Dado un ángulo, $\widehat{\alpha }$, y elegido sobre uno de sus lados un punto arbitrario, el P por ejemplo, si se traza desde dicho punto la perpendicular al otro lado, llamando M al pie de esta perpendicular, quedan determinados los segmentos $\overline{OM}$, $\overline{MP}$ y $\overline{OP}$.
El $\overline{OM}$ se llama abscisa.
El $\overline{MP}$ se llama ordenada.
El $\overline{OP}$ se llama radio vector.
De acuerdo con las consideraciones hechas para los signos de las abscisas y ordenadas en las representaciones gráficas, se tiene que: si el ángulo es agudo, la abscisa y la ordenada son positivas; si el ángulo es obtuso, la abscisa es negativa y la ordenada positiva; en lo que respecta al radio vector, se conviene en considerarlo siempre positivo.
Funciones trigonométricas de un ángulo
Dado un ángulo, mediante cocientes entre la abscisa, ordenada y radio vector correspondientes, quedan definidas seis funciones angulares, que se llaman funciones trigonométricas de ese ángulo, y son: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.
Seno de un ángulo es el cociente entre la ordenada y el radio vector correspondiente.
$sen\,\alpha =\frac{ordenada}{radio \, vector}$
$sen\,\alpha =\frac{\overline{MP}}{\overline{OP}}$
Coseno de un ángulo es el cociente entre la abscisa y el radio vector correspondiente.
$cos\, \alpha =\frac{abscisa}{radio\, vector}$
$cos\, \alpha =\frac{\overline{OM}}{\overline{OP}}$
Tangente de un ángulo es el cociente entre la ordenada y la abscisa correspondiente.
$tg\, \alpha =\frac{ordenada}{abscisa}$
$tg\, \alpha =\frac{\overline{MP}}{\overline{OM}}$
Las recíprocas de cada una de estas funciones son ordenadamente la cosecante, la secante y la cotangente, es decir:
$cosec\,\alpha =\frac{\overline{OP}}{\overline{MP}}$
$sec\, \alpha =\frac{\overline{OP}}{\overline{OM}}$
$cotg\, \alpha =\frac{\overline{OM}}{\overline{MP}}$
Al determinar el radio vector, la abscisa y ordenada correspondientes, ha quedado en forma de triángulo rectángulo $\bigtriangleup OMP$, en el cual: $\widehat{\alpha }$ es un ángulo agudo.
La abscisa es $\overline{OM}$, o sea, el cateto adyacente $\widehat{\alpha }$ .
La ordenada es $\overline{MP}$, o sea el cateto opuesto a $\widehat{\alpha }$ .
El radio vector correspondiente al $\widehat{\alpha }$ es $\overline{OP}$, o sea la hipotenusa.
Luego pueden definirse las funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, así:
$sen\, \alpha =\frac{\overline{MP}}{\overline{OP}}=\frac{cateto\, opuesto}{hipotenusa}$
$cos\, \alpha =\frac{\overline{OM}}{\overline{OP}}=\frac{cateto\, adyacente}{hipotenusa}$
$tg\, \alpha =\frac{\overline{MP}}{\overline{OM}}=\frac{cateto\, opuesto}{cateto\, adyacente}$
$cotg\, \alpha =\frac{\overline{OM}}{\overline{MP}}=\frac{cateto\, adyacente}{cateto\, opuesto}$
Es decir, en un triángulo rectángulo el seno de uno de sus ángulos agudos es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa; el coseno es igual al cateto adyacente sobre la hipotenusa; la tangente es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente, etc.
Así en la figura
siendo: $\widehat{\alpha }=\widehat{\beta }$
aun cuando: $\overline{OP}=\overline{OP'}$
es: $\overline{OM}=\overline{OM'}$ y $\overline{MP}=\overline{M'P'}$
Luego, al ser distintas las dos abscisas y las dos ordenadas, las funciones trigonométricas de estos ángulos son distintas.
