SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO

Entre las funciones que deben efectuar las computadoras y las calculadoras están la realización de operaciones aritméticas. Estas operaciones se procesan en la Unidad Aritmético-Lógica (ALU) de una computadora donde se combinan compuertas lógicas y otros dispositivos de manera que puedan sumar, restar, multiplicar y dividir números binarios. Estos circuitos lógicos efectúan operaciones a grandes velocidades. Por ejemplo, una adición se realiza en menos de un microsegundo.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN BASE 2

El sistema binario utiliza dos dígitos: 0 y 1. Cada uno representa un bit de información (BIT: binary digit).
En computación los números binarios no siempre representan una cantidad numérica. Las computadoras pueden reconocer en un número binario cinco funciones diferentes, a saber:

1. Datos numéricos reales.
2. Números correspondientes a una dirección en la memoria.
3. Un código de instrucción.
4. Un código que representa caracteres  alfanuméricos, y
5. Información sobre las condiciones de dispositivos internos o externos a la computadora.

Toda la numeración se construye con dos símbolos, combinándolos sistemáticamente, puesto que son los únicos que pueden existir en el sistema. El sistema decimal y el binario se pueden comparar así:
$N_{10}$ = (0,    1,    2,        3,     4,        5,        6,        7,        8...)
$N_{2}$ = (0,    1,    10,    11,    100,    101,    110,    111,    1000...)
Observe que el número que representa a la base se forma combinando los dos primeros símbolos del sistema; que en $4_{10}=100_{2}$, 4 y 100 son las segundas potencias de las bases 2 y 10 y que en $8_{10}=1000_{2}$, 8 y 1000 son las terceras potencias de las bases 2 y 10.
La numeración binaria se forma, como en los demás sistemas, sumando una unidad a cada número obtenido, y así indefinidamente. De esta manera:

Secuencia de conteo binario

CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO

Esta conversión se realiza siguiendo el procedimiento general explicado anteriormente. 

• Se separa la parte entera de la fraccionaria. 

• Se divide sucesivamente la parte entera por 2 hasta que el último cociente sea 1.

• Este último cociente, seguido de los sucesivos residuos leídos de derecha a izquierda, dan la forma convencional del número entero equivalente en sistema binario. 

• Se multiplica la fracción decimal por 2 y la parte entera de este producto es la primera cifra de la fracción binaria. 

• La parte fraccionaria del producto se multiplica de nuevo por 2 y parte entera de este producto es la segunda cifra de la fracción binaria y así sucesivamente hasta que suceda una de tres situaciones:

a) Que la parte fraccionaria de algún producto por 2 sea 0 en cuyo caso la fracción binaria es exacta, es decir, tiene un número limitado de cifras.
b) Que la parte fraccionaria del producto por 2 comience  a repetir individualmente o por grupos, en cuyo caso dará una fracción binaria periódica pura y mixta donde la(s) cifra(s) se repetirán indefinidamente.
c) Que la parte fraccionaria de los productos por 2 se presente sin ningún  orden, lo que originará una fracción binaria inexacta no-periódica, es decir, un    número binario irracional.
Para ilustrar el procedimiento se presenta el siguiente ejemplo:
$40.75_{10}=X_{2}$
Separando la parte entera de la fraccionaria. 40 + 0.75
Dividiendo la parte entera sucesivamente por 2

Luego: $40_{10}=101000_{2}$
Multiplicando sucesivamente la parte fraccionaria por 2:

$S_{-1}=1\, \, S_{-2}=1\, \, S_{-3}=0..........etc $
Luego: $0.75_{10}=0.11_{2}$
La conversión completa quedará: $40.75_{10}=101000.11_{2}$

CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL

Para convertir un número binario al equivalente decimal, se representa el número dado en su forma en base especifica 2 y se simplifica utilizando la aritmética decimal para obtener el número en la forma convencional. Así por ejemplo
$40.75_{10}=101000.11_{2}$
$=1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^{1}+0\times 2^{0}+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}$
=8 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125 = 10.625
Luego: $1010.101_{2}=10.625_{10}$
Para realizar esta conversión es necesario recordar algunas potencias de 2:

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN BINARIAS

Una operación aritmética es un procedimiento numérico con el cual se obtiene un resultado. Interviene, por lo tanto, la relación de equivalencia con sus propiedades esenciales: reflexiva, simétrica y transitiva. Además, en la expresión aritmética se encuentran los elementos o números, y el operador que especifica el procedimiento a seguir con aquellos.
En la adición los elementos se llaman y el operador es el signo más (+). Cualquier operación aritmética tiene que realizarse con elementos pertenecientes al mismo sistema de numeración, pero las operaciones son variables de un sistema a otro. La tabla de la edición binaria se presenta así:

La adición es conmutativa, luego: 1 + 0 = 1 y 0 + 1 = 1
Observe que 1 + 1 = 10 y debe entenderse 10 en base binaria ($10_{2}$) que es el equivalente del 2 en el sistema decimal. Para una mejor comprensión se representan varios ejemplos:

