OPERACIONES CON ÁNGULOS

ADICIÓN DE ÁNGULOS

Adición de dos o más ángulos consecutivos. Se llama suma de dos o más ángulos consecutivos al ángulo que tiene por lados los lados no co­munes de los ángulos dados y contiene a todos los ángulos sumandos.

$$\widehat{ab} + \widehat{bc}=\widehat{ac}$$

$$\widehat{ab} + \widehat{bc}=\widehat{ac}$$

$$\widehat{ab}+\widehat{bc}+\widehat{cd}+\widehat{de}=\widehat{ae}$$
En otros términos:
La suma de dos ángulos consecutivos $\widehat{ab}$ y $\widehat{bc}$ es la unión de dos ángulos $\widehat{ab}$ y $\widehat{bc}$
Simbólicamente: si $\widehat{ab}$ y $\widehat{bc}$ son consecutivos, es
$\widehat{ab}$ + $\widehat{bc}$=$\widehat{ab}\, \cup\,   \widehat{bc}$

ADICIÓN DE ÁNGULOS CUALESQUIERA.

Se llama suma de dos o más ángulos no consecutivos, al ángulo que es suma de otros tan­tos ángulos consecutivos respectivamente ¡guales a los dados.

$\widehat{ab}+\widehat{cd}+\widehat{ef}=\widehat{mq}$   siendo: 
$\widehat{mn}=\widehat{ab}\, ,\, \widehat{np}=\widehat{cd}\, ,\, \widehat{pq}=\widehat{ef}$

Procedimiento para obtener el ángulo suma.

Para determinar los ángulos consecutivos iguales a los dados, se puede proceder así: calcarlos sobre papel transparente, dibujarlos mediante el transportador, o bien, mediante el compás, construirlos consecutivos y respectivamente iguales a cada uno de los dados.

• La suma de ángulos goza de las mismas propiedades que la suma de números naturales.

• La adición de ángulos es una operación interna en el conjunto de los ángulos.

SUSTRACIÓN DE ÁNGULOS

Restar de un ángulo otro menor o igual que él es en­contrar un tercer ángulo tal que, sumado al segundo, dé por resul­tado el primero.
En símbolos:
$\widehat{ABC}-\widehat{DEF}=\widehat{MNQ}$, Si $\widehat{MNQ}+\widehat{DEF}=\widehat{ABC}$

Procedimiento gráfico para hallar el ángulo diferencia.

Para obte­ner el ángulo diferencia entre dos ángulos dados, se transporta un ángulo igual al ángulo sustraendo sobre el ángulo minuendo, de modo que coincidan los vértices y un par de lados. El ángulo determinado por el otro par de lados, es el ángulo diferencia.

Ejemplo.

$$\widehat{ABC}-\widehat{DEF}=\widehat{ABD}$$
Para transportar el ángulo sustraendo sobre el minuendo, se puede utilizar papel transparente, transportador o compás.
Obsérvese que, como se destaca en la definición, para que la resta entre ángulos sea posible, el ángulo minuendo debe ser mayor o igual que el ángulo sustraendo.
Si los ángulos minuendo y sustraendo son ¡guales, el ángulo diferen­cia es nulo.
Análogamente a lo que sucede en la definición de segmentos, de la definición de diferencia de ángulos se deducen los siguientes corolarios:
Si a un ángulo se le suma otro y al resultado se le resta este último, se obtiene nuevamente el primer ángulo.

Simbólicamente:

$(\widehat{\alpha }+\widehat{\beta })-\widehat{\beta }=\widehat{\alpha }$
o bien:
Si a un ángulo se le resta otro y al resultado se le suma este último se obtiene nuevamente el primer ángulo.

En símbolos:

$(\widehat{\alpha }-\widehat{\beta })+\widehat{\beta }=\widehat{\alpha }$
La resta de ángulos goza de las mismas propiedades que la resta de números naturales.

MULTIPLICACIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO NATURAL

Se llama producto de un ángulo $\widehat{\alpha }$ por un número natural n al ángulo suma de n ángulos ¡guales a $\widehat{\alpha }$.

En símbolos:

Ejemplo.

$$\widehat{\alpha }\times 3=\widehat{AOB}$$
El ángulo que se obtiene al multiplicar $\widehat{\alpha }$ por un número natural n se llama múltiplo del ángulo $\widehat{\alpha }$.
Si se consideran dos ángulos desiguales, por ejemplo:
$\widehat{\alpha }<\widehat{\beta }$
al multiplicar el $\widehat{\alpha }$ por los sucesivos números naturales, resulta que el producto $\widehat{\alpha }$ x 2 da un ángulo menor $\widehat{\beta }$; y que el producto $\widehat{\alpha }$ x 3 también es menor que $\widehat{\beta }$; pero ya que el producto $\widehat{\alpha }$ x 4 es mayor que $\widehat{\beta }$.

Esta observación es general y se enuncia en el siguiente postulado:
Dados dos ángulos desiguales, existe siempre un múltiplo del menor que es igual o mayor que el otro.

Simbólicamente:

Si $\widehat{\alpha }<\widehat{\beta }$, existe siempre $\widehat{\alpha }\cdot$ n tal que:
$\widehat{\alpha }\, \cdot \geqslant \widehat{\beta }$
La multiplicación de un ángulo por un número, es una ley de composición externa entre el conjunto de los ángulos y el conjunto de los números. 

