y. Por
ejemplo, cuando x = 3, $y^{2}$ =3-2=1 y y puede ser 1 o -1. Así,
los puntos de solución (3,1) y (3,-1) muestran que y no es una función de x.
c) Al escribir la
ecuación -2x + 3y = 4 en la forma
Usted puede ver que para cada valor de x le corresponde solamente un valor de y. Por ejemplo, cuando, x = 2, el valor de y es
Por lo tanto, y es una función de x.
Notación de funciones
Cuando se usa una ecuación para representar una función, es conveniente dar un nombre a la función de tal manera que pueda hacerse referencia a ella fácilmente.
Por ejemplo, la función y = $x^{2}$ + 1 se le puede dar el nombre de “f” y escribirse en notación de función como f(x) = $x^{2}$ + 1.
Notación de función
En la notación f(x):
f
es el nombre de la función, x
es el valor del dominio (o entrada),
y f(x)
es el valor del contradomio (o
salida de y para un x dada.
El
símbolo f(x) se lee como el valor de f en x o, simplemente, f de x.
al
proceso de encontrar el valor de f(x) para un valor dado de x se le denomina evaluación
de una función, por lo que se hace sustituyendo un valor dado de x (entrada) en
la ecuación para obtener el valor de f(x) (salida). Por ejemplo.
Función
valor de x valor de la función
f(x)
= 3 – 4x x = -1 f(-1) = 3-4(-1) =
3+4=7
Aunque
a menudo f se usa como un nombre útil de la función y x como la variable
independiente, usted puede usar otras letras. Por ejemplo, las ecuaciones.
f(x)
= 2$x^{2}$ + 5
f(t)
= 2$t^{2}$ + 5
g(x)
= 2$s^{2}$ + 5
Definen
la misma función. De hecho, las letras se usan simplemente como
“identificadores” y esta misma función se describe muy bien para la forma.
f( ) = 2 ( )$^{2}$ + 5
Donde
los paréntesis se usan en lugar de una letra. Para evaluar f(-2), simplemente
coloque -2 en cada conjunto de paréntesis, como sigue.
f(-2)
= 2$(-2)^{2}$ + 5
= 8 + 5
= 13
Cuando
evalúa una función, usted no está limitado a sustituir únicamente valores
numéricos en los paréntesis. Por ejemplo, el valor de f(3x) es:
f(3x)
= 2$(3x)^{2}$ + 5
= 18$x^{2}$ + 5
Determinación del dominio y del contradominio de una función
Tiene un dominio implícito que consiste en todos los valores reales de x diferentes a $x\neq \pm 3$. Estos dos valores quedan excluidos del dominio porque la división entre cero no está definida.
Otro tipo común de dominio implícito es el que se usa para evitar raíces pares de números negativos. Por ejemplo la función dada por
Está definida sólo para $x\geq 0$. Por tanto, su dominio implícito es el conjunto de todos números reales $x\geq 0$ .
Ejemplo
Encuentre el dominio y el contradominio de cada función.
a) f:{(-3,0),(-1,,2),(0,4), (2,4), (4,-1)}
b) Área de un círculo: $A=\pi r^{2}$
Solución
a) El dominio de f consta de todas las primeras coordenadas en el conjunto de pares ordenados. el contradominio consta de todas las segundas coordenadas en dicho conjunto. Así:
Dominio = {-3, -1, 0, 2, 4}
Contradominio = {0, 2, 4, -1}
b) para el área del círculo, debe seleccionar valores positivos para el radio, r. así, el dominio es el conjunto de todos los números reales, r, tales r > 0. el contradominio es, por lo tanto, el conjunto de todos los números reales, A tales que A > 0.
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