SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Es una operación inversa a la adición.

Observa los siguientes ejemplos y lo verás muy claro:

Por simple deducción:

Fíjate que primero reunirnos los conjuntos y hallamos el conjunto suma. Después del conjunto suma separamos los sumandos, al revés, por eso decimos que la sustracción es una operación a la adición.

Importante.

La sustracción no es una operación interna en $\mathbb{N}$, porque dos números cualesquiera no siempre se pueden restar.

Ejemplo.

5 - 9 = -4 (-4 no es Natural)

Términos de la sustracción:

Tenemos lo siguiente:

Las igualdades que van colocadas al lado de los conjuntos las vamos a representar por sus símbolos o sea:

10 - 6 = 4    $\Rightarrow$    M - S = D; minuendo menos sustraendo, igual diferencia.

10 - 4 = 6    $\Rightarrow$    M - D = S; minuendo menos diferencia, igual sustraendo.

10 = 6 + 4    $\Rightarrow$    M = S + D; minuendo igual a sustraendo más diferencia.

M = S + D    $\Rightarrow$    Comúnmente se considera esta igualdad como la prueba de la sustracción.

Atención: La sustracción no es conmutativa ni asociativa.

PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN:

1) Si se aumenta o disminuye el minuendo en un número aumenta o disminuye respectivamente la diferencia en ese número.

Ejemplo 1:

15 - 7 = 8; le aumentamos 6 al minuendo, se obtiene:

15    $\Rightarrow$    Minuendo
7      $\Rightarrow$    Sustraendo
8     $\Rightarrow$    Diferencia
(15 + 6) - 7 = 14    $\Rightarrow$    la diferencia aumento en 6.

Ejemplo 2:

22 - 9 = 13; si se disminuye el minuendo en 5, se obtiene:

(22 - 5) - 9 = 8    $\Rightarrow$    la diferencia también disminuye en 5.

2) Si se aumenta o disminuye el sustraendo en un número, disminuye o au­menta, respectivamente, la diferencia en ese mismo número.

Ejemplo 1:

18 - 6 = 12; si le aumentamos al sustraendo en 3, se obtiene:

18    $\Rightarrow$    Minuendo
6      $\Rightarrow$    Sustraendo
12     $\Rightarrow$    Diferencia

18 - (6 + 3) = 9    $\Rightarrow$    la diferencia disminuye en 3.
18 - 6 = 12; si se disminuye al sustraendo en 5, se obtiene:
18 - (6 - 5) = 17    $\Rightarrow$    la diferencia aumenta en 5.

3) Si al minuendo y sustraendo se les añade o se les resta un mismo número, la diferencia no varía.

Ejemplo 1:

15 - 7 = 8; al minuendo y sustraendo les añadimos 4, se obtiene:

15    $\Rightarrow$    Minuendo
7      $\Rightarrow$    Sustraendo
8     $\Rightarrow$    Diferencia

(15 + 4) - (7 + 4) = 8    $\Rightarrow$    la diferencia no varia.
15 - 7 = 8; al minuendo y sustraendo les restamos 6, se obtiene:
(15 - 6) - (7 - 6) = 8    $\Rightarrow$    la diferencia no varia.

REFLEXIONA: Hasta ahora hemos considerado sustracciones en las que el minuendo era mayor que el sustraendo, con los números naturales que son los números enteros positivos o sea: 15 - 11 = 4, esta sustracción sí tiene sentido en el campo de los números naturales, pero si fuese: 11 - 15 - -4 esta sustracción no tiene sentido en el campo de los números naturales pero sí en el campo de los números enteros. 

RELACIÓN ENTRE SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES Y LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Si: A = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7  , 8}    y    B = { 3 , 4 , 5 }

De acuerdo a estos conjuntos vemos que: $B\subset A$, es decir B es un subconjunto de A.
Luego: A - B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } - { 3 , 4 , 5 } = { 2 , 6 , 7 , 8 } = C

A - B = { 2 , 6 , 7 , 8 }
A - B = C
Luego: Card (A) - Card (B) = Card (C)
                7     -         3     =     4

TÉCNICAS OPERATIVAS DE LAS SUSTRACCIONES

1) Por Descomposición Según el Valor de Posición. (Descomposición Polinómica).

Ejemplo: Efectuar: 784 - 345 Disposición:

Como se observará 4 no se puede restar con 5, esto indica que 80 se puede escribir así: 80 = 70 + 10

Luego:

2) Por Técnica Abreviatura:

Ejemplo: Efectuar: 976 - 549 Disposición:

Aquí (6 - 9) no se puede restar, “prestamos” 1 decena de 7 que convertida en unidades es 10, le agregamos al 6 y queda (1 6 - 9) y (7 - 4) se convierte en (6 - 4).

Nota: Este procedimiento de “Prestar” se realiza cada vez que a una cifra del minuendo no se puede “Restar” la correspondiente del sustraendo.

PRUEBA DE LA SUSTRACCIÓN

Para estar seguro del resultado obtenido se prueba la operación añadiendo la diferencia o resultado al sustraendo y debe obtenerse EL MINUENDO.

COMPLEMENTO ARITMÉTICO

El complemento aritmético de un número es lo que le falta a este número para igualar a la unidad de orden inmediato superior.

Ejemplos:

• El complemento aritmético de 7 es: 10 - 7 = 3

• El complemento aritmético de 32 es: 100 - 32 = 68

• El complemento aritmético de 538 es: 1 000 - 538 = 462

Regla Práctica : El complemento aritmético de un número se obtiene con rapidez restando de  10 la primera cifra significativa de la derecha y las demás de 9. Si el número termina en ceros, estos se escriben primero.

