RADICALES

Muchos problemas simples en ciencia, negocio o ingeniería conducen a planteamientos tales como: $S^{2} = 25$ o $X^{3} = 64$. Los valores para S o X se llaman raíces. En particular si $S^{2} = 25$, entonces S se llama la raíz cuadrada de 25; para $X^{3} = 64$, decimos que la X es la raíz cubica de 64. En general, las raíces de los números reales se definen por el enunciado.

Donde X y r son números reales no negativos y n es un entero positivo, o X y r son números reales negativos y n es un número entero positivo impar. Al número $\sqrt[n]{x}$ se lo denomina la raíz enésima principal de X.

La expresión $\sqrt[n]{x}$ se llama radical; el número n es el índice de la radical y X de llama radicando. El símbolo  se llama signo radical. Si el índice n es 2, normalmente se omite del radical.
Si n es impar se puede demostrar que para cualquier valor de X hay exactamente una raíz enésima real de X. por ejemplo.

Si n es par y X es positivo, entonces hay dos raíces reales enésimas de X. sin embargo, el símbolo $\sqrt[n]{x}$, reserva para la raíz enésima positiva (principal); denotamos la raíz enésima negativa por $-\sqrt[n]{x}$. Así por ejemplo:

Si n es par y X es negativo, no hay raíz enésima real de X.

Ejemplos

LEYES DE LOS RADICALES

Las siguientes propiedades se pueden usar frecuentemente para simplificar expresiones que contengan radicales.

Sean m y n enteros positivos y X y Y números reales. Entonces.

Ejemplos

Nota de advertencia: es un error simplificar $\sqrt{X^{2}}$ como X; esto es válido solamente para X no negativa. Por ejemplo, si X = -3, vemos que 

El resultado correcto lo da (2) de las leyes de los radicales:

LA FORMA DE UN RADICAL

Se puede modificar con algunos de los siguientes métodos:

a) Sacando fuera de la raíz las potencias enésimas de la cantidad subradical.

Ejemplos

b) Reduciendo el índice del radical.

Ejemplos

$1. \, \sqrt[4]{64}$

$\sqrt[4]{2^{6}}=2^{\frac{6}{4}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^{3}}=2\sqrt{2}$

Habiéndose reducido el índice de 4 a 2.

$2.\, \sqrt[6]{25x^{6}}$

$\sqrt[6]{25x^{6}}=\sqrt[6]{\left ( 5x^{3} \right )^{2}}=\left ( 2x^{3} \right )^{\frac{2}{6}}=\left ( 2x^{3} \right )^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5x^{3}}=x\sqrt[3]{5}$

Habiéndose reducido el índice de 6 a 3.

Nota.

c) Racionalizando el denominador en el subradical.

UN RADICAL

Está en su forma más simple cuando:

a) Se han sacado fuera de la raíz todas las potencias enésimas perfectas.

b) El índice de la raíz es el menor posible.

c) Se ha racionalizado el denominador, es decir, cuando no existan fracciones en el subradical.

RADICALES SEMEJANTES

Dos o más radicales son semejantes cuando, reducidos a su forma más simple, tienen el mismo índice y el mismo subradical.

Ejemplo

Todos los subradicales son 2 y todos los índices son 2 Sin embargo,

PARA SUMAR ALGEBRAICAMENTE

Dos o más radicales se reducen a su forma más simple y se combinan los términos con radicales semejantes.

Ejemplo

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

a) Para multiplicar dos o más radicales del mismo índice se aplica la ley (3).

Ejemplos

b) Para multiplicar radicales de índices distintos conviene utilizar exponentes fraccionarios y aplicar las leyes de la potenciación.

DIVISIÓN DE RADICALES

a) Para dividir dos radicales del mismo índice se aplica la ley (4)

Ejemplo

También se puede racionalizar directamente el denominador.

b) Para dividir dos radicales de índices distintos conviene utilizar expresiones fraccionarias y aplicar las leyes de la potenciación.

Ejemplos

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES

Cuando quitamos los radicales del numerador o denominador de un fraccionario. Decimos que estamos racionalizando. En álgebra, normalmente racionalizamos el denominador pero, en cálculo, a veces es importante racionalizar el numerador. El procedimiento de racionalización implica la multiplicación del fraccionario por 1. Escrito en forma especial. 

Ejemplos