OPERACIONES CON SEGMENTOS

ADICIÓN DE SEGMENTOS

Adición de dos o más segmentos consecutivos

Se llama suma de dos o más segmentos, alineados consecu­tivos al segmento que tiene por extremos tos dos extremos no comunes de los segmentos dados y contiene a todos los segmen­tos sumandos. 

Ejemplo.

$$\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}$$

$$\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=\overline{AD}$$

En otros términos:
La suma de los segmentos consecutivos, $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$, es el segmentó, formado por la unión de los conjuntos de puntos de los segmentos sumandos. 
Simbólicamente:
$\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AB}\cup \overline{BC}$

Adición de segmentos no consecutivos

Se llama suma de dos o más segmentos no consecutivos, al segmento que es suma de otros tantos segmentos alineados consecutivos, y respectivamente ¡guales a los dados.

Ejemplo:

$$\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}= \overline{MQ}$$

Siendo: 
        $\overline{MN}=\overline{AB}$
        $\overline{NP}=\overline{CD}$
        $\overline{PQ}=\overline{EF}$

Luego, para hallar la suma de varios segmentos no consecutivos es previo transportar sobre una recta segmentos consecutivos, respectiva­mente ¡guales a los dados.

Propiedades de la adición de segmentos.

Como se puede compro­bar prácticamente mediante el transporte de segmentos, la adición de segmentos goza de las mismas propiedades que la adición de números naturales, es decir: el resultado de la adición de segmentos es único, o sea que goza de la propiedad uniforme. Además goza de la propiedad conmutativa, de la propiedad asociativa y de las correspondientes de monotonía. 
Como la adición de segmentos da por resultado otro segmento, dicha operación es una operación interna en el conjunto de los segmentos.

SUSTRACCIÓN DE SEGMENTOS 

Restar de un segmento otro menor o igual que éste es encontrar un tercer segmento tal que sumado al segundo dé por resultado el primero.
En símbolos:
$\overline{AB}-\overline{CD}=\overline{EF}$  si  $\overline{EF}+\overline{CD}=\overline{AB}$

Procedimiento gráfico para hallar el segmento diferencia. 

Para obtener el segmento diferencia entre dos segmentos dados, se transporta un segmento igual al segmento sustraendo sobre el segmento minuendo de que coincidan  dos extremos; el segmento determinado por los otros más extremos  es el segmento diferencia.

Ejemplo:

$$\overline{AB}-\overline{CD}=\overline{AM}$$

Si los segmentos minuendo y sustraendo son iguales, el segundo diferente es el segmento nulo.
Obsérvese que, como se destaca en la definición, para que la resta entre segmentos sea posible, el segmento minuendo debe ser mayor o igual que el segmento sustraendo. 
Teniendo en cuenta que se llama corolario de una definición o de una propiedad, una consecuencia inmediata de esa definición o de esa propie­dad; de la definición de resta de segmentos se deducen los siguientes corolarios:
Si a un segmento se le suma otro y al resultado se le resta este último, se obtiene nuevamente el primer segmento.
En símbolos:
$(\overline{AB}+\overline{CD})-\overline{CD}=\overline{AB}$
o bien:
Si a un segmento se le resta otro y al resultado se le suma este último, se obtiene nuevamente el primer segmento.
En símbolos:
$(\overline{MN}-\overline{PQ})+\overline{PQ}=\overline{MN}$

Propiedades de la sustracción de segmentos

La resta de segmentos goza de las mismas propiedades que la resta de números naturales.

Multiplicación de un segmento por un número natural

Dado el segmento $\overline{AB}$ si se suman 3 segmentos iguales a $\overline{AB}$ se obtiene, en la gráfica, el$\overline{MN}$ 

es decir: $\overline{AB}+\overline{AB}+\overline{AB}=\overline{MN}$ 

La suma de estos tres segmentos iguales a $\overline{AB}$ se expresa también diciendo que al $\overline{AB}$ se lo m ultiplicó por 3, es decir:

$$\overline{AB}\times 3=\overline{AB}+\overline{AB}+\overline{AB}$$

En general:

Se llama producto de un $\overline{AB}$ por un número natural n al segmento suma de n segmentos ¡guales a $\overline{AB}$

En símbolos:

La operación de multiplicación de un segmento por un número natu­ral es una operación establecida entre el conjunto de los segmentos y el conjunto de los números naturales y tal que el resultado es un seg­mento.
Se dice que dicha operación es una ley de composición externa entre el conjunto de los segmentos y el conjunto de los números natura­les, sobre el conjunto de los segmentos.
El segmento que se obtiene al multiplicar $\overline{AB}$ por un número natural se llama múltiplo del $\overline{AB}$.
Dado un segmento menor que otro, por ejemplo $\overline{AB}<\overline{CD}$ se puede encontrar siempre un número tal que el producto de $\overline{AB}$ por este número dé un segmento igual o mayor que $\overline{CD}$.

En efecto, en este caso

se destaca que:
                    $\overline{AB}<\overline{CD}$
También:    $\overline{AB}\times 2=\overline{CB'}<\overline{CD}$
y                $\overline{AB}\times 3=\overline{CB''}<\overline{CD}$
pero ya:    $\overline{AB}\times 4=\overline{CB'''}>\overline{CD}$
Esta observación es válida en general, y se enuncia en el postulado de Arquímedes, que dice:
Dados dos segmentos desiguales existe siempre un múltiplo del menor que es igual o mayor que el otro.
En símbolos:
Si $\overline{AB}<\overline{CD}$
existe siempre: $\overline{AB}\cdot n$ tal que: $\overline{AB}\cdot n\geq \overline{CD}$.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO NATURAL

Se observa en la figura que el segmento $\overline{MN}$ está contenido exacta ente 5 veces en el segmento $\overline{AB}$, o lo que es lo mismo: $\overline{MN}\times 5= \overline{AB}$ esto se expresa también diciendo que el segmento $\overline{AB}$ dividido por 5 es igual al $\overline{MN}$.
Es decir: $\overline{AB}\div 5=\overline{MN}$

porque: $\overline{MN}\times 5=\overline{AB}$

En general, se da la siguiente:

Dividir un segmento $\overline{AB}$ por un número natural n dis­tinto de cero es encontrar otro segmento tal que multiplicado por el número natural n dé un resultado igual a $\overline{AB}$.

En símbolos:

$\overline{AB}\div  n=\overline{CD}$  y  $\overline{CD}\times n=\overline{AB}$
Se dice que el $\overline{CD}$ es la enésima parte del $\overline{AB}$.

Ejemplo:

Si $\overline{AB}\div  3=\overline{PQ}$ y $\overline{AB}\div  4=\overline{RS}$, se dice que $\overline{PQ}$ es la tercera parte de $\overline{AB}$, y $\overline{RS}$ es la cuarta parte de $\overline{AB}$.
Esta consideración se enuncia en el siguiente postulado:
Dado un segmento existe siempre otro segmento que es la enésima parte de aquél. 
Si a un $\overline{AB}$ se lo multiplica por un número 4 y al segmente que así resulta se lo divide por el mismo número 4, se vuelve a obtener $\overline{AB}$.
En general se anuncia el siguiente corolario:
Si un segmento se multiplica por un número y el segmento resultado se divide por ese mismo número, se obtiene nuevamente el primer segmento.
Simbólicamente:
$(\overline{AB}\times n)\div n=\overline{AB}$
O bien:
Si un segmento se divide por un número y el segmento resultado se multiplica por ese mismo número, se obtiene nuevamente el primer segmento.
En símbolos:
$(\overline{PQ}\div  n)\times  n=\overline{PQ}$