Ejemplos:

El complemento aritmético de:

El complemento aritmético de:

El complemento aritmético de:

El complemento aritmético de:

Ejercicio.

Existe un número de 2 cifras que excede en 74 a su complemento aritmético (C.A). Entonces la suma de sus cifras es:

Resolución:

Sea el número de 2 cifras:  $\overline{ab}$

Complemento aritmético de  $\overline{ab}$: $(100-\overline{ab})$

Del enunciado: $\overline{ab}-(100-\overline{ab})=74$
                        $\overline{ab}-100+\overline{ab}=74$
                        $2\overline{ab}=174$
                        $\overline{ab}=87$

donde: a = 8        y        b = 7

La suma de las cifras es: a + b = 8 + 7 = 15

Ejercicio.

El C.A. de un número de 3 cifras es igual a la suma de sus cifras. Dar la cifra central del número.

Resolución:

Sea el número de 3 cifras: $\overline{abc}$

Complemento aritmético de $\overline{abc}$: $(1000-\overline{abc})$

Del enunciado: $(1000-\overline{abc})$ =(a + b + c)
            1000 = $\overline{abc}$ + (a + b + c)
            $\overline{abc}$ descomponemos polinómicamente el número abc.
            $\overline{abc}$ = (100a + 10b + c)
            1000 = (100a + 10b + c) + (a + b + c)
            1000 = 101a + 11b + 2c

Por tanteo:

101a: a = 7
11b: b = 9
2c: c = 7

Verificación: 

1000 = 101a + 11b + 2c

1000 = 101(9) + 11(7) + 2(7) = 909 + 77 + 14 = 1 000 (cumple)

La cifra central del número $\overline{abc}$ es:  b = 7

Ejercicio.

Hallar un número de 2 cifras, sabiendo que al escribirle un cero a su derecha, aumenta en 333 unidades. (Dar como respuesta el C.A. de dicho número de 2 cifras).

Resolución:

Sea el número de 2 cifras: $\overline{ab}$

Número que resulta de escribirle un cero a su derecha: $\overline{ab0}$
Del enunciado: $\overline{ab0}-\overline{ab}=333$

$\overline{ab0}$ = (100a + 10b + 0)
$\overline{ab}$ = (10a + b)
(100a + 10b + 0) - (10a + b) = 333
100a + 10b + 0 - 10a - b = 333
90a + 9b = 333
9(10a + b) = 333
9$\overline{ab}$ = 333
$\overline{ab}$ = 37

Por comparación: a = 3        y        b = 7

Luego; hallamos el complemento aritmético de dicho número de 2 cifras, veamos:
C.A. $\overline{ab}$ = C.A. $\overline{37}$ = 100 - 37 = 63

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN $\mathbb{N}$ CON PARÉNTESIS

Recordemos que una expresión entre paréntesis está considerada como efectuada.

Así:  25 + (12 - 7 ) tiene el mismo significado que: 25 + 5

        40 - (15 + 8 ) tiene el mismo significado que: 40 - 23

Como se habrá observado las operaciones dentro del paréntesis se han efectuado primero para suprimir dicho paréntesis.

Ejemplo 1:

Efectuar:  65 + (35 - 18) - 12

Ejemplo 2:

Efectuar: 38 - 15 + (8 + 12 - 4)

En caso que no hubieran paréntesis, se procede a operar de izquierda a derecha así:

Ejemplo 1:

Efectuar: 43 - 16 + 24 - 6 

Ejemplo 2:

Efectuar: 18 + 7 - 2 - 1 0 + 1 3 - 5

APLICACIONES PRÁCTICAS CON LA SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS NATURALES

Dados la suma ( S ) y la diferencia ( D ) de dos números naturales “a” y “b” donde a > b, el número mayor “a” se calcula como la semisuma de S y D, es decir:

$a=\frac{S+D}{2}$ (Semisuma, significa mitad de la suma)

El número menor “b” se calcula como la semidiferencia de S y D, es decir:
$b=\frac{S-D}{2}$ (Semidiferencia, significa mitad de la diferencia)

Ejercicio:

La suma de dos números es 16 y su diferencia es 10. Hallar dichos números.

Resolución:

Del enunciado, sabemos que: S = 16     y     D = 10

Donde el número mayor sería:

$a=\frac{S+D}{2}\, \Rightarrow \, a=\frac{16+10}{2}\, \Rightarrow \, a=13$
Y el número menor sería:

$b=\frac{S-D}{2}\, \Rightarrow \, b=\frac{16-10}{2}\, \Rightarrow \, b=3$

Respuesta:     Los números pedidos son: 13 y 3

Ejercicio:

Las edades de Patricia y Rosario suman 28 años. Si la edad de Patricia excede a la de Rosario en 12 años. 

a) ¿Cuántos años tuvo Patricia hace 3 años? 

b) ¿Cuántos años tendrá Rosario dentro de 5 años?

Resolución:

Sean las edades actuales: Edad de Patricia = P

                                      Edad de Rosario = R

Del enunciado obtenemos: S = 28     y     D = 12

Volviendo al problema se tiene que:

$P=\frac{S+D}{2}=\frac{28+12}{2}=20$
P = 20 años     (Edad actual de Patricia)
$R=\frac{S-D}{2}=\frac{28-12}{2}=8$
R = 8 años     (Edad actual de Rosario)

Luego: a) Patricia hace 3 años tuvo: 20 - 3 = 17 años
           b) Rosario dentro de 5 años tendrá: 8 + 5 = 13 años