Por otra parte, para un mismo ángulo, el valor de cada función trigonométrica, es único, es decir, independiente de radio vector elegido.
Así, en la figura siguiente se observa que si en lugar del radio vector $\overline{OP}$ se eligen otros cualesquiera, el $\overline{OP'}$, o el $\overline{OP''}$. Por ejemplo se tiene que:
$sen\, \alpha =\frac{\overline{MP}}{\overline{OP}}$
o bien: $sen\, \alpha =\frac{\overline{M'P'}}{\overline{OP'}}$
o bien: $sen\, \alpha =\frac{\overline{M''P''}}{\overline{OP''}}$
pero los segundos miembros son iguales, pues han quedado determinados triángulos semejantes cuyos lados homólogos son proporcionales; luego: el $sen\, \alpha $ tiene el mismo valor, cualquiera sea el radio vector.
Análogamente: el valor de cada una de las otras funciones es independiente del radio vector elegido.
Resulta, entonces, que para cada ángulo existe un valor particular de cada función trigonométrica, y, recíprocamente, a cada valor de una función trigonométrica corresponde un ángulo determinado, comprendido entre 0º y 90°.
Seno, coseno y tangente del ángulo nulo.
Se considera un ángulo $\widehat{\alpha }$ arbitrariamente pequeño. Sean: $\overline{OP}$, su radio vector; $\overline{OM}$ su abscisa, y $\overline{MP}$ su ordenada.
Se observa que a medida que el ángulo se va haciendo menor, manteniendo fijo el radio vector, la ordenada va creciendo mientras que la abscisa crece.
Cuando el ángulo es de 0º, es decir, el ángulo nulo, los lados del ángulo coinciden, la ordenada se anula y la abscisa se hace igual al radio vector.
Luego, para el ángulo nulo, es decir, $\widehat{\alpha }$=0º se tiene:
abscisa = radio vector
ordenada = 0
Por lo tanto:
$sen\, 0^{0}=\frac{ordenada }{radio\, vector}=\frac{0}{radio\, vector}=0$
$cos\, 0^{0}=\frac{abscisa}{radio\, vector}=\frac{radio\, vector}{radio\, vector}=1$
$tg\, 0^{0}=\frac{ordenada}{abscisa}=\frac{0}{abscisa}=0$
Seno, coseno y tangente del ángulo recto.
Se considera un ángulo $\widehat{\alpha }$ sea: $\overline{OP}$, su radio vector; $overline{MP}$, su ordenada, y $\overline{OM}$ su abscisa.
Se observa que al aumentar el ángulo, manteniendo fijo el radio vector, la abscisa va decreciendo mientras que la ordenada crece. Cuando el ángulo es recto, es decir de 90°, la abscisa se anula y la ordenada se hace igual al radio vector.
Luego, para $\widehat{\alpha }$=1 recto, es decir, $\widehat{\alpha }$=90º, se tiene:
abscisa = 0
ordenada = radio vector
Por lo tanto:
$sen\, 90^{0}=\frac{ordenada}{radio\, vector}=\frac{radio\, vector}{radio\, vector}=1$
$cos\, 90^{0}=\frac{abscisa}{radio\, vector}=\frac{0}{radio\, vector}=0$
Con respecto a la tangente se llegaría a la expresión $\frac{radio\, vector}{0}$, expresión que carece de sentido. Lo único que puede decirse es que cuando el ángulo se acerca a 90° la tangente crece Infinitamente.
Seno, coseno y tangente de un ángulo obtuso.
Como ya se dijo, la abscisa es negativa, la ordenada es positiva, y el radio vector positivo.
Luego, para un ángulo obtuso: el seno es positivo; el coseno es negativo, y la tangente es negativa.
Seno, coseno y tangente de un ángulo llano.