La sustracción no es conmutativa y por lo tanto deben distinguirse los elementos que intervienen en la operación. El minuendo es el elemento del cual se resta el sustraendo. La tabla de la sustracción binaria se presenta así:

En la operación 0 - 1 = -1 se toma el 1 del número de la izquierda, es decir, de la columna de orden inmediato superior para conformar la operación 10 - 1 = 1.
Si el minuendo es negativo, la operación se convierte en una adición con el resultado negativo. Para una mejor comprensión se representan varios ejemplos:

LAS FORMAS COMPLEMENTARIAS Y EL SIGNO

Las computadoras digitales almacenan los números binarios en registros conformados por dispositivos de almacenamiento denominados FLIP-FLOPS.
Cada dispositivo almacena un bit. El signo se introduce con un bit adicional a la izquierda: 0 para los números positivos (+) y 1 para los números negativos (-).
El sistema más empleado para representar números binarios con signo es el de complemento a 2. Para considerar este último sistema es necesario tener en cuenta que el complemento a 1 de un número binario se obtiene cambiando cada bit del número por su complemento. El complemento a 2 de un número binario se halla tomando el complemento a 1 y sumándole una unidad al bit menos significativo. Por ejemplo, para introducir el signo al número $+43_{10}$ se agrega un bit 0 adelante. así: $0101011_{2}=43_{10}$.
Para obtener el número negativo $-43_{10}$ se halla el complemento a 2 del número positivo, así: $1010101_{2}=-43_{10}$.
El complemento a 2 de un número con signo cambiará un número positivo por uno negativo y viceversa, es decir, que el complemento a 2 cambia la polaridad del número.
El complemento a 2 se usa para representar números binarios con signo pues permite transformar sustracciones en adiciones. Esto es importante porque la computadora digital podrá hacer ambas operaciones empleando los mismos circuitos.
Al utilizar el complemento a 2 se puede presentar cuatro casos:

1. Sumar dos números positivos.
2. A un número positivo sumar un número negativo menor o, lo que es lo mismo, efectuar la sustracción entre dos números positivos en donde el minuendo es mayor que el sustraendo.
3. A un número positivo sumar un número negativo mayor, es decir, efectuar la diferencia entre dos números positivos en donde el minuendo es menor que el sustraendo.
4. Sumar dos números negativos.

Por ejemplo:

1. Para sumar +28 con +13 se procede así:

2. Para sumar +28 con -13:

3. Para sumar +13 con -28:

4. Para sumar -13 con -15:

$0011100_{2}=+28_{10}$ (Complemento a 2)
El bit de acarreo se desprecia.
La tabla siguiente presenta todos los números binarios con signo que pueden representarse con cuatro bits (incluyendo el del signo) usando el complemento a 2. El intervalo de valores va desde $-2^{N}$ hasta +($2^{N}-1$) y para el caso de N=3, va desde -8 hasta +7.

MULTIPLICACIÓN BINARIA

En la multiplicación los elementos se llaman multiplicando y multiplicador y el operador es el signo por (x). Los elementos que intervienen en la multiplicación también se llaman factores. La multiplicación binaria es conmutativa, asociativa y distributiva con relación a la suma.
La tabla de la multiplicación binaria se representa así:

Para multiplicar números que tiene parte entera y parte fraccionaria se opera como en el sistema decimal. Para colocar el punto binario se cuenta la cantidad de cifras fraccionarias tanto en el multiplicando como en el multiplicador, y esta cantidad se separa en el producto o resultado. Para ilustrar lo dicho se presenta varios ejemplos:

DIVISIÓN BINARIA

Los elementos de la operación son dividendo y divisor. Como en la división con números decimales, el primer paso consiste en desplazar el punto binario, tanto en el dividendo como en el divisor, hasta que el divisor sea un número entero. Cuando el número de cifras fraccionarias del divisor es mayor que las del dividendo. es necesario agregar a este último los ceros que se precisen. Luego, se determina si el número de cifras del divisor es igual o menor que el número de dígitos de la izquierda del dividendo. Si así sucede, se escribe uno (1), en el cociente y el divisor se resta de esos dígitos, y a este residuo se le agrega la cifra siguiente del dividendo. Si, por el contrario, el divisor es superior a los dígitos del dividendo con los que se compara, se colocará en cero (0) en la posición del cociente y se toma la siguiente cifra del dividendo. Así, por ejemplo:

Observe que el algoritmo de la división sigue las mismas pautas que la división decimal en cuanto al manejo del punto. Cuando al tomar sucesivas cifras del dividendo se llega al punto binario, éste se traslada al cociente y se sigue dividiendo. Pero no todas las divisiones dan cocientes exactos; también pueden dar cocientes con fracciones inexactas, es decir, con una cantidad ilimitada de cifras.
Estas fracciones inexactas pueden ser periódicas y no-periódicas. Las no-periódicas son números irracionales que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.
Las fracciones inexactas periódicas pueden ser: periódicas puras si la fracción presenta grupos de cifras que se repiten indefinidamente, o periódicas mixtas si presentan, después del punto binario, un grupo de cifras no-periódicas seguido de infinito número de períodos.