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO NATURAL

Dividir un ángulo por 2, o sea hallar la mitad de ese ángulo, es en­contrar otro ángulo que multiplicado por 2, sea igual al primero.

Ejemplo.

$$\widehat{\alpha }\div 2=\widehat{\beta }$$
Pues $$\widehat{\beta }\times 2=\widehat{\alpha }$$
Dividir un ángulo por 3, o sea hallar la tercera parte de ese ángulo, es encontrar otro ángulo que multiplicado por 3 sea igual al primer ángulo.

Ejemplo.

$\widehat{\alpha }\div 3=\widehat{\beta }$
pues $\widehat{\beta }\times 3=\widehat{\alpha }$
y en general puede darse la siguiente:
Dividir un ángulo $\widehat{\alpha }$ por un número natural n distinto de cero es encontrar otro ángulo tal que, multiplicado por el número natural n, dé un ángulo igual a $\widehat{\alpha }$.

En símbolos:

$\widehat{\alpha }\div n=\widehat{\beta }$    si    $\widehat{\beta }\cdot n=\widehat{\alpha }$
El ángulo $\widehat{\beta }$ se llama enésima parte del ángulo $\widehat{\alpha }$.
De la definición de cociente de un ángulo por un número natural, se deducen los siguientes corolarios:
Si se multiplica un ángulo por un número y el ángulo resultado se divide por ese mismo número, se obtiene nuevamente el primer ángulo.

Simbólicamente:

$(\widehat{\alpha }\times n)\div n=\widehat{\alpha }$
0 bien:
Si se divide un ángulo por un número y el ángulo resultado se mul­tiplica por ese mismo número, se obtiene nuevamente el primer ángulo.

Simbólicamente:

$(\widehat{\beta }\div m)\cdot m=\widehat{\beta }$

Bisectriz de un ángulo.

Es la semirrecta interior al ángulo que lo divide en dos ángulos ¡guales.
Así, por ejemplo , la semirrecta $\overrightarrow{BM}$ es la bisectriz del $\widehat{ABC}$ pues lo divide en los dos ángulos iguales: $\widehat{ABM}$ y $\widehat{MBC}$.

Trazado de la bisectriz de un ángulo

Utilizando papel de calco:

Se calca el ángulo sobre un papel transparente y se dobla por el vértice, haciendo coincidir los lados. Este doblez representa la bisectriz del ángulo, y aplicando el ángulo del papel de calco sobre el ángulo dado, se traza la semi­rrecta que coincide con el doblez, y se obtiene la bisectriz.

Utilizando compás:

Se traza un arco de circunferencia con centro en el vértice del ángulo y radio arbitrario, que corta a los lados del ángulo en los puntos M y N.
Con radio mayor que la mitad del segmento $\overline{MN}$ se trazan dos arcos de circunferencia, uno con centro en M y otro con centro en N; estos arcos se cortan en el punto P. La semirrecta $\overrightarrow{OP}$ que tiene por origen el vértice del ángulo y que pasa por P, es la bisectriz buscada.

La justificación de esta construcción se verá al estudia los criterios de igualdad de triángulos.

Procedimientos prácticos para dividir un ángulo por algunos números naturales

De la definición de bisectriz se deduce que para dividir un ángulo por 2, basta trazar su bisectriz; para dividir un ángulo por 4, se traza la bisectriz del ángulo mitad; para dividir un ángulo por 8, se traza la bisectriz de la cuarta parte; para dividir un ángulo por 16, se traza la bisectriz de la octava parte, etc., pero, para dividir un ángulo por 3, 5, 6, etc., hay que recurrir a ciertos artificios que dan en general resultados aproximados. Se detalla a continuación un método práctico, poco conocido, para dividir, aproximadamente, un ángulo por el número 3.
Para ello es necesario construir una escuadrita como la representada en la figura siguiente, tal que: los dos catetos tengan el mismo ancho, es decir $\overline{ME}=\overline{AF}$; el largo $\overline{BC}$ del cateto menor sea igual a tres veces el ancho $\overline{ME}$, y los puntos de división M y N se determinan de modo tal que: 
$\overline{BM}=\overline{MN}=\overline{NC}=\overline{ME}$
La última división del cateto menor se corta en forma de cuadrante, en este caso: NCD.

Dado un ángulo, el $\widehat{PRS}$, por ejemplo, para dividirlo por 3, se aplica la escuadra de modo que el punto B esté sobre uno de los lados del ángulo, y el vértice R del mismo, sobre la arista $\overline{EF}$; se desplaza la escuadra en esas condiciones hasta que el arco $CD$ del cuadrante resulte tangente al otro lado del ángulo; en este caso, es tangente en T. Se marcan los puntos M y N en el ángulo y las semirrectas interiores del mismo que pasan por M y N lo dividen en tres ángulos iguales:
$\widehat{PRM}=\widehat{MRN}=\widehat{NRS}$
Conocidos un procedimiento para dividir aproximadamente un ángulo por 2 y otro para dividirlo por una potencia, de 2, combinando estos procedimientos se puede dividir aproximadamente un ángulo por 6; 12; etc.
No es posible dar un procedimiento exacto general para dividir un ángulo por un número cualquiera, pero es fácil comprender que siempre existe un ángulo que es la enésima parte de uno dado.
Se admite esta consideración enunciando:
Dado un ángulo, existe siempre otro que es su enésima parte.