Se considera un ángulo obtuso $\widehat{\alpha }$. Sean: $\overline{OP}$, su radio vector; $\overline{MP}$, su ordenada, que es positiva, y $\overline{OM}$,su abscisa, que es negativa.
Si se aumenta el $\widehat{\alpha }$ conservando el radio vector se observa que la ordenada decrece, mientras que el valor absoluto de la abscisa crece hasta hacerse Igual al radio vector.
Cuando el $\widehat{\alpha }$ es llano, es decir, $\widehat{\alpha }$=180º, a ordenada se anula y la abscisa, que es negativa, tiene un valor absoluto igual al radio vector. Luego, para el ángulo llano, es decir, de 180°, se tiene:
abscisa = - radio vector
ordenada = 0
$sen\, 180^{0}=\frac{ordenada}{radio\, vector}=\frac{0}{radio\, vector}=0$
$cos\, 180^{0}=\frac{abscisa}{radio\, vector}=\frac{- radio\, vector}{radio\, vector}=-1$
$tg\, 180^{0}=\frac{ordenada}{abscisa}=\frac{0}{abscisa}=0$
Relaciones entre las funciones trigonométricas de ángulos complementarios
Si se considera el triángulo rectángulo $\bigtriangleup OPM$, donde los ángulos agudos son $\widehat{\alpha }$ y $\widehat{\beta }$, respectivamente, se tiene que:
Para el ángulo agudo $\widehat{\alpha }$
el cateto adyacente es $\overline{OM}$
el cateto opuesto $\overline{MP}$
Para el otro ángulo agudo:
$\widehat{\beta }$=90º-$\widehat{\alpha}$
el cateto adyacente es $\overline{MP}$
el cateto opuesto es $\overline{OM}$
Luego:
$sen\, \beta =\frac{\overline{OM}}{\overline{OP}}$
$cos\, \alpha =\frac{\overline{OM}}{\overline{OP}}$
$sen\, \beta$=$cos\, \alpha$
o sea: $sen(90^{0}-\alpha )=cos\, \alpha $
$cos\, \beta =\frac{\overline{MP}}{\overline{OP}}$
$sen\, \alpha =\frac{\overline{MP}}{\overline{OP}}$
$cos\, \beta =sen\, \alpha $
o sea: $cos(90^{0}-\alpha )=sen\, \alpha $
$tg\, \beta =\frac{\overline{OM}}{\overline{MP}}$
$cotg\, \alpha =\frac{\overline{OM}}{\overline{MP}}$
$tg\, \beta =cotg\, \alpha $
o sea: $tg(90^{0}-\alpha )=cotg\, \alpha $
De igual modo se establece que:
$cosec(90^{0}-\alpha )=sec\, \alpha $
$sec(90^{0}-\alpha )=cosec\, \alpha $
$cotg(90^{0}-\alpha )=tg\, \alpha $
Las palabras: coseno, cosecante y cotangente son las abreviaturas de seno del complemento, secante del complemento y tangente del complemento.
A las funciones coseno, cotangente y cosecante se les da el nombre particular de cofunciones. De acuerdo con esta denominación las relaciones anteriores pueden expresarse diciendo: Las funciones trigonométricas de un ángulo son respectivamente iguales a las cofunciones de su complemento.
Relación entre las funciones trigonométricas de ángulos suplementarios
Si los ángulos $\widehat{\alpha }$ y $\widehat{\beta}$ son suplementarios, es decir:
$\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}$=180º
o sea:
$\widehat{\beta}$=180º-$\widehat{\alpha}$
como se deduce inmediatamente de la figura, resulta que: los senos son iguales en valor absoluto; los cosenos y las tangentes son iguales en valor absoluto y de signo contrario. Es decir:
$sen(180^{0}-\alpha )=sen\, \alpha $
$cos(180^{0}-\alpha )=-cos\, \alpha $
$tg(180^{0}-\alpha )=-tg\, \alpha $
Resolución de problemas de triángulos rectángulos aplicando fas funciones trigonométricas de sus ángulos agudos
Las definiciones de las funciones trigonométricas de un ángulo permiten determinar los lados y ángulos de un triángulo rectángulo cuando se conocen: la hipotenusa y un ángulo agudo; un cateto y un ángulo agudo.
