CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

PRIMER CRITERIO DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido, respectivamente ¡guales, son iguales.

SEGUNDO CRITERIO DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

Se consideran dos triángulos que tienen un lado y los ángulos adya­centes respectivamente ¡guales.

Sean, por ejemplo, el $\bigtriangleup ABC$ y el $\bigtriangleup A'B'C'$ tales que:
$\overline{ABC}=\overline{A'B'C'}$
$\widehat{A}=\widehat{A'}$
$\widehat{C}=\widehat{C'}$

Para comparar los elementos restantes, se transporta el triángulo $\bigtriangleup A'B'C'$ sobre el $\bigtriangleup ABC$ de modo que el lado $\overline{A'C'}$ coincida con el lado $\overline{AC}$; en esas condiciones y de acuerdo con la igualdad de los ángulos, el ángulo $\widehat{A'}$ coincida con el $\widehat{A}$ y el ángulo $\widehat{C'}$ con el $\widehat{C}$; luego las intersecciones B y B' de sus lados no comunes, deben coincidir también, y en consecuencia, todos los elementos de los dos triángulos, al resultar coincidentes, son respectivamente iguales y por lo tanto los triángulos también son iguales.
Esta observación es general y se enuncia así:
Dos triángulos que tienen un lado y los dos ángulos adyacentes res­pectivamente iguales, son iguales.
Análogamente: si se consideran dos triángulos que tienen un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto respectivamente iguales, por ejemplo, los triángulos $\bigtriangleup ABC$ y $\bigtriangleup A'B'C'$ tales que: 
$\overline{AC}=\overline{A'C'}$
$\widehat{A}=\widehat{A'}$
$\widehat{B}=\widehat{B'}$

los triángulos resultan ¡guales, pues por ser $\widehat{A}=\widehat{A'}$ y $\widehat{B}=\widehat{B'}$ resultan también iguales $\widehat{C}$ y $\widehat{C'}$ y como el lado $\overline{AC}=\overline{A'C'}$, se satisfacen las condiciones del caso anterior.
Esta observación se enuncia así:
Dos triángulos que tienen un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto respectivamente iguales, son ¡guales. 
Las dos conclusiones anteriores constituyen el segundo criterio de igualdad de triángulos, que también pueden reunirse en un solo enunciado, en la siguiente forma:
Segundo criterio. Dos triángulos que tienen un lado y dos ángulos igualmente dispuestos, respectivamente ¡guales, son iguales.

TERCER CRITERIO DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

Se consideran dos triángulos que tienen los tres lados respectiva­mente iguales. 
Sean, por ejemplo, los triángulos $\bigtriangleup ABC$ y $\bigtriangleup A'B'C'$ tales que:
$\overline{AB}=\overline{A'B'}$
$\overline{AC}=\overline{A'C'}$
$\overline{BC}=\overline{B'C'}$

Para comparar los elementos restantes se transporta el triángulo $\bigtriangleup A'B'C'$ sobre el $\bigtriangleup ABC$ de modo que el lado $\overline{A'C'}$ coincida con el lado $\overline{AC}$; en estas condiciones los vértices B y B ' resultan coincidentes, pues el vértice B es la intersección de la circunferencia de centro A y radio $\overline{AB}$ con la circunferencia de centro C y radio $\overline{BC}$, y el vértice B ' es la intersección de esas mismas circunferencias. En efecto: B' está en la intersección de la circunferencia de centro A ' que coincide con A, y de radio $\overline{A'B'}$ y de la circunferencia de centro C' que coincide con C y radio $\overline{C'B'}=\overline{CB}$.
Al coincidir ordenadamente los tres vértices de los dos triángulos, todos los elementos resultan respectivamente iguales y, en consecuencia, los triángulos son iguales, es decir:
$$\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A'B'C'$$
Esta observación es general, y se enuncia en el:
Tercer criterio. Dos triángulos que tienen los tres lados respectiva­mente ¡guales, son iguales.  

CUARTO CRITERIO DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

Se consideran dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente iguales.
Sea, por ejemplo, el triángulo $\bigtriangleup ABC$, en el que $\overline{AC}>\overline{AB}$, y el $\bigtriangleup A'B'C'$ en el que $\overline{A'C'}>\overline{A'B'}$ y tales que:
$\overline{A'C'}=\overline{AC}$
$\overline{A'B'}=\overline{AB}$
$\widehat{B'}=\widehat{B}$

Para comparar los restantes elementos se transporta el triángulo $\bigtriangleup A'B'C'$ sobre el $\bigtriangleup ABC$ de modo que el lado $\overline{A'B'}$ coincida con el lado $\overline{AB}$.
En estas condiciones, por la igualdad de los ángulos $\widehat{B'}$ y $\widehat{B}$ la semirrecta $\overrightarrow{BC}$ coincide con la semirrecta $\overrightarrow{B'C'}$.
Los vértices C y C' también resultan coincidentes, pues el vértice C está en la intersección de la $\overline{BC}$ con la $C_{(A;\overline{AC})}$. El punto C' está en la intersección de la $\overrightarrow{B'C'}$ que coincide con $\overrightarrow{BC}$  y con la circunferencia de centro A' que coincide con A y radio $\overline{A'C'}=\overline{AC}$. Luego coincide con el punto C. Al coincidir los tres vértices de los dos triángulos, todos los ele­mentos resultan respectivamente iguales, y en consecuencia, los triángulos son iguales, es decir:
$$\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A'B'C'$$
Esta observación se generaliza en el:
Cuarto criterio. Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente iguales, son iguales.
Cuarto criterio. Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente iguales, son iguales.
Obsérvese que todos los criterios de igualdad de triángulos exigen la igualdad de tres elementos de los triángulos, entre los que figura por lo menos un lado.