Calcular los restantes elementos en función de los elementos conocidos es resolver el triángulo. Con los conocimientos adquiridos se pueden resolver los siguientes casos:
Resolver un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un ángulo agudo.
Si los elementos conocidos son: la hipotenusa de 10 cm y el ángulo $\widehat{B}$ de 33º, los restantes elementos que se deben calcular son: el $\widehat{C}$ y los catetos b y c, que constituyen las incógnitas del problema.
Datos:
a = 10 cm
$\widehat{B}$ = 33º
Incógnitas:
$\widehat{C}$; b; c
Resolución:
Las incógnitas deben calcularse únicamente en función de los datos.
Cálculo del $\widehat{C}$.
Como $\widehat{C}$ y $\widehat{B}$ son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, son complementarios; luego:
$\widehat{C}$+$\widehat{B}$=90º
o sea: $\widehat{C}$=90º-$\widehat{B}$ = 90º-33º
$\widehat{C}$=57º
Cálculo de b.
Se conoce la hipotenusa y el ángulo $\widehat{B}$, para calcular el cateto b opuesto a $\widehat{B}$, como la función que vincula al cateto opuesto con la hipotenusa es el seno, conviene aplicar:
$sen\, \widehat{B}=\frac{b}{a}$
o sea: $sen\, 33^{0}=\frac{b}{10\, cm}\, \, \Rightarrow $ b=10 cm x sen 33º
y como sen 33º = 0,545 se tiene:
b=10 cm x 0,545
es decir b = 5,45 cm.
Cálculo de c.
Se conoce la hipotenusa y el ángulo $\widehat{B}$; para calcular el cateto c adyacente al $\widehat{B}$, como la función que vincula el cateto adyacente con la hipotenusa es el coseno, conviene aplicar:
$cos\, \widehat{B}=\frac{c}{a}$
o sea: $cos\, 33^{0}=\frac{c}{10\, cm}\, \, \Rightarrow $ c=10 cm x cos 33º
y como cos 33º = 0,839 se tiene:
c=10 cm x 0,839
es decir: c = 8,39 cm.
Resolver un triángulo rectángulo dados un cateto y un ángulo agudo.
Sea, por ejemplo:
Datos:
b=5cm
$\widehat{B}$=52º
Incógnitas:
$\widehat{C}$; a; c
Cálculo de $\widehat{C}$
como: $\widehat{C}+\widehat{B}$=90º
es: $\widehat{C}$ = 90º - 52º = 38º
Cálculo de a.
Se conoce un cateto, el ángulo opuesto al mismo y hay que calcular la hipotenusa. La función que vincula el cateto opuesto con la hipotenusa es el seno.
Luego:
$sen\, \widehat{B}=\frac{b}{a}$
o sea: $sen\, 52^{0}=\frac{5\, cm}{a}\, \, \Rightarrow \, \, a=\frac{5\, cm}{sen\, 52^{0}}$
como sen52º=0,788 se tiene:
$a=\frac{5\, cm}{0,788}$
es decir: a=6,345 cm.
Cálculo de c.
Se conoce el otro cateto b y el ángulo adyacente a c y se quiere calcular el cateto c. La función que vincula los dos catetos es:
$tg\, \widehat{B}=\frac{b}{c}$
o sea: $tg\, 52^{0}=\frac{5\, cm}{c}\, \, \Rightarrow \, \, c=\frac{5\, cm}{tg\, 52^{0}}$
y como: tg 52º = 1,280 se tiene:
$c=\frac{5\, cm}{1,280}$
es decir: c=3,905 cm.
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